浙江省慈溪市横河初级中学九年级数学上册 2.3二次函数的性质课件（1） 浙教版.ppt

2 3二次函数的性质 运动员投篮时 篮球运动的路线是怎样的一条曲线 怎样计算篮球达到最高点时的高度 根据左边已画好的函数图象填空 抛物线y 2x2的顶点坐标是 对称轴是 在侧 即x 0时 y随着x的增大而增大 在侧 即x 0时 y随着x的增大而减小 当x 时 函数y最大值是 当x 0时 y 0 0 0 直线x 0 y轴右 y轴左 0 0 y 根据左边已画好的函数图象填空 抛物线y 2x2的顶点坐标是 对称轴是 在侧 即x 0时 y随着x的增大而减少 在侧 即x 0时 y随着x的增大而增大 当x 时 函数y最小值是 当x 0时 y 0 0 0 直线x 0 y轴右 y轴左 0 0 抛物线y a x m 2 k的性质 1 对称轴是直线x 2 顶点坐标是 3 当a 0时 开口向上 在对称轴的左侧y随x的增大而 在对称轴的右侧y随x的增大而 4 当a 0时 开口向下 在对称轴的左侧y随x的增大而 在对称轴的右侧y随x的增大而 m m k 减小 增大 增大 减小 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 由a b和c的符号确定 由a b和c的符号确定 向上 向下 y随着x的增大而减小 y随着x的增大而增大 y随着x的增大而增大 y随着x的增大而减小 根据图形填表 1 每个图象与x轴有几个交点 2 一元二次方程x2 2x 0 x2 2x 1 0有几个根 验证一下一元二次方程x2 2x 2 0有根吗 二次函数与一元二次方程 二次函数y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2的图象如图所示 y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 当二次函数y ax2 bx c的图象和x轴有交点时 交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的根 思考 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2 bx c 0的根有什么关系 抛物线与x轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢 0 0 0 o x y 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2 bx c 0的根有什么关系 有两个交点 有两个相异的实数根 b2 4ac 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 求二次函数图象y x2 3x 2与x轴的交点a b的坐标 解 a b在x轴上 它们的纵坐标为0 令y 0 则x2 3x 2 0解得 x1 1 x2 2 a 1 0 b 2 0 你发现方程的解x1 x2与a b的坐标有什么联系 x2 3x 2 0 举例 结论1 方程x2 3x 2 0的解就是抛物线y x2 3x 2与x轴的两个交点的横坐标 因此 抛物线与一元二次方程是有密切联系的 即 若一元二次方程ax2 bx c 0的两个根是x1 x2 则抛物线y ax2 bx c与轴的两个交点坐标分别是a b x1 0 x2 0 x 1 二次函数y x2 x 3的对称轴是 2 一抛物线y 2x2的形状相同 顶点为 1 4 则它的函数解析式为 3 抛物线y x2 5x 4与坐标轴的交点个数为 a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 巩固训练 4 说出下列抛物线与x轴的交点的个数 y 2x x 1 y 4x2 4x 1 y 3x2 2x 5 例题教学 已知函数 写出函数图像的顶点 图像与坐标轴的交点 以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点 然后画出函数图像的草图 2 自变量x在什么范围内时 y随着x的增大而增大 何时y随着x的增大而减少 并求出函数的最大值或最小值 15 0 1 0 0 7 5 7 32 14 7 5 0 x y 例题教学 已知函数 15 0 1 0 0 7 5 7 32 14 7 5 0 x y 4 求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积 5 根据第 题的图象草图 说出x取哪些值时 y 0 y0 x o y x y o 0 c 0 c y ax2 bx c y ax2 bx c 五点法 1 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c的符号为 尝试成功 2 已知二次函数的图像如图所示 下列结论 a b c 0 a b c 0 abc 0 b 2a其中正确的结论的个数是 a1个b2个c3个d4个 d 要点 寻求思路时 要着重观察抛物线的开口方向 对称轴 顶点的位置 抛物线与x轴 y轴的交点的位置 注意运用数形结合的思想 3 下列函数何时有最大值或最小值 并求出最大值或最小值 y 2x2 8x 3 y 5x x 4 4 二次函数y x2 bx 8的图像顶点在x轴的负半轴上 那么b等于多少 1 已知抛物线y ax2经过点 2 2 1 求这条抛物线的解析式 2 求出这个二次函数的最大值或最小值 3 在此抛物线上有两点a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 0 试比较y1与y2的大小 2 若函数y 4x2 的图像与平行x轴的直线y 1 5交于两点 求这两点间的距离 综合练习 3 如图直线l经过点a 4 0 和b 0 4 两点 它与二次函数y ax2的图像在第一象限内相交于p点 若 aop的面积为4 5 求二次函数的解析式 4 将抛物线y x2向下平移后 使它的顶点c与它在x轴上的两个交点a b组成等边三角形abc 求此抛物线的解析式 小试牛刀如图 在 abc中 ab 8cm bc 6cm b 90 点p从点a开始沿ab边向点b以2厘米 秒的速度移动 点q从点b开始沿bc边向点c以1厘米 秒的速度移动 如果p q分别从a b同时出发 几秒后 pbq的面积最大 最大面积是多少 p q 解 根据题意 设经过x秒后 pbq的面积y最大 则 ap 2xcmpb 8 2x cm qb xcm 则y 1 2x 8 2x x2 4x x2 4x 4 4 x 2 2 4 所以 当p q同时运动2秒后 pbq的面积y最大 最大面积是4cm2 0 x 4 p q 拓展提高 问题5 如图 等腰rt abc的直角边ab 点p q分别从a c两点同时出发 以相等的速度作直线运动 已知点p沿射线ab运动 点q沿边bc的延长线运动 pq与直线相交于点d 1 设ap的长为x pcq的面积为s 求出s关于x的函数关系式 2 当ap的长为何值时 s pcq s abc 解 p q分别从a c两点同时出发 速度相等 ap cq x 当p在线段ab上时 即s 0 x 2