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1 4二次函数与一元二次方程的联系 湘教版九年级下册 第1章二次函数 掷铅球时 铅球在空中经过的路线是抛物线 已知某运动员掷铅球时 铅球在空中经过的抛物线的解析式为 其中x是铅球离初始位置的水平距离 y是铅球离地面的高度 你能求出铅球被扔出多远吗 铅球的着地点A的纵坐标y 0 横坐标x就是铅球被扔出去的水平距离 由抛物线的解析式 得 即x2 18x 40 0 这里a 1 b 18 c 40 b2 4ac 18 2 4 1 40 484 从而x1 20 x2 2 不合题意 舍去 因此 所以 铅球被扔出去20m远 因此 我们可以在直角坐标系中画出铅球所经过的路线图 如图所示 从上面例子 求铅球被扔出去多远的解题过程中 你看到在求抛物线与x轴的交点的横坐标时 需要做什么事情 需要令y 0 解所得的一元二次方程 例1求抛物线y 4x2 12x 5与x轴的交点的横坐标 解4x2 12x 5 0 这里a 4 b 12 c 5 b2 4ac 122 4 4 5 144 80 64 因此 从而 所以抛物线y 4x2 12x 5与x轴的交点的横坐标为或 例2求抛物线y x2 2x 1与x轴的交点的横坐标 解x2 2x 1 0 即 x 1 2 0 解得x1 x2 1 因此 抛物线y x2 2x 1与x轴的交点的横坐标为 1 例3抛物线y x2 2x 2与x轴有交点吗 解x2 2x 2 0 这里a 1 b 2 c 2 b2 4ac 22 4 1 2 4 8 0 这个一元二次方程没有实数解 因此抛物线y x2 2x 2与x轴没有交点 例4在上面掷铅球的例子中 若铅球在空中经过的抛物线是当铅球离地面高度为2m时 它离初始位置的水平距离是多少 精确到0 01m 解由抛物线的解析式得 即x2 18x 40 0 这里a 1 b 18 c 40 b2 4ac 18 2 4 1 40 164 从而x1 15 40 x2 2 60 因此 答 当铅球离地面高度为2m时 它离初始位置的水平距离约为2 60m或15 40m 从掷铅球的例子可以看到 当已知抛物线上点的纵坐标y 求该点的横坐标x时 需要做什么事情 需要解一元二次方程 上例表明 已知二次函数的函数值 求对应的自变量的值时 需要解一元二次方程 反之 解一元二次方程能不能借助二次函数呢 例5求一元二次方程x2 2x 1 0的解的近似值 精确到0 1 分析从例1受到启发 一元二次方程x2 2x 1 0的解就是抛物线y x2 2x 1与x轴的交点的横坐标 因此我们可以先画出这条抛物线 然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标 这种解一元二次方程的方法叫做图象法 例1求抛物线y 4x2 12x 5与x轴的交点的横坐标 解y x2 2x 1 x2 2x 1 1 1 x 1 2 2 对称轴是x 1 顶点坐标是 1 2 列表 描点和连线 画出图象在对称轴右边的部分 利用对称性画出图象在对称轴左边的部分 就得到了y x2 2x 1的图象 如图2 图2 从图量得抛物线与x轴的交点的横坐标约为 0 4或2 4 因此方程x2 2x 1 0的解的近似值为 0 4或2 4 图2 1 求下列抛物线与x轴的交点的横坐标 1 y x2 x 2 2 y 9x2 12x 4 答案 x1 1 x2 2 3 y x2 2x 1 答案 答案 x 1 2 已知函数y x2 4x 3 1 画出函数的图象 2 观察图象 当x取哪些值时 函数值为0 2 x1 1 x2 3 1 解 3 在上面掷铅球的例子中 当铅球离地面的高度为1 5m时 它离初始位置的水平距离是多少 精确到0 01 即x2 18x 20 0 解由抛物线的解析式得 这里a 1 b 18 c 20 b2 4ac 18 2 4 1 20 244 从而x1 1 19 x2 16 81 因此 答 当铅球离地面高度为1 5m时 它离初始位置的水平距离约为1 19m或17 81m 4 用图象法求一元二次方程x2 x 1 0的解的近似值 精确到0 1 答 x1 1 6 x2 0 6 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则下列关系式不