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文档简介

一道可以秒杀的难题一个长方体小盒，（如图示）长AB=4厘米、宽BC=5厘米、高BF=3厘米，一只小蚂蚁从长方体的顶点A出发，经长方体表面爬到与之相对的顶点G，小蚂蚁经过的最短路程是多少？解析：这是一类常见的曲面转平面的问题，要想解决此类问题我们通过某处变化，曲面变成平面，再利用“两点之间线段最短”这一公理来解决问题。例如：我们可以把矩形EABF绕直线FB 旋转至E/A/BF，使其与矩形GCBF在同一平面内，线段GA/就是小蚂蚁要经过路径，我们可以利用勾股定理计算=（如图1所示），思路进行到这里我们会发现类似的我们把矩形EFAB绕直线EF 旋转至B/A/EF，使其与矩形GHEF在同一平面内，线段GA/就是小蚂蚁要经过路径，我们可以利用勾股定理计算=（如图2所示），两者相比较我们会发现第二种情况，路程更短，但是有没有其他情况呢？这里我们以高BF和宽EF为轴作了两种不同情况的变化，那么能不能以长为轴变化呢，经仔细观察后，我们把矩形ADCB绕直线BC 旋转至A/D/CB，使其与矩形GFBC在同一平面内，线段GA/就是小蚂蚁要经过路径，我们可以利用勾股定理计算=（如图3所示），这样我们发现第三种情况比第二种情况更短，那么还有没有其他的情况呢？情况考虑的越多，我们的思想越开扩反而对问题的答案更没有信心，经进一步考虑我们发现：同样是以“高”为轴的变化得到的情况是相同，同样是以“宽”为轴的变化得到的情况是相同，同样是以“长”为轴的变化得到的情况是相同，例如：把矩形EADH绕直线DH 旋转至E/A/DH，使其与矩形GCDH在同一平面内，线段GA/就是小蚂蚁要经过路径，我们可以利用勾股定理计算=（如图4所示），此种变化与第一种情况相同，因为它们都是以“高”为轴作的变化，其他情况不再一一例举。我们总结一下，做此类题要分三种情况考虑，缺一不可。而在实际的教学过程中，此种题常见而学生掌握起来，出现这种情况，听老师讲明白，自己做起来有困难，明白知道三种情况而做题时却往往找不全，这一现象引起了我的思考，能不能让学生们解决起来有个小窍门呢？首先我引导他们做了一个变化，我们突破数的限制用字母来表示长方体的长宽高，不妨设长为a、宽为b、高为c，那么以长为“轴”变化，得到的结果就是，以宽为“轴”变化，得到的结果就是，以高为“轴”变化，得到的结果就是，有了这一公式我们解决这一问题的过程，就简便多了，只需把数值代入求出三个结果一比较就好了，它省去了寻找的过程和画图的难度，问题思考到这一程度，我们还是不满足，经过进一步比较分析，我们发现= +2ab、=+2ac、=+2bc这三个量的大小取决于、ac、bc这三个乘积的大小，因为a、b、c在这里都表示正数，当然“小数”与“中数”的积最小
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