山东省冠县武训高中数学《1.6三角函数模型的简单应用》课件 新人教A版必修4.ppt

1 6三角函数模型的简单应用 1 知识目标 通过对三角函数模型的简单应用的学习 初步学会由图象求解析式的方法 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 2 能力目标 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 建模 思想 从而培养学生建模 分析问题 数形结合 抽象概括等能力 3 情感目标 让学生切身感受数学建模的过程 体验数学在解决实际问题中的价值和作用 从而激发学生的学习兴趣 培养锲而不舍的钻研精神 培养学生勇于探索 勤于思考的精神 在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化 用数学语言可以说这些现象具有周期性 而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型 比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究 这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用 正弦型函数 1 物理情景 简谐运动 星体的环绕运动2 地理情景 气温变化规律 月圆与月缺3 心理 生理现象 情绪的波动 智力变化状况 体力变化状况4 日常生活现象 涨潮与退潮 股票变化 根据图象建立三角函数关系 例1如图 某地一天从6 14时的温度变化曲线近似满足函数 思考1 这一天6 14时的最大温差是多少 思考2 函数式中a b的值分别是多少 30 10 20 a 10 b 20 思考3 如何确定函数式中和的值 思考4 这段曲线对应的函数是什么 思考5 这一天12时的温度大概是多少 27 07 一般的 所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻的温度变化情况 因此应当特别注意自变量的变化范围 方法小结 根据解析式模型建立图象模型 例2画出函数y sinx 的图象并观察其周期 解 函数图象如图所示 从图中可以看出 函数是以 为周期的波浪形曲线 由于 所以 函数是以 为周期的函数 我们也可以这样进行验证 利用函数图象的直观性 通过观察图象而获得对函数性质的认识 这是研究数学问题的常用方法 例3如图 设地球表面某地正午太阳高度角为 为此时太阳直射纬度 为该地的纬度值 那么这三个量之间的关系是 90 当地夏半年 取正值 冬半年 取负值 将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型 如图 设地球表面某地纬度值为 正午太阳高度角为 此时太阳直射纬度为 那么这三个量之间的关系是 当地夏半年 取正值 冬半年 取负值 太阳光 地心 北半球 南半球 太阳高度角的定义 太阳光 地心 太阳光直射南半球 分析 根据地理知识 能够被太阳直射到的地区为 南 北回归线之间的地带 画出图形如下 由画图易知 如果在北京地区 纬度数约为北纬40 的一幢高为h的楼房北面盖一新楼 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 两楼的距离应不小于多少 解 如图 a b c分别为太阳直射北回归线 赤道 南回归线时 楼顶在地面上的投影点 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡 应取太阳直射南回归线的情况考虑 此时的太阳直射纬度为 23 26 依题意两楼的间距应不小于mc 根据太阳高度角的定义 有 c 90 40 23 26 26 34 所以 即在盖楼时 为使后楼不被前楼遮挡 要留出相当于楼高两倍的间距 将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚 例4海水受日月的引力 在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐 一般地 早潮叫潮 晚潮叫汐 在通常情况下 船在涨潮时驶进航道 靠近船坞 卸货后 在落潮时返回海洋 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表 1 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 并给出整点时的水深的近似数值 精确到0 001 2 一条货船的吃水深度 船底与水面的距离 为4米 安全条例规定至少要有1 5米的安全间隙 船底与洋底的距离 该船何时能进入港口 在港口能呆多久 3 若某船的吃水深度为4米 安全间隙为1 5米 该船在2 00开始卸货 吃水深度以每小时0 3米的速度减少 那么该船在什么时间必须停止卸货 将船驶向较深的水域 根据图象 可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系 从数据和图象可以得出 解 1 以时间为横坐标 水深为纵坐标 在直角坐标系中画出散点图 a 2 5 h 5 t 12 0 由 得 所以 这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值 2 货船需要的安全水深为4 1 5 5 5 米 所以当y 5 5时就可以进港 令化简得 由计算器计算可得 解得 因为 所以有函数周期性易得 因此 货船可以在凌晨零时30分左右进港 早晨5时30分左右出港 或在中午12时30分左右进港 下午17时30分左右出港 每次可以在港口停留5小时左右 3 设在时刻x船舶的安全水深为y 那么y 5 5 0 3 x 2 x 2 在同一坐标系内作出这两个函数的图象 可以看到在6 7时之间两个函数图象有一个交点 通过计算可得 在6时的水深约为5米 此时船舶的安全水深约为4 3米 6 5时的水深约为4 2米 此时船舶的安全水深约为4 1米 7时的水深约为3 8米 而船舶的安全水深约为4米 因此为了安全 船舶最好在6 5时之前停止卸货 将船舶驶向较深的水域 1 单摆从某点开始来回摆动 离开平衡位置o的距离scm和时间ts的函数关系式为 s 6sin 2 t 那么单摆来回摆动一次所需的时间为 a 2 s b s c 0 5s d 1s d 2 已知某海滨浴场的海浪高度y 米 是时间t 其中0 t 24 单位 小时 的函数 记作y f t 下表是某日各时的浪高数据 经长期观测 y f t 的曲线可近似地看成是函数y acos t b 根据以上数据 函数的解析式为 3 若函数f x sinx 2 sinx x 0 2 的图象与直线y k有且只有两个不同的交点 则k的取值范围是 解析 f x 其图象如图所示 若有两个交点 则1 k 3 答案 1 k 3 1 根据三角函数图象建立函数解析式 就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值 同时要注意函数的定义域