周先莹老师《变化率问题》课堂实录视频的对话.doc

周先莹老师变化率问题课堂实录视频的对话老师：上课！学生：起立！老师好。老师：同学们好，请坐下。我们知道世界是运动变化的，在数学上，我们通过函数模型来研究运动变化的规律。随着对函数研究的进一步深入呢，产生了一门新的数学分支，叫做（教师稍作停顿，此时学生回答说“微积分”）微积分。这两位都是微积分的创始人，其中左边的这一位是（教师稍作停顿，此时学生回答说“牛顿”）英国的牛顿，大家都知道，牛顿是一位物理学家，其实呢他还是一位伟大的数学家。右边的这位是德国的莱布尼兹，Leibniz。微积分的产生与发展，对近代科学的发展起着（教师稍作停顿，重点强调）不可估量的作用。恩格斯曾经这样评价微积分，他说微积分的创立是人类精神文明的最高胜利。那么微积分有何神奇之处？它为何享受如此盛誉呢？从今天开始让我们一起来走近微积分，领略微积分的风采。今天呢我们先来学习微积分里面的一个基础知识变化率问题。学习要带有明确的目标，下面大家看一下我们这节课要学习的目标。(觉得这是教师的课堂目标，没必要罗列出来给学生看)当今世界全球气候变化问题深受各国关注。大家都知道，我国为了减少温室气体的排放，缓解全球变暖，履行大国责任，现在在全国上下推行低碳技术与低碳生活。这是近百年来全球平均气温变化趋势图，从这个图当中我们可以看到，全球的平均气温在过去的一百年当中呈现（教师稍作停顿，此时学生回答“波动上升”）波动上升的趋势，对了大家自己的课本里面有了。同时我们还可以看到在不同的时期，气温变化的快慢（教师稍作停顿，此时学生回答“不同”）不同，那么我们如何来量化气温在某个时间段里面变化的快慢程度呢？这是我们这节课要解决的问题之一。我们先来看这样一个问题，这里有某地某年三月和四月期中三天的日最高气温记载表。大家先观察这个表中的数据，你看一下，这个气温的变化有什么趋势呢？哪个同学先观察到的举个手，好（请学生发表看法）。学生A：气温呈持续上涨趋势。老师：呈（停顿一下）上升趋势，对吧？好，很好，请坐下，观察非常地仔细。好，为了更加形象地观察、形象地表示这个气温变化的情况呢，我们可以做出它的变化趋势图。好，下面呢大家观察这个变化趋势图，然后带着以下三个问题，先自主思考，然后在小组里面讨论，等下呢我请这个小组代表上来汇报合作成果。（接下来是学生合作学习时间，教师在课堂里走动、观察）（小组自主合作交流时学生走动太散，显得课堂很乱，建议将同组的同学安排坐在一起，然后前后桌进行交流，显得课堂井然有序。）老师：讨论的过程当中发现有你们解决不了的问题就举手。（讨论时间结束，学生们各自回到自己座位上）老师：好了，大家都讨论出成果了。好，我们看一下哪个小组愿意上来分享一下你们组的合作成果呢？哪个组？好，这一个组派一个代表上来。好，其他小组你们认真看，发现有什么问题你们举手。学生B（上台展示分享成果）：第一个问题，AB段的温差从图像上看是用18.6摄氏度减去3.5摄氏度可以得到它的温差是15.1摄氏度。BC段的温差是用33.4摄氏度减去18.6摄氏度，可以得到14.8摄氏度。那么因为15、1摄氏度大于14.8摄氏度，所以AB段的温差就比BC段的温差大。第二个问题，对于“温度差越大，气温变化越快”这个问题，我们不能这样子说，因为时间的长短不同。接下来是第三个问题。如果我们用温度差和时间差来表示气温变化的快慢程度，我们可以用温度差和时间差的比来表示它的快慢程度。我的讲解到此可以了。老师：好，（问题分析得不错）请问你们这组的同学有需要补充的吗？这个就代表你们组的最高水平的合作成果了对吧？好，其他组有什么疑问的可以提出来。（有学生举手）好，（将话筒递给学生请这个学生提问）学生C：为什么说温度差比上时间差是用来描述气温变化快慢的程度呢？学生B：因为从图像上看，它是成一条曲线，我们可以取两点，然后做它的割线，它的割线就是斜率。割线它反映出温度差的变化，割线如果它越陡的话就说明温度变化比较快。老师：都听明白了吗？还有什么疑问吗？有疑问的同学举手。没关系，她回答不了的还有我。（请另一个学生提问）学生D：为什么她直接说时间长短不同啊？是哪的时间长短不同我想让她讲清楚。学生B：就是时间长短的不同，从AB段看，我们可以得出AB段它的时间差是31，BC段它的时间差是2，它的时间差别很大，但是它的温差又不同，所以我们不能片面的看出它的温度变化是快还是慢。学生D：明白了。老师：好，谢谢。还有吗？（又有一位学生举手）学生A：我不明白为什么可以用割线表示气温变化的快慢程度？学生B：因为割线它在图像当中就相当于斜率，然后如果它越陡的话就说明它的温度变化越快。学生A：明白了。老师：其他同学还有疑问吗？没有了。好，非常非常感谢B同学，她连续回答了八个问。（下面鼓掌，B同学下台）好，从刚才B同学的汇报这一组的合作成果当中还有大家的提问当中，我们大概可以看得出，这几个问题它的答案。第一个问题温度差，刚才那位同学她为什么说温度差大，她用数据来说话，计算出来。第二个问题呢，刚才这个同学也说了，温差大，由温差，不能刻画它变化的快慢程度，单用时间差也不能。我们要综合考虑这两个因素。(针对第二个问题，解释得不是很清楚，为什么温度差和时间差不能分开考虑，而要综合起来看待，有一笔带过之嫌)那么第三个问题就是，如何如何应用这两个温差和时间差来表示气温变化的快慢程度呢？好，他们组提出了一种方案，就是用温差比上时间差。好，刚才大家都没有意见，都同意这种方法对吧？（好，现在我们一起来探究，验证该小组的合作成果是否正确了呢？）刚才呢还有一个疑问，就是为什么可以用经过这两点的这条割线，它的斜率来反映对吧？我们可以观察一下，这个温差和时间差的比，这个比我们把它叫做（教师稍作停顿，此时学生回答“气温的平均变化率”）气温的平均变化率，对了。大家观察一下，气温的平均变化率大的，它变化（教师稍作停顿，此时学生回答“越快”）越快，对了。变化快的它的图像有什么特征呢？（教师稍作停顿，此时很多学生回答“越陡”）好，你来回答一下。（请学生发言）学生E：呃，那个倾斜程度会比较大。老师：好，倾斜程度我们用什么量来刻画呢？学生E：斜率。老师：斜率？好，请坐下。好，从这里我们可以看到气温的平均变化率和斜率都可以刻画气温变化的快慢程度，只不过呢，气温的平均变化率是从数的方面刻画，斜率是从形的方面来刻画。这一个过程体现了什么数学思想方法呢？学生：数形结合。老师：对了，数形结合。华罗庚说过，数皆形时少直观，形皆数时难入微，数形结合百般好。大家在解题的过程当中要充分利用数形结合等等数学思想方法来帮助我们解题。好，那么我们再来回顾一下，我们求这个气温平均变化率大概可以分为几个步骤呀？学生：三个。老师：又是这一组。（这个小组表现非常积极呀）（请学生发言）学生F：就是先求温差，这是第一个。再求时间差，这是第二个步骤。然后求它们的比值，这是第三个步骤。老师：好，有不同意见吗？都同意他的看法，好，请坐下。好，大概可以分为三步。也就是说我们解题的时候一定要有明确的步骤意识，这个使我们解答得更加规范。好，大家看这样一个问题。如果把气温C看作是时间t的函数，即C=f(t),那么在t1到t2这个时间段里面气温的平均变化率如何表示呢？好，你们就想一下刚才的那些步骤。好，有些同学都已经写出来了，说明大家昨天晚上预习得非常好，也就是一定要养成预习这种习惯。好，那个同学愿意拿上来展示一下？好，G同学。G同学：问题4，f(t2)减去f(t1)除以t2减去t1。问题5，f(x2)减去f(x1)的差除以x1减去x2。老师：好，G同学他发现我们导学案里面的问题4他可以表示出来了，然后问题5呢就太简单了，他觉得不用麻烦下一位同学了，他也把它的结果给展示出来了。非常好。（下面鼓掌，G同学下台）好，我们来看一下，如果气温C与时间t它的函数关系是C=f(t)，好那么它气温的平均变化率就像G同学这样写的。我们看一下，在这个函数当中，t是什么量呢？学生：自变量。老师：自变量，那分母我们就可以把它表示成（教师稍作停顿，此时学生回答“自变量的变化量”）自变量的变化量，分子呢？（此时学生回答“函数值的变化量”）函数值的变化量，那么气温的平角变化率就等于，哎，你们看一下这里有“对应”两个字对吧？为什么呢？学生：因为这是函数对应自变量的值。老师：对啦，就是为了提醒我们，它函数值的变化量要与分母自变量的变化量是对应的。好，问题5刚才G同学他也回答出来了，非常好。我们要记得的就是它等于函数值的变化量与自变量的变化量的比。好，那么这一个式子呢，就是今天我们所要学习的一个新的概念函数的平均变化率。我们把这一个式子成为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。为了使这个式子更加的简洁，我们一般用x表示x2减去x1，用y表示y2减去y1。（补充：这样表示有什么好处呢？是不是能让式子更简洁啊！这就体现了数学的简洁美是吧！）大家先思考，如果这样表示以后，那么平均变化率的式子又可以怎么表示呢？学生：y除以x。老师：嗯，对了。y比上x。好，大家再思考一下，求函数的平均变化率又可以分为几个步骤呢？多少步呢？学生：3步。学生H：我认为应该分为3步。老师：哪三步呢？学生H：先求出自变量的改变量，然后再求出对应函数的改变量，然后再用对应函数的改变量除以自变量的改变量。老师：好，非常好，请坐下。好，她说大概可以分为三步，对吧？第一步呢，求自变量的改变量，第二步呢求函数值的改变量，最后一步呢求它们的比。好，我再问大家一个问题，前面呢我们求这个气温平均变化率的时候我说它是用来刻画气温变化的快慢程度的一个量，那么这一个函数的平均变化率是用来刻画什么呢？刻画什么快慢程度？I同学你来说一下学生I：我觉得应该是用来刻体物理变化的快慢程度。老师：物体变化？好，你举个例子给大家理解一下。（此时学生答不出来，教师进行引导）物体变化，就比如在生活当中，好，组里面的同学，有哪个同学可以帮助一下给大家举个例子？有吗？（有一学生举手）好，你来。学生J：可以举运动员，跳水运动员跳水的时候跳水的高度和跳起后的时间。老师：好,谢谢！请坐下。非常贴切。I同学，你还能举出个例子吗？就比如你早上从家里到教室的时候，这一个过程，速度有没有变化呢？刚开始的时候，你到一半听到铃声响的时候？学生I：听到铃声响，然后就开始跑步到教室。老师：那前面呢？前面那一段呢？学生I：走路呀老师：走路呀，慢慢走，对吧？好，非常好，非常形象。好，那么平均变化率可以用来刻画什么呢？你们看一下，函数，函数上面是自变量，分子是什么呢？函数值得变化量，对吧。那就是刻画什么呢？函数它在某个区间上的函数值变化的快慢程度，对吧？好，平均变化率的应用非常广泛，就比如，我们课本里面提到的高台跳水问题。下面我们来欣赏一下：（播放田亮跳水比赛视频）老师：好，大家认识这一位运动员吗？学生（集体）：认识。老师：叫什么？学生：田亮！老师：对了，就是我们的跳水王子田亮，Cindy的爸爸，对吧？学生：是的。老师：好，大家都知道跳水运动吧，是我国优质的体育项目。我国跳水运动员在国际比赛中为我国争取了许许多多的名誉。其实跳水跟学习也是一样，不仅需要勤奋刻苦的精神，而且还需要讲究方法。这个教学的教论团队为了科学的信念，就运动员在某个时间段的运动状态，在物理上面，我们用平均速度来反应来描述这个运动员在某个时间段里它的运动状态。大家想一下，物理上面的平均速度我们是怎么算的呢?学生：位移除以时间。老师：你来说一下。学生K：位移除以时间。老师：位移除以时间，好，请坐。说的更具体一点呢，就是在某个时间段内的位移变化量与时间变化量的比值，对吧？那在这一个函数当中，位移的变化量就是这个函数什么的变化量学生：对应值的变化量。老师：对应值叫做什么值？学生：函数值。老师：哦，对了！就是函数值。那时间的变化量就是这个函数什么的变化量呢？学生：自变量老师：自变量的变化量。有这个关系，我们知道：这个平均速度就是平均变化率在物理上的一个应用，或者说吧，平均速度就是平均变化率的函数平均变化率的物理意义。刚才K同学讲对了。好，物理意义。那下面呢，我们一起来合作一下，完成下面两个小题。好，大家不用谢，大家用想：刚才我们两次总结了求平均变化率的步骤，对吧？你们想一下，第一步算什么呢？学生：自变量。老师：噢，对联，自变量的变化量，它等于位移。那好，第二步呢？学生：位移的变化量老师：第三步？学生：求它们的比值。老师：对了，求它们的比值。好，我们知道，做题不是为了寻求题目的答案，而是为了获得知识与方法。看一下第二小题，是否掌握了这种方法了呢？第一步？学生：自变量的变化量。老师：等于什么？学生：t2-t1老师：第二步？学生：位移的变化量老师：第三步？学生：求它们的比值。老师：求它们的比值，对了，非常好！以后做题的时候一定要有这样的一个步骤意识，使你的解题过程更加的规范。好，这个，学习室一个不断地强化和反复的过程。有一句话叫做：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。下面大家来实践一下：完成一下两条练习。(此时同学们在认真地写着练习)老师：好，自己完成后，然后再同一个小组的小伙伴们分享一下，对照一下，你的方法和结果是不是一样的？不一样的，讨论交流一下。好，做完的，在小组里面分享一下，等下呢，我请出一个小组，拿出最好的作品上来展示一下。（学生讨论中。）老师：好，第A题，哪个小组愿意拿上来给大家评一下分呢？又是这组。（L同学走上讲台）好，我们请这一边的这个小组来给他们打一下分，你们注意看一下。（同学们看了之后，全班哄堂大笑）老师：A题在这里。好，给你们30s的时间，找出他们的问题，如果有的话。好，L同学，我先问一下你，你先给你自己的这一个过程、方法和结果打一个分，如果满分是100分的话。L同学：那就随便打个90分吧（此时全班起哄）老师：好，这一组的同学，给你们15s商议一下，这个90分是否合理。（小组讨论）老师：怎么样？研究出来了吗？好学生M：我给他的打分时70分。因为他的过程没有分三步，应该分为3个步骤：第一步是求自变量的变化量，第二步是求对应函数值的变化量，第三步是求平均变化率，就是他们对应函数变化率与区间上的比值。老师：好，这一组的同学认为你这个过程写的不是很规范，他们给你打了70分，好，那么，这个小组的同学认为他可以再给一点分吗？还是70分已经是最高了呢？好，我们首先来看一下，他的方法对了吗？学生：对了。老师：结论对了吗？学生：对了。老师：我觉得应该给他个85分可以吧。（学生们大笑）。他已经掌握 这种方法，结果也对了，但是过程还是要写的规范一点，好，谢谢。（ L同学走下讲台，学生们鼓掌）老师：好，B题，哪个组愿意来给大家打一个分呢？好，你来。好，我们请那边那组的同学打一个分。学生齐声喊：哇！学生N：字写的太丑了（学生集体起哄）老师：好，同意30s讨论一下，问题在哪里，要提出问题。老师：好，N同学，你先给自己打个分。学生N：我觉得应该是80分。老师：你哥自己打80分，你认为你的问题在哪里呢？为什么分数这么低。学生N：写的太乱，而且第2 小题那个对应的函数值的变化量没有化简。老师：好，他给自己打80分，你们认为他应该得多少分呢？还能多一点呢还是少一点呢？好，你来说。学生O：我觉得他应该得60分。（此时全班起哄，鼓掌）老师：为什么呢？学生O：因为他也说了他自己写的有点乱，然后后面又没有算完，再扣20分。老师：好，我觉得没有必要那么狠吧！（学生集体大笑）好，可能时间有点急，如果再给他一点时间，他可以写得更工整。好，那他的方法对吗？学生（集体）：对了，老师;结论呢？学生：对了。老师：好，好，非常好。我觉得应该85分没问题，好，那么最后一问，我们来规范一下解题过程。第一题，大家看一下这两个结果都是3，也就是不管区间如何变化，它的平均变化率都是3，哪个同学来说一下，这是为什么呢？哪位同学起来愿意来说一下吧？你们这一组今天好像好，我们来看一下这位同学学生P：这个函数呢，它就是一次函数，就是一根直线，要么下去，要么下来，所以它的斜率都是一样啦。（全班哄笑，鼓掌）老师：好。这位同学观察得非常仔细，回答得非常深刻，从这个平均变化率的几何意义这方面来回答，是吧。它是一条直线，斜率都是3，所以无论怎么算，区间怎么变化，它的结果都是3.好，第2小题，我们来看一下，它规范的解答过程，第2小题的结果，你们都得到这样的一个结果吗？学生（集体）：同老师：这个结果，我们看一下，如果这个X趋于0，那这个结果还趋近于多少呢?学生（集体）：2X老师：2X，有什么几何意义呢？这是我们下一节课要研究的内容。好，我们来总结一下我们这一节课的收获与困惑，主要从3个方面来总结，大家来思考一下。好，有哪位同学愿意来分享一下你的收获呢？学生Q：这节课，我们学习到了如何求平均变化率，还有正如老师刚才所说的，这是微积分的基础，所以我们带着初窥了微积分的门径。老师：还有吗？学生Q：没有了。师：谢谢。学生Q：在这一节课我学到了在解题的时候我们可以用数形结合来解决问题，还有可以用平均变化率来解决生活中的一些问题。老师：好，谢谢，在方法上面呢？都可以学生R：还学到了平均变化率的概念。老师：概