二次函数图象与性质在必修一中的应用.doc

二次函数图像与性质的应用课程纲要课程名称二次函数图像与性质的应用主讲人盛朝霞日期2012.11授课对象高一总课时2课程类型学科拓展类学校垣曲中学课程目标1. 通过教学，使学生深刻理解二次函数的图像与性质2. 通过教学，使学生掌握二次函数与基本初等函数复合的综合性知识3. 通过教学，培养学生数形结合、化归转化及识图能力课程内容1.二次函数的基本性质2.二次函数性质的综合应用课程实施建议高一必修1第一章上完后进行1.1的专题讲解高一必修1第二章上完后进行1.2的专题讲解课程评价评价指标一：学生出勤情况、课堂纪律情况评价指标二：教师综合评定所需资料与条件教学场地：教室教学设备：多媒体、学习资料二次函数图像与性质的应用【课标要求】1. 了解二次函数解析式的三种形式, 并学会用待定系数法求二次函数解析式；2. 能解决与二次函数有关的复合函数的单调性问题；3. 学会求解二次函数特定定义域限定下的最值问题；4. 了解一元二次方程根与判别式间的关系，掌握三个“二次”之间的关系；5.培养学生数形结合、化归转化及识图能力.【内容分析】在初中，我们已经对二次函数有了比较详细的研究.由于大纲要求较浅，同时局限于学生的数学基础和知识的储备，学生很难从本质上加以理解.进入高中以后，二次函数除在不等式那里有简单的涉及外，基本上都是穿插在其他内容中。有关二次函数的试题形式灵活，立意新颖，综合考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力.因此可以以它为代表来研究函数的性质，同时建立起函数、方程、不等式之间的联系.所以在教学中教师需要对二次函数的基本概念、性质、应用进行专题训练，让学生深入理解，灵活应用.1.1 二次函数的基本性质1.1.1 二次函数的解析式我们在初中已经接触过二次函数的三种解析式，请同学们完成下表顶点坐标对称轴最值一般式顶点式两点式这三种形式各有所长，在我们处理遇到的实际问题时，应该根据具体的情况选择适合的解析式，这样可以简化我们的计算过程.例1 已知二次函数满足, , 且的最大值是8，试确定此二次函数解析式解：设二次函数的解析式是。由题意得对称轴，顶点坐标为从而得出.将点代入方程得综上即得.例 2 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程有两个相等实根，求的解析式解：因为的解集为，所以可设且，即.由，得。由题意知判别式， 得， 解得或(舍)故.1.1.2二次函数的单调性和最值在高中阶段学习单调性时，引例从二次函数的角度出发学习的单调性.对于一般的二次函数，当时,函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的.当时,则结论相反.这些结论都建立在严格的论证基础上的，同时利用函数图像给学生以直观的印象，使得学生逐步自学的利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性. 例1 若函数的单调递减区间是，求实数的值 解：函数的对称轴为由题意得，所以. 例2 若函数在区间上是减函数,求实数a的取值范围。 解：函数的对称轴为由题意得，解得. 例 3 画出函数的图像，并通过图像研究其单调性 解：图由图知，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.注：这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像由二次函数的图像易得二次函数当时,函数有最小值，当时,函数有最大值也是.例1已知，当的x取值范围为下列情况时，求函数的最大值和最小值(1) R (2) (3) 解：函数图像开口向上，对称轴为直线当时，函数是单调递减函数，当时，有最大值6； 当时，有最小值3当时，函数先减后增，当时，有最小值2 当时，有最大值6当时，函数是完整的抛物线，当时，有最小值2，函数无最大值. 例2 试求函数时的最小值.分析：函数的对称轴是，它在区间的左侧？右侧？还是里面？解：当时，即时，函数在上是单调递减的，所以当时，当时，即时，函数在上是单调递增的，所以当时， 当时，即时，函数在时取得最小值思考： 此题若变为求最大值, 应分几种情况讨论?例4 函数在区间上的最小值为,试求的表达式.分析：函数的对称轴是，它在区间的左侧？右侧？还是里面？解：对称轴： 当时，函数在区间上是单调递增的，所以当时，函数有最小值 当时，即时，函数在区间上是单调递减的，所以当时，函数有最小值 当时，即是，函数在时有最小值综上所述，当时，；当时，；当，.思考：通过上面的学习可以发现二次函数的最值与哪些因素有关？什么关系？总结：1.二次函数在闭区间m,n上的最大值和最小值：(1)若, 则, =max(2)若，当时,， . 当时, ，.当时，结果则相反.2.求二次函数在闭区间上最值的方法：一看开口方向：二看对称轴与在区间相对位置。若区间端点或解析式含有字母参数，应进行分类讨论(按对称轴与区间的位置分类).【练习】1.函数上的最大值为,试求的表达式.2 .若函数在区间上是减函数，求的取值范围.3 .若函数的单调递增区间是，求实数的值.4.画出函数的图像，并通过图像研究函数的单调性.5. 函数在区间上的最大值2，求实数a的值.1.2二次函数性质的综合应用1.2.1二次函数与一元二次不等式的综合问题首先我们先来回顾一元二次方程根的问题 观察上述四个方程，并思考以下问题.一元二次方程一定有解吗？它的解与什么有关，并且快速的完成下表.一元二次方程的解与判别式之间的关系解的个数方程的解 我们接下来观察二次函数的图像并考虑通过图像怎样求解对应的方程与不等式的解.例1 请同学们在画出二次函数的草图（6个）.思考：通过二次函数的图像，能否读出对应方程的根？怎么读？观察二次函数的图像，并试着通过图像在下表写出对应的不等式的解集.（若，设图像与轴的交点横坐标是）思考：如果，上面不等式的解集又是什么？解题时的第一步是什么？例2 若的解集为，求解。解：由题得方程的两个根为,所以及由上即得.例3 若的根是-1和2，求的解集.解：由题得的解集为.例4 试解下面关于的不等式：分析：这是带有参数的不等式，因此做题时要分类讨论.解：有题意得，先求方程的根.而若，即时，方程有两个根所以当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为;若，即，则方程的根为所以不等式的解析式为;若，即时，不等式的解集为.思考：上述题目是含参数不等式，分类讨论点是如何寻找的？1.2.2 二次函数与基本初等函数的综合应用高一必修1第一章在初中学习函数的基础上，对函数内容加以延伸和推广，主要内容包括指数函数、对数函数、幂函数等。这样很多学生感到学习函数难，尤其是对二次函数的相关题型感到很难.从高考角度看，二次函数占的比例都比较大，有很多都是以压轴题的形式出现.因此我们有必要对二次函数的相关题型进行整合练习.我们先从二次函数与分段函数复合的题型着手.1二次函数与分段函数复合例1已知函数是定义在上的奇函数，当时，.求出函数的解析式。解：设，则即又是奇函数.注：二次函数和分段函数复合的这类题目做题时关键步骤：在哪个区间求解析式，就设在哪个区间里.然后要利用已知区间的解析式进行代入.利用的奇偶性把写成或，从而解出2二次函数与指数函数复合例2 判断的单调性，并求其值域分析：本题是指数函数与二次函数复合的单调性问题.本题由与复合而成，求出的单调区间，根据“同增异减”就可求出的单调性.解：令，则原函数变为因为在上递减，在上递增，且在上递减，所以在上递增，在上递减。因为所以，所以原函数的值域为.注：求形如的指数函数与二次函数复合的单调性问题.学生在解决这类题目时要注意运用复合函数的单调性“同增异减”.当时，函数与函数的单调性相同；当时，函数与函数的单调性相反.求形如的指数函数与二次函数复合的值域问题，方法有两个：1. 利用单调性的定义判断函数的单调性，然后利用单调性就值域。2. 换元法.换元，令； 求的定义域； 求在时的值域； 利用的单调性求的值域.例3 设且，函数在上的最大值是14，求的值分析：本题是指数函数与二次函数有关的参数问题 .一般遇到这样的题目应用分类讨论的思想。解：当时，在区间上为增函数，则有，解得当时，在区间上为减函数，则有解得综上所述，可得实数的值为或.注：形如，或的指数函数或不等式，常借助换元法来解决，解题时要特别注意换元后新变量的取值范围.3.二次函数与对数函数的复合问题例4.求函数的单调递增区间解：令的取值范围为而函数的对称轴为的单调增区间为，的单调减区间为又为增函数，由“同增异减”可得函数在区间上为增函数，在上为减函数.例5 求函数在区间上的最大值和最小值分析：类似的问题在学习指数函数时研究过，同学们还记得“换元法”吗？如何转化为我们熟悉的函数时问题得以解决？我们可以考虑转化成二次函数的形式，在运