医用高等数学题库.pdf

三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 1 1 页页 共共 8 8 页页 2017 2018 学年第一学期高等数学 60 学时 考前指导 第一章函数 极限和连续 1 求下列函数的极限 1 1 1 1 3 lim 3 1 xx x 2 0 lim 11 x x x 3 2 2 231 lim 63 x xx xx 4 11 23 lim 23 nn nn n 5 0 sin lim x arcx x 6 1 lim sin x x x 7 3 1 lim x x x x 8 1 0 lim 1 2 x x x x 9 2 arctan lim 1 x x x 10 sin lim x x x 2 什么是无穷小量 什么是无穷大量 指出函数 x e x x x 1 3 2 2 何时为无穷小量 何时为无 穷大量 3 当1x 时 无穷小量1x 和 1 3 1x 2 2 1 1 2 x 是否同阶 是否等价 4 写出函数 xf在一点 0 x处连续的两个等价定义 证明函数xysin xycos 在 上连续 5 若 xf 0 1 sin 0 2 0 sin 1 xb x x xa xx x 在0 x处连续 求ba 的值 6 设函数 2 1 sin 0 0 xx fxx axx 在0 x 处连续 求a 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 2 2 页页 共共 8 8 页页 7 试确定k的值 使 xf在1 x处连续 其中 xf 1 1 1 1 xe xx k x 8 设 xf 2 0 0 x ex ax x 应当如何选择数 a使得 xf成为在 上的连续函数 9 证明方程012 3 xx在 2 1 内有根 10 证明 方程sin10 xx 在开区间 2 2 内至少有一个根 11 设2 x exf 求证在区间 0 2 内至少有一点 0 x 使02 0 x e 第二章一元函数微分学 1 根据导数定义推导logayx sinyx 的导数公式 2 推导 arctan x yayx 的求导公式 3 讨论下列函数在0 x处的可导性和连续性 1 1 sin 0 0 0 xx f xx x 2 2 1 sin 0 0 0 xx f xx x 4 设函数 2 1 x 1 xx f x axb 在1x 处可导 求 a b 5 求下列函数的导数 1 sincoslnyxxx 2 2 sectan2yxxx 3 arctan xyx 4 1 2 4 4 xx yx x 6 计算由下列方程所确定的隐函数的导数 dy dx 1 0 y eyx 2 4 0 xy ey 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 3 3 页页 共共 8 8 页页 7 设函数 yf x 由方程 23 0 xy exy 确定 求 0 x dy dx 并求曲线上其横坐标0 x 处 点的切线方程 8 求函数y是由方程 2y exye 确定的导数 y 和 0 x y 9 计算下列极限 1 0 ln cos5 lim ln cos2 x x x 2 1 11 lim 1ln x xx 10 讨论函数的单调性 极值 凹凸性和拐点 1 2 1 2 x x y 2 43 410yxx 11 试用拉格朗日定理证明 如果在区间内 a b内0 xf 则Cxf bax 由此证明arcsinarccos 2 xx 1 1 x 12 证明 2121 sinsinxxxx 对一切 12 x x都成立 第三章 一元函数积分学 1 证明 d d df xg xxf xxg xx d d d bbb aaa f xg xxf xxg xx 2 设 xf在 ba上连续 d x a xf tt 在 a b上可导 证明 d d d x a xf ttf x axb x 3 若 xf在 ba上连续 并且 xF是 ba上的一个原函数 证明微积分基本定理 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 4 4 页页 共共 8 8 页页 d b a f x xF bF a 4 证明 1 若 xf是 aa 上连续的偶函数 则 0 d2 d aa a f x xf x x 2 若 xf是 aa 上连续的奇函数 则 d0 a a f xx 5 设 xfy 在 ba上有连续导数 x f 用微元法推导曲线在 ba上的弧长公式 6 求下列不定积分 1 2 cosd 2 x x 2 4 2d 1 x x x 3 2 3 2d x xxx 4 2 cotdx x 5 tan dx x 6 21dxx 7 2 d 2 3 x x x 8 2 22 d x x a x 0a 9 2 9 d x x x 10 3 22 2 1 dx xa 11 arctan dxx x 12 ln dx x 7 计算下列定积分 1 2 4 0 sindx x 2 1 1 d 54 x x x 3 3 221 1 d 1 x xx 8 讨论下列广义积分的敛散性 1 1 1 d m x x 2 2 d 22 x xx 3 1 d x xex 9 求抛物线求抛物线 2 2yx 及直线及直线4yx 所围成图形的面积所围成图形的面积 10 求由抛物线 2 43yxx 及其在点 0 3 和点 3 0处的切线所围成图形的面 积 11 计算由椭圆计算由椭圆 22 22 1 xy ab 绕绕x轴旋转一周而成的旋转体 称为旋转椭球体 的体积轴旋转一周而成的旋转体 称为旋转椭球体 的体积 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 5 5 页页 共共 8 8 页页 12 求由 3 yx 直线2x 0y 所围成的图形 分别绕两个坐标轴旋转 计算两个旋 转体的体积 13 计算曲线计算曲线 3 2 2 3 yx 上相应于上相应于axb 的一段弧的长度的一段弧的长度 第六章 常微分方程 1 求解可分离变量的方程 1 x y y 2 y y x 3 ex y y 4 2 ed 1 d0 xy y yx 5 22 sectan dsectan d0 xy xyx y 6 2 3 32 de d0 1 y xy xyx 1 0 x y 2 求解齐次方程 1 cot yy y xx 2 tan y xyyx x 3 lnln xyyyx 4 edd0 y x xyxx y 3 用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程 1 3 2 1 x dy yxe dxxy 2 2 32xyyxx 3 cot2 sinyyxxx 4 sin cos x yyxe 4 求解二阶常系数齐次线性微分方程 1 20yyy 2 4130yyy 3 20yy 4 690yyy 5 320yyy 6 2 520yyy 第七章概率论基础 1 设 A B C 表示 3 个随机事件 试将下列事件用 A B C 表示出来 1 A 发生而 B 与 C 都不发生 2 A 与 B 发生而 C 不发生 3 三个事件都发生 4 三个事件恰好有 2 个发生 5 三人事件至少有 2 个出现 6 三个事件中不多 于一个发生 2 药品质量抽样检验中 每次抽取一个产品 记事件 n An 第 次取到正品 n 1 2 3 用事件的运算关系表示下列事件 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 6 6 页页 共共 8 8 页页 1 前两次都取到正品 第三次未取到正品 2 三次都未取到正品 3 三次中只有一次取到正品 4 三次中至多有一次取到正品 5 三次中至少有一次取到正品 3 设 A B 两批种子 A 发芽率为 0 8 B 发芽率为 0 9 在两批种子中各任取一粒求 1 种子都能发芽的概率 2 至少有一粒种子发芽的概率 3 恰好有一粒种子发芽的概率 4 事件 A 与事件 B 的分类统计四格表如下 A A B ab B cd 计算 ABPABP 且讨论事件 A B 什么条件下独立 若30 ABP ABP 请解释其涵义 5 在某地供应的某药品中 甲 乙两厂的药品各占 65 35 且甲 乙两厂的该药品合格率 分别为 90 80 现用 21 A A分别表示甲 乙两厂的药品 B表示合格品 试求 BP 6 根据以上的临床记录 某种诊断癌症的试验有如下的效果 若以A表示 试验反应为阳性 以C表示 被诊断者患有癌症 则有95 0 95 0 CAPCAP现在对自然人群进行普 查 人群患有癌症的概率为 0 005 即005 0 CP 试求 ACP ACP ACP及 7 设某地成人中肥胖者 中等者 瘦小者分别占 10 82 8 又肥胖者 中等者 瘦小者 患高血压的概率分别为 20 10 5 1 求该地成人患高血压病的概率 2 若知某人患高血压 他是肥胖者体型的可能性有多大 8 在 100 升经消毒的合格自然水中 最多只能含有 10 个大肠杆菌 今从中取出 1 升水进 行检验 问在这一升水中检出 2 个大肠杆菌的概率是多少 如果真的检查出有 2 个大肠杆 菌 问这水是否合格 9 一批零件的次品率为 10 从中任取 4 个零件 出现次品数为离散型随机变量 X 请问 X 服从什么分布 试写出其分布列 分布函数 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 7 7 页页 共共 8 8 页页 10 设盒中有 2 个白球 3 个黑球 从中随机取 3 个球 抽得的白球个数为随机变量 X 试 求其概率分布 分布函数 11 设 f x是连续型随机变量 X 的概率密度函数 且 01 0 axx f x 其它 1 求a的值 2 求 1 31 2 PX 3 求 X 的分布函数 F x 12 随机变量 X 服从指数分布 写出 X 的概率密度函数并求出其分布函数 13 随机变量 2 XN 分布函数为 F x F x为标准正态分布的分布函数 试推 导 F x和 x 的关系 14 假设某地区成年男性的身高 单位 厘米 2 170 7 69 XN 求该地区成年男性的身高 超过 175 厘米的概率 6 18 2 NY 15 SAT 的分数 100 500 2 NX ACTP 的分数 ACTP 的 24 分相当于 SAT 的多少分 第八章 线性代数 1 设向量 1 2 3 3 0 3 求 2 T 2 2 设矩阵 132101 516213 AB 求 2 TTT AB AB ABA B AB B 3 3 设甲 乙 丙三家超市销售 a b c三种奶粉 日销售量如表 1 1 1所示 表表 1 1 11 1 1 单位 袋 奶粉a奶粉b奶粉b 超市甲5810 超市乙358 超市丙456 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 8 8 页页 共共 8 8 页页 三种奶粉每袋售价和利润如表 1 1 2 所示 表表 1 1 21 1 2 单位 元 袋 单价利润 奶粉a152 奶粉b111 奶粉b