江苏省宿迁市马陵中学高中数学 3.1.2 瞬时变化率 导数（1）课件 苏教版选修11.ppt

高中数学选修1 1 3 1 2瞬时变化率 导数 1 问题情境 问题一 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 问题二 观察 点p附近的曲线 随着图形放大 你看到了怎样的现象 问题三 这种现象下 这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了什么图形呢 探究结论 从上面的图形变化过程来看 1 曲线在点p附近看上去几乎成了直线 2 继续放大 曲线在点p附近将逼近一条确定的直线l 这条直线是过点p的所有直线中最逼近曲线的一条直线 3 点p附近可以用这条直线代替曲线 即在很小范围内以直代曲 深入探究 如图所示 直线l1 l2为经过曲线上一点p的两条直线 问题一 试判断哪一条直线在点p附近更加逼近曲线 问题二 在点p附近能作出一条比l1 l2更加逼近曲线的直线l3吗 问题三 在点p附近还能作出比l1 l2 l3更加逼近曲线的直线吗 p q o x y y f x 割线 切线 l 建构数学 如图 设q为曲线c上不同于p的一点 直线pq称为曲线的割线 p为已知曲线c上的一点 如何求出点p处的切线方程 随着点q沿曲线c向点p运动 割线pq在点p附近逼近曲线c 当 直线l 这条直线l也称为曲线在点p处的切线 这种方法叫割线逼近切线 点q无限逼近点p时 直线pq最终就成为经过点p处最逼近曲线的 y o x p q 试求f x x2在点 2 4 处的切线斜率 q x 数学运用 分析 设p 2 4 q xq f xq 则割线pq的斜率为 当q沿曲线逼近点p时 割线pq逼近点p处的切线 从而割线斜率逼近切线斜率 当q点横坐标无限趋近于p点横坐标时 即xq无限趋近于2时 kpq无限趋近于常数4 从而曲线f x x2在点 2 4 处的切线斜率为4 练习 试求f x x2 1在x 1处的切线斜率 解 设p 2 4 q xq xq2 则割线pq的斜率为 当xq无限趋近于2时 kpq无限趋近于常数4 从而曲线f x x2在点 2 4 处的切线斜率为4 解 设p 2 4 q 2 x 2 x 2 则割线pq的斜率为 当 x无限趋近于0时 kpq无限趋近于常数4 从而曲线f x x2在点 2 4 处的切线斜率为4 练习 试求f x x2 1在x 1处的切线斜率 当 x无限趋近于0时 割线逼近切线 割线斜率逼近切线斜率 找到定点p的坐标设出动点q的坐标 求出割线斜率 解 由题意 设p 1 2 q 1 x 1 x 2 1 则割线pq斜率为 当 x无限趋近于0时 kpq无限趋近于常数2 从而曲线f x x2 1在点x 1处的切线斜率为2 y x o y f x x x0 x0 x p q f x0 x f x0 切线 割线 p x0 f x0 q x0 x f x0 x x 0时 点q位于点p的右侧 y f x x 0时 点q位于点p的左侧 2 求出割线pq的斜率 并化简 求曲线y f x 上一点p x0 f x0 处切线斜率的一般步骤 3 令 x趋向于0 若上式中的割线斜率 逼近 一个常数 则其即为所求切线斜率 1 设曲线上另一点q x0 x f x0 x m 即 y 变式训练 课堂练习 练习 1 曲线上一点p处的切线是过点p的所有直线中最接近p点附近曲线的直线 则p点处的变化趋势可以由该点处的切线反映 局部以直代曲 2 根据定义 利用割线逼近切线的方法 可以求出曲线在一点