高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.2 函数的单调性与最值课件 理.ppt

第二节函数的单调性与最值 知识梳理 1 增函数 减函数 任意 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调性 单调区间的定义若函数y f x 在区间d上是 或 则称函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做函数y f x 的单调区间 增函数 减函数 3 函数的最值 f x m f x m 特别提醒 1 增函数 减函数定义的变式设任意x1 x2 a b 且x1 x2 那么 1 f x 在 a b 上是增函数 2 f x 在 a b 上是减函数 2 函数最值存在的两条结论 1 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值 当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 2 开区间上的 单峰 函数一定存在最大或最小值 小题快练 链接教材练一练1 必修1p39a组t3改编 函数y 2m 1 x b在r上是减函数 则 a m b md m 解析 选b 使y 2m 1 x b在r上是减函数 则2m 1 0 即 2 必修1p31例4改编 函数f x 在 2 6 上的最大值和最小值分别是 解析 函数f x 在 2 6 上单调递减 所以f x min f 6 f x max f 2 答案 感悟考题试一试3 2016 郑州模拟 已知函数y a b是常数 在区间上有ymax 3 ymin 则a2 b2 a 2b 10c 8d 5 解析 选d 易知a2 1 1 令t x x2 2x 所以根据二次函数的性质得出 t 1 0 所以函数y b a2 1 t t 1 0 a b是常数 单调递增 所以ymax b 1 3 ymin 解得b 2 a2 1 所以a2 b2 5 4 2016 广州模拟 下列函数f x 中 满足 x1 x2 0 且x1 x2 x1 x2 f x1 f x2 0 的是 a f x 2xb f x x 1 c f x d f x ln x 1 解析 选c 由 x1 x2 f x1 f x2 0可知 f x 在 0 上是减函数 a d选项中 f x 为增函数 b中 f x x 1 在 0 上不单调 对于f x 因为与y x在 0 上单调递减 因此f x 在 0 上是减函数 5 2016 唐山模拟 已知函数f x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 解析 由题意知f x 由函数f x 的图象可知f x 在 上单调递增 由f 2 a2 f a 得2 a2 a 解得 2 a 1 即实数a的取值范围是 2 1 答案 2 1 考向一判断函数的单调性 区间 典例1 1 2016 黄冈模拟 函数y f x x r 的图象如图所示 则函数g x f logax 0 a 1 的单调递减区间是 2 2015 上海高考改编 判断并证明函数f x ax2 其中1 a 3 在x 1 2 上的单调性 解题导引 1 根据函数的图象 利用复合函数的单调性的判断方法 确定函数的单调递减区间 2 利用定义法或导数法进行判断 规范解答 1 选b 由图象知f x 在 0 和上单调递减 而在上单调递增 又因为当0 a 1时 y logax为 0 上的减函数 所以要使g x f logax 单调递减 需要logax 即0 logax 解得x 2 设1 x10 2 x1 x2 4 1 x1x2 4 又因为10 从而f x2 f x1 0 即f x2 f x1 故当a 1 3 时 f x 在 1 2 上单调递增 一题多解 因为f x 而x 1 2 所以又因为a 1 3 所以20 故当a 1 3 时 f x 在 1 2 上单调递增 母题变式 1 若将本例题 1 中的 01 则函数g x 的单调递减区间如何 解析 由典例1 1 解析知 需logax 0或logax 解得x 1或x 又因为x 0 所以单调递减区间为 0 1 2 在本例题 1 中 将所求结论改为 若f x 在 a 上是减函数 求a的取值范围 解析 由图象知f x 在 0 和上单调递减 若f x 在 a 上是减函数 则 a 所以 规律方法 1 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定函数的定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 2 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 1 取值 设x1 x2是定义区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差 变形 作差f x1 f x2 或f x2 f x1 并通过因式分解 配方 有理化等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 定号 确定差f x1 f x2 或f x2 f x1 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 判断 根据定义作出结论 易错提醒 1 单调区间是定义域的子集 故求单调区间应树立 定义域优先 的原则 2 单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示 如有多个单调区间应分别写 不能用并集符号 连接 也不能用 或 连接 变式训练 2016 厦门模拟 函数f x 的单调递增区间为 a 0 b 0 c 3 d 3 解析 选d 函数f x 的定义域为 3 3 因为函数y f x 是由与t g x x2 9复合而成 又因为在 0 上单调递减 g x 在 3 上单调递减 所以函数y f x 在 3 上单调递增 加固训练 1 下列四个函数中 在 0 上为增函数的是 a f x 3 xb f x x2 3xc f x d f x x 解析 选c 当x 0时 f x 3 x为减函数 当x 时 f x x2 3x为减函数 当x 时 f x x2 3x为增函数 当x 0 时 f x 为增函数 当x 0 时 f x x 为减函数 2 函数f x x2 2 x 3的单调递减区间为 解析 因为f x 其图象如图所示 所以函数y f x 的单调递减区间为 1 0 和 1 答案 1 0 和 1 3 判断并证明函数f x 其中a 0 在x 1 1 上的单调性 解析 方法一 定义法 设 10 x1x2 1 0 x12 1 x22 1 0 因此 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数f x 在 1 1 上为减函数 方法二 导数法 f x 又因为a 0 所以f x 0 所以函数f x 在 1 1 上为减函数 考向二求函数的最值 值域 典例2 1 函数y 的最小值为 2 函数y 的值域为 解题导引 1 利用换元法求解 2 采用分离变量法 即将分子变为2 x2 x 1 1的形式 转化后求解 规范解答 1 令t 0 则x t2 1 所以y t2 t 1 当t 0时 由二次函数的性质可知 当t 0时 ymin 1 答案 1 2 因为x2 x 1 所以故值域为答案 一题多解 解答本例题 2 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 去分母 整理 得 y 2 x2 y 2 x y 3 0 当y 2时 上式可看成是关于x的二次方程 若方程有实根 则 y 2 2 4 y 2 y 3 0 解得 当y 2时 方程无解 所以函数的值域为答案 易错警示 解答本例题 1 会出现以下错误 题目利用换元法求函数的最小值 易忽视换元后t的取值范围 从而造成求出的函数最小值缩小而致误 规律方法 求函数最值的五种常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 变式训练 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 则函数f x min 4x 1 x 4 x 8 的最大值是 解析 在同一坐标系中分别作出函数y 4x 1 y x 4 y x 8的图象后 取位于下方的部分得函数f x min 4x 1 x 4 x 8 的图象 如图所示 由图象可知 函数f x 在x 2时取得最大值6 答案 6 加固训练 1 函数f x 的值域为 解析 当x 1时 f x 是单调递减的 此时 函数的值域为 0 当x 1时 f x 3x是单调递增的 此时 函数的值域为 0 3 综上 f x 的值域是 3 答案 3 2 对于任意实数a b 定义min a b 设函数f x x 3 g x log2x 则函数h x min f x g x 的最大值是 解析 依题意 h x 当0 x 2时 h x log2x是增函数 当x 2时 h x 3 x是减函数 所以h x 在x 2时取得最大值h 2 1 答案 1 3 已知f x x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解析 1 当a 时 f x 任取1 x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 因为1 x1 x2 所以x1x2 1 2x1x2 1 0 又因为x1 x2 0 所以f x1 f x2 所以f x 在 1 上是增函数 所以f x 在 1 上的最小值为f 1 2 在区间 1 上 f x 0恒成立 则等价于a大于函数 x x2 2x 在 1 上的最大值 只需求函数 x x2 2x 在 1 上的最大值 x x 1 2 1在 1 上递减 所以当x 1时 x 最大值为 1 3 所以a 3 故实数a的取值范围是 3 考向三函数单调性的应用 考情快递 考题例析 命题方向1 比较函数值或自变量的大小 典例3 2016 衡阳模拟 已知函数f x log2x 若x1 1 2 x2 2 则 a f x1 0c f x1 0 f x2 0 f x2 0 解题导引 先判断f x 的单调性 再应用单调性比较大小 规范解答 选b 因为f x 在 1 上是增函数 且f 2 又x1 1 2 所以f x1 f 2 0 命题方向2 解函数不等式 典例4 2016 兰州模拟 f x 是定义在 0 上的单调增函数 满足f xy f x f y f 3 1 当f x f x 8 2时 x的取值范围是 a 8 b 8 9 c 8 9 d 0 8 解题导引 将f x f x 8 2变为f x x 8 f 9 利用函数的单调性求解 规范解答 选b 因为2 1 1 f 3 f 3 f 9 由f x f x 8 2 可得f x x 8 f 9 因为f x 是定义在 0 上的增函数 所以有解得8 x 9 命题方向3 求参数的值或取值范围 典例5 2016 绵阳模拟 已知f x 满足对任意x1 x2 都有成立 则实数a的取值范围为 解题导引 先由判断f x 在r上的单调性 再根据f x 的单调性构建实数a的不等式组求解 规范解答 由知函数f x 是r上的增函数 于是有解得所以实数a的取值范围是答案 技法感悟 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1 比较大小 比较函数值的大小 应将自变量转化到同一个单调区间内 然后利用函数的单调性解决 2 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时 往往是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 使其转化为具体的不等式求解 此时应特别注意函数的定义域 3 利用单调性求参数 视参数为已知数 依据函数的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较求参数 需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 题组通关 1 2016 宿州模拟 已知偶函数f x 对于任意x r都有f x 1 f x 且f x 在区间 0 2 上是递增的 则f 6 5 f 1 f 0 的大小关系是 a f 0 f 6 5 f 1 b f 6 5 f 0 f 1 c f 1 f 6 5 f 0 d f 1 f 0 f 6 5 解析 选a 由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 f x 则函数的周期是2 因为函数f x 为偶函数 所以f 6 5 f 0 5 f 0 5 f 1 f 1 因为f x 在区间 0 2 上是递增的 所以f 0 f 0 5 f 1 即f 0 f 6 5 f 1 2 2016 郑州模拟 已知f x 是r上的单调递增函数 则实数a的取值范围为 a 1 b 4 8 c 4 8 d 1 8 解析 选b 因为f x 是r上的单调递增函数 所以解得4 a 8 3 2016 唐山模拟 a 2 是 函数f x x2 3a 2在区间 2 内单调递减 的 a 充分不必要条件b 必