“三点定型”法在相似证明中的应用.doc

精品文档“三点定型”法在相似证明中的应用在相似这一章中，比例式和等积式的证明是本章的重点和难点。我在平时教学中发现用“横看、竖看”加“三点定型”法及适当变形做这类题比较简单，现分三类举例如下。（思想方法）如：欲证，即只需证.而我们都知道：相似三角形对应边的比相等.可知：欲证成立，则其中的分子取自一个三角形，分母取自第二个三角形.这样就是“横看”，定出两个三角形：ABC和BEF.接下来，只需证明这两个三角形相似即可！若通过“横看”，找不到三角形，这时，也可以“竖看”，找三角形！这就是“横看、竖看”三点定型法.一类：直接利用“横看、竖看” 加以“三点定型”例：已知：ACB=900，CDAB.求证：AC2=ADAB 【射影定理】 分析：要证AC2=ADAB，可先证，这时“横看”定出： 和 .即证 ；聪明的你，也可以试一试“竖看”！针对本题：你也可以自行证明：（1）DC2=ADDB；（2）BC2=BDAB.二类：当“横看、竖看” “三点定型”找不到三角形时，若有相等的线段时，可用相等的线段替换。例1， 已知；AD平分BAC，EF垂直平分AD与BC的延长线交于F。求证：DF2=BFCF分析：直接证DF2=BFCF，通过“横看、竖看” 加以“三点定型”找不到三角形.由已知可得DF=AF，可改证AF2=BFCF，即证，这时用“横看、竖看” 加以“三点定型”定出：需证ABFCAF.例2， 已知；在RtABC中，A=900，四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BEFC分析：要证EF2=BEFC，可证，这时我们“横看、竖看” 加以“三点定型”B、E、F、C都在同一直线上，不能确定两个三角形。但在图形中有相等的线段DE=EF=FG，这时用相等的线段去替换即证即可。再用“横看、竖看” 加以“三点定型”的方法确定证BDEGCF从而完成证明。三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。例1，已知：梯形ABCD中，AD/BC，AC与BD相交于O点，作BE/CD,交CA的延长线于点E.求证：OC2=OA.OE分析：要证OC2=OA.OE,这时我们“横看、竖看” 加以“三点定型”发现O,C,A,E在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以寻找（或做平行构造）A型图、X型图转移比例式，再三点定型，找三角形.即：AD/BC可证，用“横看、竖看”定出OBCODC,然后再证,用同样的方法确定证OBEODC相似即可。例2，已知：BD、CE是ABC的两个高，DGBC，与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于H。求证：GD2=GFGH分析：要证GD2=GFGH,这时我们发现G、D、E、F在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，这时，我们可以转移待证的某个积式，再化为比例式进行三点定型，找三角形.即利用【射影定理】得出GD2=BGCG，从而把原题转化为证BGCG=GFGH，再用“横看、竖看” 加以“三点定型”确定证BGHFGC相似即可。 通过上述的分析，相信聪明的你可以完成完整的书写过程！【练习】1.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，ACBC，点M在AC上，点N在BC上，将ABC沿着MN翻折，使得点C落在AB上的P点。求证：.(法1)“三点定型”后“互补不相似”(法2)构造垂直结构(法3)构造“一线三等角”(法4)作平行构造A型图、X型图2.建立模型(1)如图，在ABC中，点P为边AB上一点，若ACP=B，求证：AC=APAB；模型应用(2)如图，点D在线段BC上，DA为射线(其中ADC90)，点E为线段DA延长线上一点，连接BE，EC，且BED=ACD，设AC=a，AD=b，CD=c当a=4，b=2，且CD=2BD，求线段AE的长；如果EBD是以ED为腰的等腰三角形，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由3.在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90，若点P是BF的中点，连接PC，PE(1)特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC=PE(2)问题探究：把图1中的AEF绕着点A顺时针旋转如图2，若点E在CA的延长线上，则(1)的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；如图3，若点F在边AB上，则(1)的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；4.如图，在等腰ABC中，ABAC=，BAC90，F为BC中点.动点D在线段CB上从C出发以每秒1个单位长度向B匀速运动.连接AD，在AD的左侧作等腰RtAED，AEDE，AED90.设点D的运动时间为t秒.(I)求线段DE的长度取值范围；(II)证明：点E始终落在某一条固定直线上；(III)连接EF，设DEF的面积为S.求S关于t的函数关系式.5.如图1，在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6.过点A作射线AGBC，动点F从B出发以每秒1个单位长度向A运动，连接CF,过点F作CFD=B交射线AG于点D.设点F的运动时间为t秒：(1)问：点D的运动速度是否恒定？若是，请求出速度；若不是，请探索速度变化情况.(2)设S=SADF，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值. 图1 备用图四边形ABCD中，BADBCD=，ABCD=ADBC.则称该四边形为“个性四边形”，并称为其“个