中考最值与对称.docx

动点到定点的距离最值问题一、线段和最小问题：1两定点，一动点，两段和最小：异侧（思想方法：转化思想，转化在同一个三角形中来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：ykxb两侧，点P是直线l上任意一点，当PAPB最短时，求P的坐标。理论依据：两点之间，线段最短；三角形任意两边之和大于第三边。解法：连接AB与动直线l的交点即为点P；此时，PAPBPAPBAB。过程：求出直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：当lx轴时，P与P的横坐标相等；当ly轴时，P与P的纵坐标相等；当l不与坐标轴垂直时，求出AB的解析式后与直线l的解析式联立成方程组，解这个方程组，方程组的解就是点P的坐标。 2两定点，一动点，两段和最小：同侧（思想方法：转化思想，将同侧转化为异侧来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：ykxb同侧，点P是直线l上任意一点，当PAPB最短时，求P的坐标。理论依据：两点之间，线段最短；三角形任意两边之和大于第三边。解法：作一个定点如点B关于直线l的对称点B，连接AB与动直线l的交点即为点P；此时，PAPBPAPBAB。过程：先求点B的对称点B的坐标，再求直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：当lx轴时，P与P的横坐标相等，点B与点B的纵坐标相等，点C是BB的中点，可用中点坐标公式求B的坐标，也可由BCBC，用平移法求B的坐标；当ly轴时，P与P的纵坐标相等，点B与点B的横坐标相等，点C是BB的中点，可用中点坐标公式求B的坐标，也可由BCBC，用平移法求B的坐标；当l不与坐标轴垂直时，第一步：由于BBl于点C，可得直线BB的斜率m与直线l的斜率k互为负倒数，得m，得直线BB：yxn，再把已知点B的坐标代入得到n，从而得出直线BB的解析式ymxn；第二步：把ymxn与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点C的坐标；第三步：用中点公式x=y= 或平移法（B到C的平移规则与C到B的平移规则一样）得到B的坐标；第四步：连接AB，求出直线AB的解析式ypxq；第五步：将直线AB和直线l联立成方程组y=px+qy=kx+b，解这个方程组，解为点P的坐标。3两定点，两动点，两段和最小：异侧（思想方法：转化思想，转化为一个动点来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：ykxb两侧，点P、Q是直线l上任意两点，PQa，当PAQB最短时，求P的坐标。理论依据：两点之间，线段最短；三角形任意两边之和大于第三边。解法：将一个定点如点B沿QP方向平移a个单位得到点B，连接AB与动直线l的交点即为点P；此时，PAQBPAPBAB。过程：由平移求出点B的对应点B的坐标，再求直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：当lx轴时，点P与点Q及点B与点B的横坐标相等，点B的纵坐标等于点B的纵坐标加或减a，从而得到点B的坐标，再求出直线AB的解析式与直线l的交点即为点P。当ly轴时，点P与点Q及点B与点B的纵坐标相等，点B的横坐标等于点B的横坐标加或减a，从而得到点B的坐标，再求出直线AB的解析式与直线l的交点即为点P。当l不与坐标轴垂直时，第一步：过点P作PSx轴于S，过点Q作QRPS于R，由直线l的kPR：QR，用勾股定理得出PR与QR之间的比例关系，由平移知点B与点B的坐标之间的关系同点P与点Q的坐标之间关系一致，从而得出点B的坐标。第二步：求出直线AB的解析式ymxn，再与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标；应用：（1）如图，F、G两个村庄分别位于河流的两岸，现要在河上修一座桥MN，桥修在何处时，F、G两村之间的路程最短？解法：这个题目与类型相同，将F村向河流方向平移河的宽度得到点F，连接FG，与G岸相交于点M，过M作MN垂直河岸，交另一岸于点N，连接FN，则MN就是就是修桥的位置。图1图2（2）如图，直线lx轴于点C，从点A出发先到达直线l上的任意一点M，再沿过M垂直于l的直线运动到达y轴上的点N，最后从N出发到达点B，当点M在何处时，所走过的路程最短？解法：这个题目与类型相同，过点A作ADy轴于点D，将A点沿AD方向平移OC个单位长度得到点A，连接AB，交y轴于点N，过N作NMl于点M，连接AM，则折线AMNB是最短路径。4两定点，两动点，两段和最小：同侧（思想方法：转化思想，转化为一个动点、异侧来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：ykxb同侧，点P、Q是直线l上任意两点，PQa，当PAQB最短时，求P的坐标。理论依据：两点之间，线段最短；三角形任意两边之和大于第三边。解法：作一个定点如点B的关于直线l的对称点B，再把点B沿QP方向平移a个单位得到点B，连接AB与动直线l的交点即为点P；此时，PAQBPAPBAB。过程：由轴对称求了点B的坐标，再由平移求出点B的对应点B的坐标，然后求直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：当lx轴时，点P与点Q及点B与点B的横坐标相等，点B与点B的纵坐标相等，点B的纵坐标等于点B的纵坐标加或减a，从而得到点B的坐标，再求出直线AB的解析式与直线l的交点即为点P。当ly轴时，点P与点Q及点B与点B的纵坐标相等，点B与点B的横坐标相等，点B的横坐标等于点B的横坐标加或减a，从而得到点B的坐标，再求出直线AB的解析式与直线l的交点即为点P。当l不与坐标轴垂直时，第一步：由于BBl于点C，可得直线BB的斜率m与直线l的斜率k互为负倒数，得m，得直线BB：yxn，再把已知点B的坐标代入得到n，从而得出直线BB的解析式ymxn；第二步：把ymxn与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点C的坐标；第三步：用中点公式x=y= 或平移法（B到C的平移规则与C到B的平移规则一样）得到B的坐标；第四步：过点P作PSx轴于S，过点Q作QRPS于R，由直线l的kPR：QR，用勾股定理得出PR与QR之间的比例关系，由平移知点B与点B的坐标之间的关系同点P与点Q的坐标之间关系一致，从而得出点B的坐标。第五步：连接AB，求出直线AB的解析式ypxq；第六步：将直线AB和直线l联立成方程组y=px+qy=kx+b，解这个方程组，解为点P的坐标。二、线段差最大问题：5两定点，一动点，两段差最大：同侧（思想方法：转化思想，转化到同一个三角形中来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：ykxb同侧，点P是直线l：ykxb上任意一点，当PAQB最大时，求P的坐标。理论依据：三角形任意两边之差小于第三边。解法：作直线AB，与直线l的交点即为点P。此时PAPBAB。当A、B、P三点共线时取等号，最大值为AB。过程：作直线AB，由A、B的坐标求出直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：当ABl时，直线AB与直线l无交点，此时PAPB无最大值。当AB与l不平行时，由A、B的坐标求出直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。6两定点，一动点，两段差最大：异侧（思想方法：转化思想，转化到同侧来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：ykxb两侧，点P是直线l：ykxb上任意一点，当PAQB最大时，求P的坐标。理论依据：三角形任意两边之差小于第三边。解法：作两定点中任意一点如点B关于直线l：ykxb的对称点B，作直线AB，与直线l的交点即为点P。此时PAPBPAPBAB。当A、B、P三点共线时取等号，最大值为AB。过程：作两定点中任意一点如点B关于直线l：ykxb的对称点B，作直线AB，由A、B的坐标求出直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=px+qy=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：当ABl时，直线AB与直线l无交点，此时PAPB无最大值。当AB与l不平行时，第一步：由于BBl于点C，可得直线BB的斜率m与直线l的斜率k互为负倒数，得m，得直线BB：yxn，再把已知点B的坐标代入得到n，从而得出直线BB的解析式ymxn；第二步：把ymxn与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点C的坐标；第三步：用中点公式x=y= 或平移法（B到C的平移规则与C到B的平移规则一样）得到B的坐标；第四步：连接AB，求出直线AB的解析式ypxq；第五步：将直线AB和直线l联立成方程组y=px+qy=kx+b，解这个方程组，解为点P的坐标。7两定点，两动点，两段差最大：同侧（思想方法：转化思想，转化为一个动点来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：ykxb同侧，点P、Q是直线l：ykxb上任意两点，PQa，当PAQB最大时，求P的坐标。理论依据：三角形任意两边之差小于第三边。解法：将点A沿PQ方向平移a个单位长度得到点A，作直线AB，与直线l的交点即为点P。此时PAQBQAQBAB。当A、B、P三点共线时取等号，最大值为AB。过程：先求出点P与点Q坐标之间的变化规律，按这个规律求出点A平移后的对应点A，作直线AB，由点A、B的坐标求出直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点Q的坐标，再平移得点P的坐标。分类：当ABl时，直线AB与直线l无交点，此时PAQB无最大值。当AB与l不平行时：第一步：过点P作PSx轴于S，过点Q作QRPS于R，由直线l的kPR：QR，用勾股定理得出PR与QR之间的比例关系，由平移知点A与点A的坐标之间的关系同点P与点Q的坐标之间关系一致，从而得出点A的坐标。第二步：由点A、B的坐标求出直线AB的解析式ymxn，与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点Q的坐标，再平移得点P的坐标。8两定点，两动点，两段差最大：异侧（思想方法：转化思想，转化为一个动点、同侧来做）已知：点A(a,b)、B(m,n)在直线l：ykxb两侧，点P、Q是直线l：ykxb上任意两点，PQa，当PAQB最大时，求P的坐标。理论依据：三角形任意两边之差小于第三边。解法：作两定点中任意一点如点B关于直线l：ykxb的对称点B，将点B按点P、Q坐标之间的关系平移到点B，作直线AB，与直线l的交点即为点P。此时PAQBPAQBAB。当A、B、P三点共线时取等号，最大值为AB。过程：作两定点中任意一点如点B关于直线l：ykxb的对称点B，按点P、Q坐标之间的关系求出点B平移后的对应点B，作直线AB，由A、B的坐标求出直线AB的解析式ypxq，与直线l：ykxb联立成方程组y=px+qy=kx+b，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。分类：当ABl时，直线AB与直线l无交点，此时PAQB无最大值。当AB与l不平行时，第一步：由于BBl于点C，可得直线BB的斜率m与直线l的斜率k互为负倒数，得m，得直线BB：yxn，再把已知点B的坐标代入得到n，从而得出直线BB的解析式ymxn；第二步：把ymxn与直线l：ykxb联立成方程组y=mx+ny=kx+b，解方程组，方程组的解就是点C的坐标；第三步：用中点公式x=y= 或平移法（B到C的平移规则与C到B的平移规则一样）得到B的坐标；第四步：过点P作PSx轴于S，过点Q作QRPS于R，由直线l的kPR：QR，用勾股定理得出PR与QR之间的比例关系，由平移知点B与点B的坐标之间的关系同点P与点Q的坐标之间关系一致，从而得出点B的坐标。第五步：连接AB，求出直线AB的解析式ypxq；第六步：将直线AB和直线l联立成方程组y=px+qy=kx+b，解这个方程组，解为点P的坐标。练习：1已知点A（2,4）、B（1,2），点P在y轴上，当PAPB的值最小时，求P的坐标。解：点A、B分别位于y轴两侧连接AB，与y轴的交点即为点P。设直线AB：ykxb，将A（2,4）、B（1,2）分别代入函数得2k+b=4-k+b=2,解得k=b=，AB：yx，P（0，）。2已知点A（2,4）、B（1,2），点P是x3上任意一点，当PAPB的值最小时，求P的坐标。解：点A、B分别位于x3轴同侧作A（2，4）关于x3的对称点为A（4,4），连接AB。设直线AB：ykxb，将A（4,4）、B（1,2）分别代入函数得4k+b=4-k+b=2,解得k=b=，AB：yx，当x3时，y，即P（3，）。3已知点A（2,4）、B（1,2），点P是直线y2x4上任意一点，当PAPB的值最小时，求P的坐标。解：作图可得点A、B分别位于直线两侧，连接AB与直线的交点即为点P。设直线AB：ykxb，将A（2,4）、B（1,2）分别代入函数得2k+b=4-k+b=2,解得k=b=，即AB：yx，y-2x4yx解得x=y=3 即P（，3）。4已知点A（2,4）、B（1,2），点P、Q是直线y2x4上的两点，点P在点Q的上方，且PQ2，当PAQB的值最小时，求P的坐标。解：点A、B分别位于直线y2x4同侧，PQ2，过P作PSx轴于点S，过Q作QRPS于点R，得PR：QR2：12m：m，(2m)2m2(2)2，解得m2（m2舍去），得点QP：横坐标加2，纵坐标加4。作点B关于直线y2x4的对称点B：由BBl可设BB：yxb，代B（1,2）得b2，b直线BB：yx，从而yxy2x-4 ，解得x=y=，即直线BB与直线y2x4的交点坐标C（，）由BC与CB的平移规则一样，得B（，）。由BB与QP的平移规则一样，得B（，）连接AB，设直线AB：ykxb，将A（2,4）、B（，）分别代入函数得2k+b=4k+b= ,解得k=-b= ，AB：yx，由yxy2x-4 解得x=y=即P（，）。5已知点A（2,4）、B（1,2），点P在直线x1上何处时，PAPB的值最大？解：点A、B分别位于直线x1的两侧，作B点关于x1的对称点B（3,2），连接AB设直线AB：ykxb，将A（2,4）、B（3,2）分别代入函数得2k+b=43k+b=2 ,解得k=-2b=8 ，AB：y2x8，当x1时，y6即P（1，6）。6已知点A（2,4）、B（1,2），点P、Q是直线yx1上的两点，点P在点Q的上方，且PQ，当PAQB的值最大时，求P的坐标。解：点A、B分别位于直线yx1两侧，PQ，过P作PSx轴于点S，过Q作QRPS于点R，得PR：QR5：35m：3m，(5m)2(3m)2()2，解得m1（m1舍去）点QP：横坐标加3，纵坐标加5。作点B关于直线l：yx1的对称点B：由BBl可设BB：yxb，代B（1,2）得b2，b，即直线BB：yxyxyx1 ，解得x=-y= ，即直线BB与直线yx1的交点坐标C（，）由BC与CB的平移规则一样，得B（，）。由BB与QP的平移规则一样，得B（，）连接AB，设直线AB：ykxb，将A（2,4）、B（，）分别代入函数得-2k+b=4k+b= ,解得k=b= ，AB：yxyxyx1 解得x=y=即P（，）。7已知点A（2,4）、B（1,2），在直线x1上任取一点M，过点M作MNy轴于点N，连接AM、BN，当点M在何处时，AMNB的路程最小？解：点A、B分别位于直线x1的两侧，且x1与y轴相距1个单位将A（2,4）向左平移1个单位，得A(1,4)连接AB，交y轴于点N，过点N作NMy轴交x1于点M，连接AM，则点M、N为所求的点。设直线AB：ykxb，将A（1,4）、B（1,2）分别代入函数得-k+b=-2k+b=4,解得k=3b=1，AB：y3x1，故N(0,1)，M(1,1)。8已知点A（2,4）、B（1,2），点P、Q是直线y2x4上的两点，点P在点Q的上方，且PQ2，当PAQB的值最大时，求P的坐标。解：点A、B分别位于直线y2x4同侧，PQ2，过P作PSx轴于点S，过Q作QRPS于点R，得PR：QR2：12m：m，(2m)2m2(2)2，解得m2（m2舍去）点QP：横坐标加2，纵坐标加4。将点B沿QP方向平移2个单位得：B（1,2）B（1,6）设直线AB：ykxb，将A（2,4）、B（1,6）分别代入函数得2k+b=4k+b=6 ,解得k=-2b=8 ，AB：y2x8，y-2x8y2x-4 解得x=3y=2即P（3，2）。9如图1，抛物线yx2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C。将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90，交y轴于点D，交抛物线于另一点E。（1）求直线AE的解析式；（2）点F是第一象限内抛物线上一点，当FAD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E重合），使FGGE的值最小。求出点G的坐标，并直接写出FGGE的最小值；（3）如图2，将ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的ACD为ACD，平移时间为t秒，当ACE为等腰三角形时，求t的值。 图1图2解：（1）当x0时，y，得C(0，)；当y0时，x2x0，得x11，x23，得A(1，0)，B(3，0)设直线AC：ykxb，代A(1，0)及C(0，)，得-k+b=0b= ，解得k=b= ，即直线AC：yxAE由AC顺时针旋转90AEAC可设AE：yxb，代A(1，0)，b0，bxb，即AE：yx（2）过点F作FHx轴于点H，交AE于点N，过F作FMAE于点M。FNy轴，即FNMADC不变点F在移动过程中，FMN的形状不变（即处处相似）当FN最大时，FM也最大。设F(f， f2f)（0f3），则N(f，f)，则则FNf2f（f)f2f(f)20，且f在0f3内当f时，FNmaxF(，)。C(0，)，A(1，0)CAOCDA60过点E作ELy轴于点L，过点G作GKEL于点K，得GEK30，得GKGEFGGEFGGK，当F、G、K三点共线时，FGGEFGGK最小，当FKEL时，FGGEFGGK最小为FKyFyEyx yx2x 解得x=4y=- 得点E(4，)当G(，)时，FGGEFK。（3）如图所示，有四种情况： 10已知如图1，抛物线yx2x3与轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，-1），连接BC、AC。（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当ADF的面积最大时，有一线段MN（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3，将DBC绕点D逆时针旋转（0180），记旋转中的DBC为DBC，若直线BC与直线AC交于点P，直线BC与直线DC交于点Q，当CPQ是等腰三角形时，求CP的值.解：（1）当y0时，x 2x30，得x14，x22；当x0时，y3，即A(4，0)，B(2，0)，C(0，3)设直线AC：ykxb，将A、D两点的坐标分别代入得-4k+b=0b=-1 ，解