中山市高二级2009—2010学年度第一学期期末统一考试（数学理）.doc

中山市高二级20092010学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。第I卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1在ABC中，c=20，则边a的长为A B C D2不等式的解集是A B C D3已知数列满足，则A0 B1 C2 D3xyO144设函数f(x)的图象如右图所示，则导函数f (x)的图象可能为xyO14B.xyO14A.xyO14C.xyO14D.5四个不相等的正数、成等差数列，则下列关系式一定成立的是A B C D6命题“R，”的真假判断及该命题的否定为A真； R， B假； R，C真； R， D假； R，7我市某企业在2009年元月份为战胜国际背景下的金融危机，积极响应国务院提出的产业振兴计划，对每周的自动化生产项目中进行程序优化. 在程序设计中，需要采用一个七进制计数器，所谓七进制即“逢七进一”，如表示七进制数，将它转换成十进制形式，是= 444，那么将七进制数转换成十进制形式是A B C D8椭圆C：的焦点为，有下列研究问题及结论： 曲线与椭圆C的焦点相同； 一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点，顶点在原点，则其标准方程为； 若点为椭圆上一点，且满足，则8.则以上研究结论正确的序号依次是A BCD 第II卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上）9如果双曲线上一点P到焦点的距离等于7，那么点P到另一个焦点的距离是 . 10已知函数，则 . 11已知向量=（2，1，2），=（1，0，3），则 . 12当满足不等式组时，目标函数的最大值是 .13数列的前n项和为，其中c为常数，则该数列为等比数列的充要条件是 . 14为迎接2010年11月12日至27日在广州举办的第16届亚运会，某高台跳水运动员加强训练，经多次统计与分析，得到t 秒时该运动员相对于水面的高度（单位：m）是. 则该运动员在秒时的瞬时速度为 ，经过 秒后该运动员落入水中. 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15（13分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的图象在点处的切线方程.16（13分）某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园. 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m、90 m、120 m . （1）求该三角形区域最大角的余弦值；（2）求该三角形区域的面积. 17 （13分）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD是正方形，,且. （1）设， 试用表示；（2）O为四棱柱的中心，求的长；（3）求证：.ABFyxO18（13分）斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点.（1）求该抛物线的标准方程和准线方程；（2）求线段AB的长；19 （14分）某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔（如右图），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，从而实现热电系统循环水的零排放.（1）冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，要求它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为20 m，且双曲线的离心率为，试求冷却塔的高应当设计为多少？（2）该项目首次需投入资金4000万元，每年节能后可增加收入600万元. 投入使用后第一年的维护费用为30万元，以后逐年递增20万元. 为使年平均节能减排收益达到最大值，多少年后报废该套冷却塔系统比较适合？20. （14分）已知函数. 定义函数与实数m的一种符号运算为.（1）求使函数值大于0的x的取值范围；（2）若，求在区间上的最大值与最小值；（3）是否存在一个数列，使得其前n项和. 若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由.中山市20092010学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）答案一、选择题：BABC BDCC二、填空题：9. 19； 10. 5； 11. ； 12. 5； 13. ； 14. ，2.5 .三、解答题： 15. 解：. （2分）（1）由及，解得. 函数的单调递增区间为. （6分）（2）. （8分）切线的斜率. （10分） 所求切线方程为：. （13分）16. 解：（1）设a=70 m，b=90 m，c=120 m ，则最大角为角C. （2分）根据余弦定理的推论，得 （5分）. （7分）（2）， （9分） . （12分） 所以该三角形区域的面积是. （13分）17. 解：（1）由，得. （2分） 所以，. （3分）（2）O为四棱柱的中心，即O为线段的中点. （4分）由已知条件，得，. （5分）根据向量加减法得，. . （8分） 的长为.所以. （9分）（3） ， （12分） . （13分）18. 解：（1）由焦点，得，解得. （2分）所以抛物线的方程为，其准线方程为， （4分）（2）设，.直线l的方程为. （5分）ABFyxOAB与抛物线方程联立，得， （7分）消去y，整理得， （9分）由抛物线的定义可知，.所以，线段AB的长为. （13分）19. 解：（1）如图，建立平面直角坐标系. 设双曲线方程为.由题意可知，解得.（2分）从而. （3分） 双曲线方程为. （4分）将代入，解得；代入，解得. （6分）所以，冷却塔的高为 . （7分）（2）年后的年平均减排收益为 （9分）. （11分）当且仅当即时等号成立. （12分）所以，20年后报废该套冷却塔系统比较适合. （13分）20. 解：（1）由，得， （1分）即，解得或.所以，x的取值范围为 . （3分）（2） . （5分）对求导，得. 令，解得或. （6分）当x变化时，、的变化情况如下表：x034+003所以，在区间上的最大值为，最小值为. （10分）（3）存在. 由（2）得. （11分）当时， 当时，. （13分）所以，. （14分）1题：教材必修 P10 1（1）改编，考查正弦定理.2题：教材必修 P80习题A组第1（4）题，考查一元二次不等式.3题：教材必修 P31练习第2题，考查递推数列.4题：教材选修1-1 P91例1改编，考查导数与函数单调性.6题：教材选修1-1 P27 习题A组第3（3）题，考查特称命题的否定及一元二次不等式.8题：教材选修1-1 P68 习题A组第3题改编，考查椭圆几何性质、抛物线标准方程、向量运算.9题：教材选修2-1 P42 练习第1题改编，考查双曲线定义.11题：教材选修2-1 P98 习题3.1 A组7题改编，考查空间向量的运算.14题：教材选修1-1 P79 习题3.1 A组第2题改编，考查导数的物理意义、一元二次不等式的应用问题.15题：教材选修1-1 P91 例2（3）改编，考查导数的几何意义、利用导数研究函数单调性.16题：教材必修 P17 例8改编，考查余弦定理、三角形面积计算.17题：教材选修2-1 P105 例1改编，考查向量法.18题：教材选