江苏省南通市西亭高级中学高考数学总复习 第49讲 几何证明选讲优秀课件.ppt

第49讲几何证明选讲 主要内容 一 聚焦重点相似三角形 圆的切线与割线 二 廓清疑点线段与角的度量 三 破解难点 等积式问题 聚焦重点 相似三角形 基础知识 相似三角形的判定定理 1 两角对应相等的两个三角形相似 2 两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形相似 3 三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形的性质定理 相似三角形的对应角相等 对应线段的比等于相似比 面积比等于相似比的平方 问题研究 如何判断两个三角形相似 经典例题1 例1已知ad是 abc的边bc上的高 若ad2 bd cd 判断 abc的形状 思路分析 思路1直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项 从而 推导出 abc是直角三角形 错误 原命题成立 逆命题不一定成立 例1已知ad是 abc的边bc上的高 若ad2 bd cd 判断 abc的形状 思路分析 思路2 考虑不全 例1已知ad是 abc的边bc上的高 若ad2 bd cd 判断 abc的形状 思路分析 思路3d点与线段bc上的位置有两种情况 d点在线段bc上 d点在线段bc的延长线 或反向延长线 上 例1已知ad是 abc的边bc上的高 若ad2 bd cd 判断 abc的形状 点d还有其他可能吗 求解过程 2 若点d在线段bc的延长线 或反向延长线 上 可得 abc是钝角三角形 回顾反思 3 思维定势 图形类型考虑不全 1 思维策略 根据三角形相似的判定定理进行判断 2 思想方法 分类讨论 4 思维误区 误认为原命题成立 逆命题也成立 经典例题2 例2如图 过圆o外一点m作它的一条切线 切点为a 过a作直线ap垂直于直线om 垂足为p n为线段ap上一点 直线nb垂直直线on 且交圆o于b点 过b点的切线交直线on于k 证明 okm 90 思路分析 思路1 okm mao 思路2 okm kbo 错误 错误 观察图中 有哪些直角三角形 mao kbo onp mke pao okm aop 思路分析 思路3 omk onp 思路4 oae mke 不妥 求解过程 回顾反思 2 思想方法 用运动变化的观点观察图形进行判断 4 思维瑕点 单纯依赖图形的直观进行判断而致误 3 思维策略 甄别选择策略 逆向推理策略 1 基本图形 聚焦重点 圆的切线与割线 基础知识 h d o a r 直线与圆的位置关系 基础知识 相交弦定理圆的两条相交弦 被交点分成两段的积相等 pa pd pb pc 基础知识 割线定理从圆外一点引圆的两条割线 这点到每条割线与圆的交点的两条线段积相等 切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的比例中项 pa pb pc2 pa pb pc pd 问题研究 如何利用圆幂定理解题 经典例题3 例3两圆o1 o2相交于m n两点 过mn的延长线上一点c做两圆的割线 分别交 o1 o2于b e a d 求证 ab dc bc de 思路分析 例3两圆o1 o2相交于m n两点 过mn的延长线上一点c做两圆的割线 分别交 o1 o2于b e a d 求证 ab dc bc de 思路1 以ab dc bc de为边构造相似三角形 无法完成 思维定势 思路分析 思路2 看一看 结论中ab dc bc de都是线段cd上的一段 怎样才能得到关于ab dc bc de的等积式 抓住公共弦 试一试 在 o1中由割线定理得cm cn bc ce 同理可得cm cn ca dc 例3两圆o1 o2相交于m n两点 过mn的延长线上一点c做两圆的割线 分别交 o1 o2于b e a d 求证 ab dc bc de 与求证等式有差异 ca dc bc ce 思路分析 调整 看一看 比较结论与ca dc bc ce的异同 试一试 将ca bc ab ce dc de代入上式 化简 例3两圆o1 o2相交于m n两点 过mn的延长线上一点c做两圆的割线 分别交 o1 o2于b e a d 求证 ab dc bc de 求解过程 化简 得ab cd cb de 证明由割线定理 得cm cn ca cd cm cn cb ce ca cd cb ce 即 cb ab cd cb cd de 回顾反思 难点突破 比较 分析 转化 解题策略 转化策略 解题关键 两圆相交的问题 公共弦是沟通两圆的桥梁 廓清疑点 线段与角的度量 基础知识 线段的长三角形的边长 圆的切线与割线长 弦长 角的大小三角形的内角 圆周角与圆的弦切角 问题研究 如何求线段和角的大小 经典例题4 例4如图 已知 o1和 o2相交于点a b 过点a作 o1的切线交 o2于点c 过点b作两圆的割线 分别交 o1和 o2于点d e de与ac相交于点p 若 adb 30 求 ceb的大小 若ad是 o2的切线 且pa 6 pc 2 bd 9 求ad的长 思路分析 1 思路1 cep与 adb分别是 cep与 adp的内角 apb epc 对顶角 能否找出 dap与 ecp的关系 困难 例4如图 已知 o1和 o2相交于点a b 过点a作 o1的切线交 o2于点c 过点b作两圆的割线 分别交 o1和 o2于点d e de与ac相交于点p 求证 若 adb 30 求 ceb的大小 思路分析 思路2 是否存在与 ceb和 adb都相关的第三个量 例4如图 已知 o1和 o2相交于点a b 过点a作 o1的切线交 o2于点c 过点b作两圆的割线 分别交 o1和 o2于点d e de与ac相交于点p 求证 若 adb 30 求 ceb的大小 思路分析 2 思路1 欲求线段ad与已知线段pa pc分别在 adp和 cep中 adp和 cep有什么关系 困难 相似 若ad是 o2的切线 且pa 6 pc 2 bd 9 求ad的长 思路分析 2 思路2 考虑到条件ad是 o2的切线 由切割线定理有ad2 db de 要求ad的长 关键是求出be 将be分解成bp与pe两个部分 由相交弦定理 ap pc bp pe 还需bp与pe的一个关系 adp和 cep相似且pa 6 pc 2 求解过程 解析 连结ab 设bp x pe y pa 6 pc 2 xy 12 求解过程 回顾反思 由此及彼 方程思想 解题策略 难点突破 目标分解 破解难点 等积式问题 问题研究 如何破解平面几何中的等积式问题 经典例题5 例5在 abc中 d为bc的中点 e为ac上任一点 延长de与ba的延长线相交于点f 求证 ea fb ec fa 思路分析 思路1 过点a作ag bc 交df于点g 思路2 过点a作am df 交bc于点m 例5在 abc中 d为bc的中点 e为ac上任一点 延长de与ba的延长线相交于点f 求证 ea fb ec fa 思路分析 思路3 过点e作eg bf 交bc于点g 思路5 过点d作dn ab 交ec于点n 思路4 过点c作cg ab 交fd的延长线于点g 问题 还有其他作法吗 此路不通 其他 求解过程 以思路1为例 回顾反思 基本方法 等积式化为等比式 利用通过平行截割定理 相似三角形求解或利用圆幂定理 面积关系等进行转化 基本图形 含有平行线段的三角形 含有两条高的锐角三角形 基本途径 用等积式中的线段构造相似三角形 总结提炼 知识与内容 一 聚焦重点相似三角形 圆的切线与割线 二 廓清疑点线段与角的度量 三 破解难点等积式问题 总结提炼 思想与方法 二 方程思想 三 分类讨论思想 一 通性通法寻求条件之间 条件与结论之间的联系 四 运动的观点观察 判断 分析问题 总结提炼 策略与过程一 解题策略逆向推理 目标分解 甄别选择 二 解题程序观察 比较 分析 调整 证明 同步练习 2 如图 ab与cd是 o的直径 ab cd p是ab延长线上一点 连结pc交 o于点e 连结de交ab于点f 若ab 2bp 求证 pf po 3pb2 同步练习 3 如图 在直角梯形abcd中 b 90 ad bc ad