高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识巧解学案 新人教A版必修4.doc

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象疱工巧解牛知识巧学一、正弦函数、余弦函数的图象1.利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法，作出点(，sin)，0，2. 由单位圆中的正弦线,可知只要能作出角，就能利用几何法作出对应的正弦值sin.如图1-4-1，当02时，在单位圆中对任意的角，它的弧度数恰好等于角所对的弧长ap，我们可设想把单位圆的圆周拉直到x轴上，使a点与原点重合，这时点p就落到x轴上的(，0)点，由于sin=mp，所以平移mp至此，就可得到一点(，sin).也就是说，要画出点p(，sin)，只需把角的正弦线mp向右平移，使m点与x轴上表示数的点m1重合，得到线段m1p1，由于点p和p1的纵坐标相同，都等于sin，所以点p1(，sin)是以弧ap的长为横坐标，正弦线mp的数量为纵坐标的点.图1-4-12.正弦函数y=sinx，x0，2的图象(1)利用单位圆中的正弦线作y=sinx，x0，2的图象.如图1-4-2，在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点o1，以o1为圆心作单位圆，从圆o1与x轴的交点a起把圆弧分成12等份，过圆o1上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于角0，2等分点的正弦线.相应地，再把x轴上从0到2这一段分成12等份,再把角x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx，x0，2的图象.图1-4-2(2)正弦曲线 根据诱导公式一，终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为2的函数y=sinx，x2k，2(k+1)，kz且k0的图象，与函数y=sinx，x0，2的图象的形状完全一致，只是位置不同.我们只需把y=sinx，x0，2的图象左、右平移(每次2个单位)，就可得到正弦函数y=sinx，xr的图象(如图1-4-3).图1-4-3正弦函数的图象叫做正弦曲线.(3)余弦曲线 根据诱导公式y=cosx=sin(x+)，可知y=cosx与y=sin(x+)是同一函数，而y=sin(x+)的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位而得到的.如图1-4-4.图1-4-4余弦函数的图象叫做余弦曲线. 事实上，y=cosx=sin(x-)，可知余弦函数y=cosx，xr与函数y=sin(x-)也是同一函数，余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位而得到.学法一得 作图象时，函数的自变量要用弧度制，只有自变量与函数值均为实数(即x轴、y轴上的单位统一)，作出的图象才正规，且利于应用. 利用正弦线为端点连线作函数图象时，份数越多，图象越精确，取6的倍数最为适宜，它既保证了点的个数足够多，又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点. 由y=sinx的图象变换得到y=cosx的图象，平移的量是不唯一的，平移的方向也是可左可右的.二、“五点法”作草图 通过正弦曲线、余弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间，-4，-2，-2，0，0，2，2，4，分段，这些闭区间的长度都等于2个单位长度，并且在每一个闭区间上曲线的形状完全一致.因此，要研究曲线的形状，只需选一个闭区间，在这里，我们不妨选择0，2，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲线，它们是(0，0)，(，1)，(，0)，(，-1)，(2，0)；对于余弦曲线，它们是(0，1)，(，0)，(，-1)，(，0)，(2，1).因此，在精确度要求不太高时，可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点法”.学法一得 “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.典题热题知识点一 “五点法”作图例1 用“五点法”画出下列函数在区间0，2上的简图.(1)y=2sinx；(2)y=1-sinx；(3)y=cosx-1.思路分析：在区间0，2上按五个关键点列表、描点、连线，并用光滑的曲线将它们连接起来.解：(1)按五个关键点列表：x02sinx010-102sinx020-20描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-5).图1-4-5方法归纳 函数y=2sinx的图象是把y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的二倍而得到的.(2)按五个关键点列表：x02cosx10-101cosx-10-1-2-10描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-6).图1-4-6方法归纳 y=f(x)y=f(x)+a(a0)，y=f(x)y=f(x)-a(a0)，记忆的口诀是“上加下减”.知识点二 图象的应用例2 方程sinx=lgx的实根的个数有( )a.1个 b.2个 c.3个 d.无穷多个思路分析：如图1-4-7，在同一直角坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象.图1-4-7由图中看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi(1，10)(i=1，2，3)是方程sinx=lgx的解，此方程再无别的解.答案：c方法归纳 像这种含有三角式、指数式、对数式的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法不能求它的解,通常把这类方程分解成两个函数，把求方程的解转化为求两个函数的交点问题.例3 写出使sinx(xr)成立的x的取值集合.思路分析：可借助于单位圆或正弦曲线求解.图1-4-8解：如图1-4-8，在0x2中满足sinx的角x的集合为x|x；当xr时集合为x|2k+x2k+,kz.巧解提示：由y=sinx在0,(,)两区间中取值为正且分别是单调增与单调减函数.又sinx，则有sinxsin或sinxsin，所有在0,2中，满足sinx的角的集合为x|xx|x=x|x.以下同解.方法归纳 利于单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时，可先在长度为0,2的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域上去.问题探究思想方法探究问题 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性，推广到一般的情况，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+t)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数t叫做这个函数的周期.那么是否所有周期函数都有最小正周期？对于周期函数的学习还应该注意什么问题？探究过程：首先，周期函数的定义是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+t)=f(x)或只差个别的x值不满足f(x+t)=f(x)都不能说t是f(x)的周期.例如sin(+)=sin，但是sin(+)sin.就是说，不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是sinx的周期. 其次，从等式f(x+t)=f(x)来看，应强调的是给自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+t)=f(2x)，t不是周期，而应写成f(2x+t)=f2(x+)=f(2x)，则是f(x)的周期. 第三，对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=x(c为常数)，xr，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x+t)=c，因此f(x)是周期函数，由于t可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期. 对于周期函数还应当注意，“f(x+t)=f(x)”是定义域内的恒等式，即它对定义域内的每一个值都成立