江苏省南通市通州高级中学高考数学总复习 第41讲 直接证明与间接证明优秀课件.ppt

第41讲直接证明与间接证明 主要内容 一 聚焦重点 三 廓清疑点 存在型问题的解决策略 二 破解难点 反证法及其思维特点 综合法 分析法及其思维特点 基础知识 证明 引用一些真实命题来确定某一命题真实性的思维方式 基础知识 直接证明 直接从原命题的条件出发 逐步推得命题成立的证明方法 其一般形式为 聚焦重点 综合法 分析法及其思维特点 问题研究 如何用综合法和分析法证明一个数学问题呢 典型例题1 例1在 abc中 三个内角a b c的对应边分别为a b c 且a b c成等差数列 a b c成等比数列 求证 abc为等边三角形 思路分析 例1在 abc中 三个内角a b c的对应边分别为a b c 且a b c成等差数列 a b c成等比数列 求证 abc为等边三角形 思考题中给出的两个条件 一个是角的关系 一个是边的关系 如何将二者统一起来呢 思路1将角的关系通过余弦定理转化为边的关系 思路2将边的关系通过正弦定理转化为角的关系 正弦定理 余弦定理 证明过程 证法1 由余弦定理 得b2 a2 c2 ac 又由已知b2 ac b2 ac 证明过程 cos a c cosacosc sinasinccos a c cosacosc sinasinc 回顾反思 1 证明方法 从已知条件出发 以已知定义 公理 定理等为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法叫做综合法 2 思维特点 紧扣条件 由因导果 典型例题2 例2如图 sa 平面abc ab bc ae sb于e ef sc于f 求证 af sc 思路分析 例2如图 sa 平面abc ab bc ae sb于e ef sc于f 求证 af sc 分析法要证af sc 只需证sc 平面aef 也就是要证ae sc 只需证ae 平面sbc 也就是要证ae bc ef sc ae sb 思路分析 例2如图 sa 平面abc ab bc ae sb于e ef sc于f 求证 af sc 只需证bc 平面sab 也就是要证bc sa 事实上 sa 平面abc bc sa成立 所以af sc成立 bc ab 分析法也就是要证ae bc 回顾反思 1 证明方法 从要证明的结论出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止 这种证明的方法叫做分析法 2 思维特点 锁定目标 执果索因 回顾反思 分析法和综合法是两种常见的思维方法 人们常利用这两种思维方法来寻求证明问题的思路 分析法解题方向较为明确 利于寻找解题思路 综合法条理清晰 易于表达 因此 在实际解题过程中 通常以分析法为主寻求解题思路 再用综合法有条理地表述解题过程 典型例题2 例2如图 sa 平面abc ab bc ae sb于e ef sc于f 求证 af sc 破解难点 反证法及其思维特点 基础知识 1 反证法 假设命题结论的反面成立 经过正确推理 引出矛盾 因此说明假设错误 从而证明原命题成立 这样的证明方法叫反证法 2 思维过程 用反证法证明命题 若p则q 的过程可用框图表示为 问题研究 如何用反证法证明一个数学问题呢 典型例题3 例3 求证 如果a b 0 那么 若a b c均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 若a b 0 1 求证 1 a b 1 b a不可能同时大于 思路分析 例3 求证 如果a b 0 那么 分析 采用反证法 证明过程 例3 求证 如果a b 0 那么 回顾反思 1 思维特点 否定 推理 否定 回顾反思 4 思维瑕点 未就结论反面的各种情况一一予以否定 3 思维误区 试图采用分析法 若证 只需证a b 循环论证 逻辑混乱 丢三落四 以偏概全 5 归谬情形 在反设结论不真的前提下 推出与已知条件矛盾 问题研究 思考 用反证法归谬 矛盾通常有哪些情形 典型例题3 所以假设不成立 从而命题得证 与基本事实矛盾 例3 若a b c均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 证明假设a b c 0 则a b c 0 即 x2 2y y2 2z z2 2x x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 0 典型例题3 例3 若a b 0 1 求证 1 a b 1 b a不可能同时大于 自相矛盾 所以假设不成立 从而原命题得证 证明假设 1 a b 1 b a 则一方面 1 a b 1 b a 又1 a b 1 b a 1 a a 1 b b 回顾反思 1 归谬情形 与已知条件矛盾 与基本事实矛盾 自相矛盾 2 问题类型 直接证明比较困难 结论为否定形式的命题 唯一性 命题 结论为 至多 至少 等一类命题 问题研究 对于同一个命题 是否既可采用直接证明又可采用间接证明 典型例题4 例4已知x y 0 且x3 y3 2 求证 x y 2 典型例题4 例4已知x y 0 且x3 y3 2 求证 x y 2 典型例题4 例4已知x y 0 且x3 y3 2 求证 x y 2 廓清疑点 存在型问题的解决策略 例5如图 四棱锥p abcd的底面是平行四边形 点e在棱pd上 且pe 2ed 试问 在棱pc上是否存在一点f 使得bf 平面aec 证明你的结论 典型例题5 例5如图 四棱锥p abcd的底面是平行四边形 点e在棱pd上 且pe 2ed 试问 在棱pc上是否存在一点f 使得bf 平面aec 证明你的结论 思路分析 求解过程 解存在棱pc的中点f 使得bf 平面aec 证明如下 设ac bd o 联结fd交ce于g 联结og 取pe中点m 联结mf 例5如图 四棱锥p abcd的底面是平行四边形 点e在棱pd上 且pe 2ed 试问 在棱pc上是否存在一点f 使得bf 平面aec 证明你的结论 思路分析 求解过程 解存在棱pc的中点f 使得bf 平面aec 求解过程 存在型问题的解决策略之一 分析法探究结论 综合法证明结论 回顾反思 存在型问题当结论肯定时 其解题步骤是 先回答结论正确 再给出证明过程 典型例题6 思路分析 分析设出点m的坐标 将点m满足的几何条件代数化 看看能否求出点m的坐标 如果真能求出 说明m存在 如果不能求出 说明m不存在 求解过程 求解过程 存在型问题的解决策略之二 假设存在 根据题设条件进行严密推理 若推出矛盾 则符合条件的对象不存在 若不能推出矛盾 则符合条件的对象存在 回顾反思 存在型问题当结论否定时 其实质就是反证法 在本例求解过程中 应注意以下问题 应通过椭圆的第二定义将条件中的 等比中项 进行简化 要竭力防止在求得x0后 即妄下结论 注意结合x0的取值范围推出矛盾 可简化运算 回顾反思 总结提炼 同步练习 2 已知函数f x 在 上为增函数 求证 若a b 0 则f a f b f a f b 试问 中命题的逆命题成立吗 证明你的结论 1 已知 abc的三边为a b