山东省高中数学《1.1.2 余弦定理》课件 新人教A版必修5.ppt

课标要求 1 通过对任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理 2 会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量问题 核心扫描 1 应用余弦定理解三角形 重点 2 本节内容常与三角函数 三角恒等变换 正弦定理等知识结合 难点 3 应用余弦定理判断三角形的形状 易错点 1 1 2余弦定理 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的 减去这两边与它们的夹角的 的积的 即a2 b2 c2 余弦定理的推论 自学导引 1 2 余弦 平方的和 两倍 b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 2abcosc 若 abc为钝角三角形 且a 90 则a b c三边满足什么关系 提示 a b c为 abc的三边 且a 90 余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题 1 已知三角形的三边 求其 2 已知 和 求第三边和其他两个角 3 三个角 两边 夹角 余弦定理和勾股定理有什么联系 提示 若 abc为直角三角形 且c 90 则cosc 余弦定理的理解余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律 也是解三角形的重要工具 1 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 利用方程的观点 可以知三求一 2 余弦定理也为求三角形的有关量 如面积 外接圆 内切圆等 提供了工具 它可以用来判定三角形的形状 证明三角形中的有关等式 在一定程度上 它比正弦定理的应用更加广泛 名师点睛 1 用坐标法证明余弦定理如图建立直角坐标系 则a 0 0 b c 0 c bcosa bsina 由两点间距离公式得a2 bc 2 bcosa c 2 bsina 0 2 b2 sin2a cos2a 2bccosa c2 b2 c2 2bccosa 同理可证b2 c2 a2 2cacosb c2 a2 b2 2abcosc 2 题型一已知两边及一角解三角形 在 abc中 已知b 3 c 3 b 30 求角a 角c和边a 思路探索 可先由正弦定理求出角c 然后再求其他的边和角 也可以由余弦定理列出关于边长a的方程 首先求出边长a 再由正弦定理求角a 角c 例1 当c 120 时 a 30 abc为等腰三角形 a 3 已知两边及一角解三角形有以下两种情况 1 若已知角是其中一边的对角 有两种解法 一种方法是利用正弦定理先求角 再求边 另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解 2 若已知角是两边的夹角 则直接运用余弦定理求出另外一边 然后根据边角关系利用正弦定理求解 在 abc中 已知a 5 b 3 角c的余弦值是方程5x2 7x 6 0的根 求第三边长c 解5x2 7x 6 0可化为 5x 3 x 2 0 变式1 思路探索 利用余弦定理的推论解题 题型二已知三边 三边关系 解三角形 例2 1 已知三角形三边求角时 可先利用余弦定理求解 再用正弦定理求解 在用正弦定理求解时 要根据边的大小确定角的大小 防止产生增解或漏解 2 若已知三角形三边的比例关系 常根据比例的性质引入k 从而转化为已知三边求解 在 abc中 已知bc 7 ac 8 ab 9 试求ac边上的中线长 解由余弦定理和条件知 变式2 思路探索 用余弦定理将已知等式转化为边之间的关系式 化简后判断三角形的形状 也可用正弦定理将等式化成角的三角函数关系式 进而判断三角形的形状 题型三三角形形状的判定 例3 b2 c2 a2 2b2 即a2 b2 c2 abc是直角三角形 法二在 abc中 设其外接圆半径为r 由正弦定理 b 2rsinb c 2rsinc 1 法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式 法二是借助于正弦定理 将已知等式转化为角的三角函数关系式 这两种方法是判断三角形形状的常用手段 然后 利用代数变形或三角函数变形对边的关系或角的关系进行分析判断 2 一般地 如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式 要考虑用余弦定理 反之 若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式 则大多用正弦定理 若是以上特征不明显 则要考虑两个定理都有可能用 在 abc中 若 a ccosb sinb b ccosa sina 判断 abc的形状 a2 b2 c2 0或a2 b2 故三角形为等腰三角形或直角三角形 变式3 法二由正弦定理 原等式可化为 sina sinccosb sinb sinb sinccosa sina sinbcosb sinacosa sin2b sin2a 2b 2a或2b 2a a b或a b 故 abc为等腰三角形或直角三角形 如图所示 在四边形abcd中 ad cd ad 10 ab 14 bda 60 bcd 135 求bc的长 审题指导 规范解答 在 abd中 ad 10 ab 14 bda 60 设bd x 据余弦定理 ab2 ad2 bd2 2ad bdcos bda 4分 142 102 x2 2 10 xcos60 6分 即x2 10 x 96 0 解得x1 16 x2 6 舍去 bd 16 8分 ad cd bda 60 cdb 30 题型四正 余弦定理的综合应用 例4 题后反思 余弦定理和正弦定理一样 都是围绕着三角形进行边角互换的 解三角形时 注意分析三角形中的条件是否够用 条件不够的三角形 要探索与其他三角形的关系 条件够时 注意选择是应用正弦定理 还是余弦定理 必要时也可列方程 组 求解 同时 在有关三角形的题目中 要有意识地考虑用哪个定理更合适 或是两个定理都要用 要抓住能利用某个定理的信息 在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且sinacosc 3cosasinc 求b 解法一在 abc中 sinacosc 3cosasinc 则由正弦定理及余弦定理有 2 a2 c2 b2 又由已知a2 c2 2b 4b b2 解得b 4或b 0 舍 变式4 法二由余弦定理得 a2 c2 b2 2bccosa 又a2 c2 2b b 0 所以b 2ccosa 2 又sinacosc 3cosasinc sinacosc cosasinc 4cosasinc sin a c 4cosasinc 即sinb 4cosasinc 由正弦定理得sinb sinc 故b 4ccosa 由 解得b 4 设2a 1 a 2a 1为钝角三角形的三边 求实数a的取值范围 错解 2a 1 a 2a 1是三角形的三边 误区警示误区