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高山 滑雪板 分析

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第46卷第6期 2006年11月 大 连 理 工 大 学 学 报 Journal of Dalian University of Technology Vol 46 No 6 Nov 2 0 0 6 工程力学文章编号 1000 8608 2006 06 0781 04 收稿日期 2005 02 01 修回日期 2006 10 05 作者简介 陈 礼 1977 男 博士生 高山滑雪板力学特性分析 陈 礼 齐 朝 晖 大连理工大学 工程力学系 辽宁 大连 116024 摘要 高山滑雪运动是一项技术性很强的运动 滑雪板的特性直接影响着运动的效果 因此 对滑雪板的研究有很大的现实意义 用数值研究的方法 从滑雪板的几何特性出发 在转弯 半径关系式的基础上推导了滑雪板转弯运动时的约束方程 建立了单刚体人体滑雪运动的广 义 Lagrange Routh 动力学方程 并对人体在平地和斜坡两种情况下的滑雪运动进行了数值 仿真与分析 计算结果符合实际的实验结果 表明所建立的力学模型能较好地反映滑雪运动的 力学特性 进而增强了对滑雪运动本质的理解 并为进一步的运动仿真提供必要的理论基础 关键词 生物力学 滑雪运动 高山滑雪板模型 非完整系统 动力学方程 中图分类号 O316文献标识码 A 0 引 言 滑雪运动中滑雪板的性能直接影响滑雪运动 的效果 滑雪板的弯曲刚度及形状对滑雪运动的 影响引起了越来越多的关注 国内外对滑雪板的 研究使用传统的实验研究方法居多 如文献 1 2 通过对滑雪板进行实验分析 拟合出滑雪板受力 的经验公式 文献 3 通过真人滑雪 使用高速摄 影 传感器 获得研究数据 分析滑雪板的参数对 滑雪运动的影响 这些研究结果为制造商从安全 性 耐用性角度提高滑雪板性能提供了可借鉴的 方法 也为滑雪者根据稳定性和易操纵性去选择 适合自己的滑雪板提供了有用的参考资料 然 而 由于没能明确给出滑雪板的约束形式等力学 参数 这些研究成果还不能满足对滑雪运动进行 完整力学分析的需要 为解决以上问题 更方便地对滑雪运动进行 完整动力学分析 本文采用理论研究的方法 结合 力学的基本原理和高山滑雪板的转弯半径公式 首次推导出高山滑雪板的力学模型及相应约束方 程 建立单刚体人体滑雪运动的拉格朗日动力学 方程 并在此基础上进行简单的算例求解 1 滑雪板转弯半径 利用相应的人体动作使滑雪板不时地改变前 进方向即为滑雪的转弯 转弯时人体控制滑雪板 倾斜 向滑雪板施重 使其形成弯度 引导转弯 换句话说 没有弯曲变形的滑雪板是不能转弯的 而其倾斜程度决定了转弯的效果 高山滑雪板的几何形状如图 1 a 所示 取边 刃上对称的两点 A B 并和 C O 组成的部分放大 图如图 1 b 所示 其特征可用弦高 CS 弦长 A B 或者曲率半径 R 来表示 受力弯曲变形后 左视 图如图 1 c 侧视图如图 1 d 所示 其中 为板 的弯曲角度 为板弯曲后 A B C 平面相对 CS 的夹角 即弧线贴地时 滑雪板板面和雪面法线的 夹角 通过几何关系推导后可知 R Rsin 1 详见文献 4 式 1 表明 1 弯曲变形时 由 ABC 三点决定的弧形半 径会发生变化 其大小与变形前弧形半径 变形后 倾角相关 2 人体重心大小及位置对转弯半径的影响 仅仅反映在改变倾斜角倾斜快慢上 与转弯半径 无关 3 人只能通过控制姿态 改变滑雪板倾斜 角 使得滑雪板立刃角度不同 以形成不同的弧 形半径 从而达到改变转弯半径的目的 4 变形后边刃上所有的点应当顺从地形成 半径相同的弧 滑雪板的这种柔顺特性对滑雪是 非常有利的 可以为滑雪板的制造提供参考 以上公式仅适用于滑雪板边刃着地并沉陷于雪地的情况 不考虑人体腾空等特殊情形 a 几何图 b 部分放大图 c 变形左视图 d 变形侧视图 图 1 滑雪板 Fig 1 Ski 2 滑雪板约束方程 假设滑雪过程中滑雪板变形较规则 倾斜时 边刃完全嵌入雪地中 且运动中滑雪板与地面保 持接触 建立滑雪板模型如图 2 所示 其中 x y 为滑雪板质心位置 为滑雪板相对x 轴的转角 为滑雪板相对雪面法线的倾角 用以描述滑雪板 的姿态 为滑雪板速度方向相对长轴方向的偏 角 用以描述运动是否有打滑现象 为雪地坡 度 图 2 滑雪板模型 Fig 2 Ski model 滑雪运动中 滑雪板的速度方向受到滑雪板 弯曲边刃的引导不能随意横向滑动 根据力学基 本原理 如果滑雪板的速度方向偏离长轴成 角 度方向运动 可用以下约束方程描述这种关系 x tan y 0 2a 当滑雪板和雪面法线成 角时 它的转弯半径由 式 1 决定 滑雪板的速度 角速度的关系可写成 约束方程 x cos y sin Rsin 2b 以上两式联立求解可得到滑雪板模型的约束方程 组 x Rsin sin y Rsin cos 2 上式说明 1 一般情况下 该方程不能被积分成有限 形式 这种速度 线速度 角速度 之间的相互约 束为非完整约束 2 滑雪板的运动由原弧形半径 R 转角 倾角 偏角 决定 和雪坡 重力无关 实际滑雪中 不确定因素很多 与 相关的 有雪质的软硬程度 滑雪板弯曲刚度 扭转刚度 处于雪面的状态 滑雪者的重心位置等 由于非 传统滑雪板 很小 5 以下仅对 为零的理想情形 进行探讨 3 单刚体人体滑雪运动的动力学方 程及算例 把人体看做高为 h 站在单块滑雪板上 脚与 滑雪板固定的单刚体系统 系统可使用 x y 来描述 人体和滑雪板质量为 m 则系统总动能 T m x 2 y 2 2 mh y cos x 2 mh 2 2 12 mh2cos 2 12 3 设 x 0 y 0 处势能为零 则系统总势能为 V mg xsin hsin cos 4 系统对应的拉格朗日函数为 L T V 5 根据广义Lagrange Routh 方程 6 d dt L q j L qj Qj 2 i 1 i i q j 6 式中 qj j 1 2 3 4 分别为与 x y 相对应 的广义坐标 i i 1 2 为拉氏乘子 Qj j 1 2 3 4 为除重力外的广义主动力 均为零 i i 782大 连 理 工 大 学 学 报 第46 卷 1 2 为 0 时约束方程组 2 的变换式 1 x R sin sin 2 y R sin cos 7 把式 3 4 5 7 代入式 6 得 mx mhcos 2 mhsin 2 mgsin 1 my mh 2 2 mh cos x sin x 2 mh2cos cos sin 6 Rsgn sin 1sin 2cos mhy 2 mh 2 6 mhsin x 2 mh2sin cos 6 mghcos cos 0 x R sin sin 0 y R sin cos 0 8 以上就是单刚体人体滑雪运动的动力学方程 它 是形式复杂的微分 代数方程组 一般来说没有 解析解 文献 7 8 中给出了求解此类方程组的 数值方法 以下将对几个相对简单的人体滑雪运 动进行具体分析 通过与已有实验结果和理论现 象的对比 验证本文推导出的上述动力学方程在 仿真滑雪运动时的正确性与有效性 3 1 单块滑雪板运动系统 不考虑人的影响 研究单块滑雪板的运动 即 h 为零 m 为滑雪板质量 则约束方程组 2 可以 积分 系统变为完整系统 x x0 Rsgn sin cos y y0 Rsgn sin sin 9 并且式 8 可以求得解析解 x x0 Rsgn sin cos y y0 Rsgn sin sin 0sinh A t 0cosh A t 10 其中x0 y0分别为x 和y 的初始位置 0 0分别为 的初始角度和初始速度 A gsin sin 由式 10 可知 在没有外界干扰改变滑雪板 姿态 的情况下 该运动是绕着 x0 y0 为中心以 Rsin 为半径的变速圆周运动 此结论和 在平 坦的场地 甚至可以通过旋转 侧身和屈膝动作做 出 360 的圆弧转弯 的滑雪说法相一致 3 2 平地滑雪运动 考虑人体的影响 利用动力学方程 8 对h 1 8 m m 75 kg 的人从坡度 0 的雪面上运 动 5 s 的情况进行仿真 其中 原点为初始位置 滑雪板 R 15 m 60 0 并具有10 m s 的 x 向初速度 部分计算结果如图 3 4 所示 各 图中 为向右转弯的开始 为向右转弯的 结束 由图 3 可知 此运动是人体向左 向右相互 交变转弯前进的过程 体现了连续转弯 S 形曲线 的含义 图 4 表明 在转弯开始时滑雪板的地面 支持力和向心力最小 在转弯中期支持力和向心 力最大 这种结论和文献 3 得出的结论一致 图 3 滑雪板 人体重心轨迹 Fig 3 T racks of ski and center of gravity 图 4 滑雪板的受力 Fig 4 Forces applied to ski 3 3 斜坡滑雪运动 考虑坡度的影响 取 18 其他参数值与 3 2中的相同 计算结果如图 5 8 所示 从图中 可知 在转弯开始人体重心最高时 人体摆动速度 最大 在转弯中期人体重心最低处 人体摆动速度 为零 随着速度的加快 人体左右摆动的角度 角 速度 频率也在增大 滑雪板受力也随着速度的加 快而变化加大 甚至出现支持力为负的腾空情形 图 5 滑雪板 人体重心轨迹 18 Fig 5 Tracks of ski and center of gravity 18 783 第6 期 陈 礼等 高山滑雪板力学特性分析 图 6 人体的运动 Fig 6 Movement of skier 图 7 滑雪板转弯半径 Fig 7 T urn radius of ski 图 8 滑雪板受力 18 Fig 8 Forces applied to ski 18 即滑雪板已经脱离雪面 与滑雪板模型的假设不 符 这时滑雪板模型已经不适用 这是由于速度太 快 并且没有人为控制滑行速度造成的 4 结 论 本文通过对高山滑雪板运动进行分析 建立 了滑雪板模型 并推导了单刚体人体滑雪动力学 方程 进行了简单的算例研究 可以看出 模型反 映了滑雪运动转弯的特点 计算出的各种力和实 际实验结果 3 5 大小接近 变化趋势一致 因此模 型是合理的 对高山滑雪运动生物力学研究有一 定的意义 但是由于影响滑雪运动转弯的因素很 多 模型仍存在需要改善之处 参考文献 1 TADA N HIRANO Y In search of the mechanics of a turning alpine ski usingsnow cutting force measurements J Sports Eng 2002 5 15 22 2 TADA N HIRANO Y Simulation of a turning ski using ice cutting data J Sports Eng 1999 2 55 64 3 YONEYAMA T KAGAWA H OKAMOTO A Joint motion and reacting forces in the carving ski turn compared with the conventional ski turn J Sports Eng 2003 3 161 176 4 LIND D SANDERS S P The Physics of Skiing M New York Springer 1996 51 62 5 SAHASHI T ICHINO S Carving turn and edging angle of skis J Sports Eng 2001 4 135 145 6 梅凤翔 非完整系统力学基础 M 北京 北京工业 学院出版社 1985 7 潘振宽 赵维加 洪嘉振 等 多体系统动力学微分 代数方程组数值方法 J 力学进展 1996 26 1 28 40 8 GARCI A J de J BAYO E Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems M New York Springer Verlag 1994 Analyses of mechanical characteristics for alpine ski CHEN Li QI Zhao hui Dept of Eng Mech Dalian Univ of Technol Dalian116024 China Abstract Alpine skiing was a skillful sport A ski had a great effect on sport so that a study would be useful for it A model of alpine ski is presented on the basis of skiing turn radius by numerical methods To verify the proposed model the motion differential equations of one rigid human model were obtained with the generalized Lagrange Routh Equation T hen some examples about the skier on flat and slope ground were given Finally some related conclusions were drawn T he results show that the model can exhibit true characteristics of skiing quite well and help to understand the truth of this sport It provides a necessary theoretical model to further studies on this sport Key words bio mechanics skiing alpine ski model non holonomic system dynamics equations 784大 连 理 工 大 学 学 报 第46 卷

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