高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第二章第11课时 导数与函数的单调性、极值课件 理.ppt

第11课时导数与函数的单调性 极值 基础梳理1 函数的导数与单调性在某个区间内 若f x 0 则函数y f x 在这个区间内 若f x 0 则函数y f x 在这个区间内 单调递增 单调递减 2 函数的导数与极值 1 极大值 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 且f x0 0 那么f x0 是极大值 2 极小值 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 且f x0 0 那么f x0 是极小值 思考探究若f x0 0 则x0一定是f x 的极值点吗 提示 不一定 可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件 而不是充分条件 如函数f x x3 在x 0时 有f x 0 但x 0不是函数f x x3的极值点 课前热身1 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3时取得极值 则实数a等于 a 2b 3c 4d 5答案 d 2 函数f x x2 2lnx的单调减区间是 a 0 1 b 1 c 1 d 1 1 3 已知a 0 函数f x x3 ax在 1 上是单调递增函数 则a的取值范围是 解析 f x 3x2 a f x 在 1 上是单调增函数 f x 0 a 3x2 a 3 又a 0 可知0 a 3 答案 0 3 4 函数f x x3 3x2 1在x 处取得极小值 解析 由f x x3 3x2 1得f x 3x2 6x 3x x 2 当x 0 2 时 f x 0 f x 为减函数 当x 0 2 时 f x 0 f x 为增函数 故当x 2时 函数f x 取得极小值 答案 2 2011 高考天津卷节选 已知函数f x 4x3 3tx2 6t2x t 1 x r 其中t r 1 当t 1时 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 当t 0时 求f x 的单调区间 解 1 当t 1时 f x 4x3 3x2 6x f 0 0 f x 12x2 6x 6 f 0 6 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 6x 题后感悟 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤为 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间 解 1 根据题意有 曲线y f x 在x 1处的切线斜率为f 1 3 曲线y g x 在x 1处的切线斜率为g 1 a 所以f 1 g 1 即a 3 曲线y f x 在x 1处的切线方程为y f 1 3 x 1 得 y 1 3 x 1 即切线方程为3x y 4 0 曲线y g x 在x 1处的切线方程为y g 1 3 x 1 得y 6 3 x 1 即切线方程为3x y 9 0 所以 两条切线不是同一条直线 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域r内单调递增 求a的取值范围 解 1 f x ex a 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在r上递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在r内单调递增 f x 0在r上恒成立 ex a 0 即a ex在r上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 题后感悟 由函数的单调性求参数的取值范围 这类问题一般已知f x 在区间i上单调递增 递减 等价于不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围 备选例题 教师用书独具 已知函数f x ax3 bx2的图象经过点m 1 4 曲线在点m处的切线恰好与直线x 9y 0垂直 1 求实数a b的值 2 若函数f x 在区间 m m 1 上单调递增 求m的取值范围 所以x 1时 f x 的极小值为1 f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 题后感悟 求可导函数f x 极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果在根的左侧附近f x 0 右侧附近f x 0 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近f x 0 右侧附近f x 0 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 备选例题 教师用书独具 设函数f x x3 3ax b a 0 1 若曲线y f x 在点 2 f x 处与直线y 8相切 求a b的值 2 求函数f x 的单调区间与极值点 方法技巧1 注意单调函数的充要条件 尤其对于已知单调性求参数值 范围 时 隐含恒成立思想 2 求极值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 失误防范1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 f x 0 或f x 0 是 函数f x 在某一区间上为增函数 或减函数 的充分不必要条件 f x0 0 是 函数f x 在x x0处取得极值 的必要不充分条件 3 函数极值是一个局部性概念 函数的极值可以有多个 并且极大值与极小值的大小关系不确定 命题预测从近几年的高考试题来看 利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点