山东省淄博市高三数学三模试卷 理（含解析）.doc

2015年山东省淄博市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z1=1i，z2=1+i，则 等于（） a 2i b 2i c 2+i d 2+i2设集合a=x|x22x30，b=y|y=ex，xr，则ab=（） a （0，3） b （0，2） c （0，1） d （1，2）3已知函数f（x）=2sin（2x+）（|的图象过点，则f（x）的图象的一个对称中心是（） a b c d 4下列四个结论：其中正确结论的个数是（）命题“xr，xlnx0”的否定是“x0r，x0lnx00”；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；若x0，则xsinx恒成立 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个5已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（） a b c d 6如图是一个算法的流程图若输入x的值为2，则输出y的值是（） a 0 b 1 c 2 d 37已知函数f（x）=（x1）的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则a2+b2的取值范围是（） a 上恒成立，则实数a的取值范围是（） a （，2） b （，0） c （0，2） d （2，0）10已知双曲线=1（a0，b0）的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是be2（e为双曲线的离心率），则e的值为（） a b c 或3 d 或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.12若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x1|+|x+a|有相同的最小值，则f（x）dx=13设、都是单位向量且=0，则（+）（+）的最大值为14在实数集r中定义一种运算“*”，对任意a，br，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（）对任意ar，a*0=a；（）对任意ra，br，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的单调递增区间为（，0其中所有正确说法的序号为15已知函数f（x）=，点o为坐标原点，点an（n，f（n）（nn*），向量是向量与的夹角，则的值为三、解答题：本大题共6小题，共75分.16设向量=（sin2x，cos2x），=（cos，sin），其中|，0，函数f（x）=的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与x轴的第一个交点为（）求函数f（x）的表达式；（）在abc中，角abc的对边分别是abc若f（c）=1，且a+b=2，求边长c17在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，e是pd的中点，abc=acd=90，bac=cad=60，ac=ap=2（）求证：pcae；（）求二面角acep的余弦值18某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分根据以往的比赛情况统计： 乙队胜的概率 乙队平的概率 乙队负的概率与丙 队比赛 与丁队比赛 注：各队之间比赛结果相互独立（）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；（）设随机变量x为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量x的分布列与数学期望；（）在目前的积分情况下，m同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，n同学认为：乙队至少积5分才能确保出线你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）19表是一个由正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等已知a1，1=1，a2，3=8，a3，2=6（）求数列a2，n的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n和sna1，1 a1，2 a1，3 a1，4 a2，1 a2，2 a2，3 a2，4 a3，1 a3，2 a3，3 a3，4 a4，1 a4，2 a4，3 a4，4 20已知椭圆c：+=1（ab0）经过点m（2，1），离心率为过点m作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆c交于异于m的另外两点p、q（）求椭圆c的方程；（）证明：直线pq的斜率为定值，并求这个定值；（）pmq能否为直角？证明你的结论21已知函数f（x）=ln（1+x）（）证明：当a=1，x0时，f（x）0；（）若a1，讨论f（x）在（0，+）上的单调性；（）设nn*，比较与nln（1+n）的大小，并加以证明2015年山东省淄博市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z1=1i，z2=1+i，则 等于（） a 2i b 2i c 2+i d 2+i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 代入复数，利用复数的代数形式的乘除运算，求解即可解答： 解：复数z1=1i，z2=1+i，则=2i故选：b点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，基本知识的考查2设集合a=x|x22x30，b=y|y=ex，xr，则ab=（） a （0，3） b （0，2） c （0，1） d （1，2）考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 求出a中不等式的解集确定出a，求出b中y的范围确定出b，找出两集合的交集即可解答： 解：由a中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即a=（1，3），由b中y=ex0，得到b=（0，+），则ab=（0，3），故选：a点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3已知函数f（x）=2sin（2x+）（|的图象过点，则f（x）的图象的一个对称中心是（） a b c d 考点： 正弦函数的对称性专题： 三角函数的图像与性质分析： 由题意可得=2sin，结合（|可得的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=，则可求f（x）的图象的一个对称中心解答： 解：函数f（x）=2sin（2x+）（|的图象过点，=2sin，由（|，可得：=f（x）=2sin（2x+），由五点作图法令2x+=0，可解得：x=，则f（x）的图象的一个对称中心是故选：b点评： 本题主要考查了正弦函数的对称性，属于基本知识的考查4下列四个结论：其中正确结论的个数是（）命题“xr，xlnx0”的否定是“x0r，x0lnx00”；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；若x0，则xsinx恒成立 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个考点： 复合命题的真假；命题的否定专题： 简易逻辑分析： 利用命题的否定定义即可判断出真假；利用逆否命题的定义即可判断出真假；利用复合命题真假的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出真假；若x0，令f（x）=xsinx，则f（x）=1cosx0，即可函数f（x）在（0，+）上的单调性，即可判断出真假解答： 解：命题“xr，xlnx0”的否定是“x0r，x0lnx00”，正确；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”，正确；“命题pq为真”，则p与q中至少有一个为真命题，取p真q假时，“命题pq为真”为假命题，反之：若“命题pq为真”，则p与q都为真命题，因此“命题pq为真”，“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件，因此是假命题；若x0，令f（x）=xsinx，则f（x）=1cosx0，因此函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）f（0）=0，则xsinx恒成立，正确综上只有是真命题故选：c点评： 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题5已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（） a b c d 考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 由于f（x）=x+cosx，得f（x）=xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除bd，取x=代入f（）=sin=10，排除c，只有a适合解答： 解：由于f（x）=x+cosx，f（x）=xsinx，f（x）=f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除bd，又当x=时，f（）=sin=10，排除c，只有a适合，故选：a点评： 本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题6如图是一个算法的流程图若输入x的值为2，则输出y的值是（） a 0 b 1 c 2 d 3考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论解答： 解：执行一次循环，y=0，x=0；执行第二次循环，y=1，x=2；执行第三次循环，y=2，满足条件，退出循环故选c点评： 本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题7已知函数f（x）=（x1）的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则a2+b2的取值范围是（） a 解答： 解：令函数f（x）=（x1）=0，x=1是其中的一个根，所以f（x）=（x1）的另外两个零点分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（1+a）x+a+b+1，有两个分别属于（0，1），（1，+）的零点，故有g（0）0，g（1）0，即a+b+10且2a+b+30，利用线性规划的知识，可确定a2+b2的取值范围是（5，+）故选：d点评： 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，简单线性规划，考查计算能力8用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（） a 432 b 288 c 216 d 144考点： 排列、组合及简单计数问题专题： 概率与统计分析： 从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有 =6种先排3个奇数：用插空法求得结果，再排除1在左右两端的情况，问题得以解决解答： 解：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有 =6种，先排3个奇数，有 =6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中，方法有 =12种根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6612=432种若1排在两端，1的排法有 =4种， 形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有 =6种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有646=144种，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432144=288种故选：b点评： 本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，属于中档题9已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在上恒成立，则实数a的取值范围是（） a （，2） b （，0） c （0，2） d （2，0）考点： 分段函数的应用专题： 函数的性质及应用分析： 根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在r上单调递减，所以根据题意得到x+a2ax，即2xa在上恒成立，所以只需满足2（a+1）a，解该不等式即得实数a的取值范围解答： 解：当x0时，f（x）=x22x+3=（x+1）2+4此时函数f（x）单调递减，不等式f（x+a）f（2ax）在上恒成立x+a2ax恒成立，即a2x恒成立，x，（2x）max=2（a+1）=2a+2，即a2a+2，解得a2，当x0时，f（x）=x24x+3=（x2）21此时函数f（x）单调递减，不等式f（x+a）f（2ax）在上恒成立x+a2ax恒成立，即a2x恒成立，x，（2x）max=2（a+1）=2a+2，即a2a+2，解得a2，综上所述：即实数a的取值范围是（，2）故选：a点评： 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性10已知双曲线=1（a0，b0）的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是be2（e为双曲线的离心率），则e的值为（） a b c 或3 d 或考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 抛物线y2=4cx的准线：x=c，它正好经过双曲线c：=1（ab0）的左焦点，准线被双曲线c截得的弦长为：，可得=be2，得出a和c的关系，从而求出离心率的值解答： 解：抛物线y2=4cx的准线：x=c，它正好经过双曲线c：=1（ab0）的左焦点，准线被双曲线c截得的弦长为：，=be2，即：c2=3ab，2c4=9a2（c2a2），2e49e2+9=0e=或，又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，e=故选：a点评： 本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系由圆锥曲线的方程求焦点、离心率、双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意双曲线与椭圆的区别二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.12若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x1|+|x+a|有相同的最小值，则f（x）dx=考点： 定积分专题： 导数的综合应用分析： 首先由已知得到a1，然后利用最小值相等得到a的值，然后求定积分解答： 解：由已知a1，并且f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a1，它的最小值为2a1，g（x）=|x1|+|x+a|的最小值为1+a，所以2a1=1+a解得a=2，所以f（x）dx=（）|=；故答案为：点评： 本题考查了二次函数、绝对值函数的最小值以及定积分的计算，关键是正确求出a值，然后计算定积分13设、都是单位向量且=0，则（+）（+）的最大值为考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题分析： 由已知中、都是单位向量且=0，可设=（1，0），=（0，1），=（cos，sin），进而根据和差角公式可将（+）（+）的表达式转化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质得到（+）（+）的最大值解答： 解：、都是单位向量且=0设=（1， 0），=（0，1），=（cos，sin），则（+）（+）=（1，1）（cos，1+sin）=cos+1+sin=sin（+）+1故（+）（+）的最大值为故答案为：点评： 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中求出（+）（+）的表达式，是解答本题的关键14在实数集r中定义一种运算“*”，对任意a，br，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（）对任意ar，a*0=a；（）对任意ra，br，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的单调递增区间为（，0其中所有正确说法的序号为考点： 指数函数单调性的应用专题： 函数的性质及应用分析： 直线阅读新定义得出函数关系式函数f（x）=（ex）*=1+ex+，利用基本不等式，偶函数的定义判断即可解答： 解；根据得出：函数f（x）=（ex）*=1+ex+ex+2（x=0时等号成立）函数f（x）的最小值为3，故正确；f（x）=1+ex=1+ex=f（x），函数f（x）为偶函数；故正确；运用复合函数的单调性判断函数f（x）的单调递增区间为（0，+）故不正确故答案：点评： 本题考查了新定义的题目，基本不等式的运用，符合函数的单调性，综合性较强，但是难度不大15已知函数f（x）=，点o为坐标原点，点an（n，f（n）（nn*），向量是向量与的夹角，则的值为考点： 数量积表示两个向量的夹角专题： 平面向量及应用分析： 根据题意，n是直线oan的倾斜角，化简 为，从而求出要求式子的值解答： 解：根据题意得，n是直线oan的倾斜角，=tan（n）=2（），=2（1+）=2（1）=，故答案：点评： 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题以及求函数值的应用问题，是综合性题目三、解答题：本大题共6小题，共75分.16设向量=（sin2x，cos2x），=（cos，sin），其中|，0，函数f（x）=的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与x轴的第一个交点为（）求函数f（x）的表达式；（）在abc中，角abc的对边分别是abc若f（c）=1，且a+b=2，求边长c考点： 余弦定理的应用；平面向量的综合题专题： 解三角形分析： （i）利用向量的数量积通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用已知条件求解解析式即可（ii）求出c，利用，以及余弦定理即可求出c的值解答： 解：（i）因为向量=（sin2x，cos2x），=（cos，sin），所以=sin2xcos+cos2xsin=sin（2x+），1分由题意，3分将点代入y=sin（2x+），得，所以，又因为，5分即函数的表达式为6分（ii）由f（c）=1，即又0c，8分由，知，所以ab=310分由余弦定理知c2=a2+b22abcosc=（a+b）22ab2abcosc=所以 c=312分点评： 本题考查余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角形的解法，考查计算能力17在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，e是pd的中点，abc=acd=90，bac=cad=60，ac=ap=2（）求证：pcae；（）求二面角acep的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）根据线面垂直的判定定理即可证明pcae；（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角acep的余弦值解答： 证明：（）取pc的中点f，连接ef，af，则efcd因为ac=ap=2所以pcaf1分因为 pa平面abcd，cd平面abcd所以 pacd又 accd所以 cd平面pac3分因为pc平面pac，所以 cdpc；又 efcd，所以 efpc；又因为 pcaf，afef=f；所以 pc平面aef5分因为ae平面aef，所以 pcae6分（注：也可建系用向量证明）（）以b为原点，建立如图所示的空间直角坐标系bxyz则b（0，0，0），a（0，1，0），p（0，1，2），8分设平面ace的法向量为=（x，y，z），则，所以令x=1所以=（1，2） 9分由（）知cd平面pac，af平面pac，所以cdaf同理pcaf所以af平面pce所以平面pce的一个法向量=（，1） 10分所以cos=，11分由图可知，二面角acep为锐角，所以二面角acep的余弦值为 12分点评： 本题主要考查空间二面角的求解以及直线垂直的判断，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键18某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分根据以往的比赛情况统计： 乙队胜的概率 乙队平的概率 乙队负的概率与丙 队比赛 与丁队比赛 注：各队之间比赛结果相互独立（）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；（）设随机变量x为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量x的分布列与数学期望；（）在目前的积分情况下，m同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，n同学认为：乙队至少积5分才能确保出线你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式专题： 概率与统计分析： （）设乙队胜、平、负丙队为事件a1、a2、a3，乙队胜、平、负丁队为事件b1、b2、b3利用独立事件求概率（）列举随机变量x的可能取值，求出各自概率得到分布列解答： 解：（）设乙队胜、平、负丙队为事件a1、a2、a3，乙队胜、平、负丁队为事件b1、b2、b3则p（a1）=p（a2）=，p（a3）=；p（b1）=p（b2）=p（b3）=；2分设乙队最后积4分为事件c，则p（c）=p（a1）p（b3）+p（b1）p（a3）=4分（）随机变量x的可能取值为：7，5，4，3，2，15分；随机变量x的分布列为：8分x 7 5 4 3 2 1p 10分（）n同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线12分当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线；当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线点评： 本题主要考查了独立事件求概率的方法和随机变量的分布列期望值，属中档题型19表是一个由正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等已知a1，1=1，a2，3=8，a3，2=6（）求数列a2，n的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n和sna1，1 a1，2 a1，3 a1，4 a2，1 a2，2 a2，3 a2，4 a3，1 a3，2 a3，3 a3，4 a4，1 a4，2 a4，3 a4，4 考点： 等差数列与等比数列的综合专题： 等差数列与等比数列分析： （）设第一行依次组成的等差数列的公差是d，等比数列的公比是q0，可得a2，3=qa1，3=q（1+2d）=8，a3，2=q2a1，2=q2（1+d）=6，解出d，q即可得到所求；（）利用等差数列的通项公式可得an，1，可得bn，可得sn=（1+）1+23+45+（1）nn，再利用裂项相消求和和对n分类讨论即可得出解答： 解：（）设第一列依次组成的等差数列的公差为d，设第一行依次组成的等比数列的公比为q（q0），则 ，解得：，因为等差数列是正数数列，所以d=1，q=2，a2，1=1+1=2，即有；（）因为an，1=a1，1+（n1）d=n，所以，则sn=（1+）1+23+45+（1）nn=，当n为偶数时；当n为奇数时点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，裂项相消求和分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知椭圆c：+=1（ab0）经过点m（2，1），离心率为过点m作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆c交于异于m的另外两点p、q（）求椭圆c的方程；（）证明：直线pq的斜率为定值，并求这个定值；（）pmq能否为直角？证明你的结论考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）根据椭圆c：+=1（ab0）经过点m（2，1），离心率为，建立方程可求a，b的值，从而可得椭圆的方程；（）设直线的倾斜角为，则+=180，=+pmq，若pmq=90，则=45，=135，求出直线的方程与椭圆方程联立，验证即可得到结论；（iii）设直线mp的斜率为k，则直线mq的斜率为k，假设pmq为直角，则k（k）=1，k=1，再验证即可求得结论解答： （）解：由题设，得=1，且=，由、解得a2=6，b2=3，椭圆c的方程为 3分（）证明：记p（x1，y1）、q（x2，y2）由题意知，直线mp、mq的斜率存在设直线mp的方程为y+1=k（x+2），与椭圆c的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k24k）x+8k28k4=0，2，x1是该方程的两根，则2x1=，x1=设直线mq的方程为y+1=k（x+2），同理得x2=6分因y1+1=k（x1+2），y2+1=k（x2+2），故kpq=1，因此直线pq的斜率为定值 9分（）解：设直线mp的斜