函数的图像与性质及三角恒等变换典型习题.docx

函数的图像与性质及三角恒等变换一选择题（共21小题）1（2012山东）函数y=的图象大致为（）ABCD2（2012福建）函数f（x）=sin（x）的图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=3（2011陕西）方程|x|=cosx在（，+）内（）A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根4（2011山东）若函数f（x）=sinx（0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则=（）ABC2D35（2007天津）设函数，则f（x）（）A在区间上是增函数B在区间上是减函数C在区间上是增函数D在区间上是减函数6（2006辽宁）已知函数f（x）=sinx+cosx|sinxcosx|，则f（x）的值域是（）A2，2BCD7（2005湖北）若sin+cos=tan（0），则所在的区间（）A（0，）B（，）C（，）D（，）8（2002北京）函数y=2sinx的单调增区间是（）A2k/2，2k+/2（kZ）B2k+/2，2k+3/2（kZ）C2k，2k（kZ）D2k，2k+（kZ）9已知函数y=f（log2x）的定义域为1，4，则函数y=f（2sinx1）的定义域是（）ABCD10已知偶函数y=f（x）在1，0上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，则（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（sin）Df（cos）f（cos）11定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在3，2上是减函数，若、是锐角三角形中两个不相等的锐角，则（）Af（cos）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（sin）Df（sin）f（cos）12函数y=xcosx的部分图象是（）ABCD13若关于x的方程4cosxcos2x+m3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是（）A1，+）B0，8C1，8D0，514函数的单调增区间是（）ABCD15（2012湛江）函数的图象为C，图象C 关于直线对称；函数在区间内是增函数；由y=3sinx的图象向右平移个单位长度可以得到图象C以上三个论断中，正确论断的个数是（）A0B1C2D316（2012天津）将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是（）AB1CD217（2011安徽）已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若对xR恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是（）ABC D 18（2010福建）将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（）A4B6C8D1219（2009湖南）将函数y=sinx的图象向左平移（02）个单位后，得到函数y=sin（x）的图象，则等于（）ABCD20（2007安徽）函数的图象为G图象G关于直线对称；函数f（x）在区间内是增函数；由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象G以上三个论断中，所有正确论断的序号是（）ABCD21对于函数f（x）=sin（2x+），下列命题：函数图象关于直线x=对称；函数图象关于点（，0）对称；函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到；函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（）A0B1C2D3二解答题（共7小题）22（2012重庆）设函数f（x）=Asin（x+）其中A0，0，）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为（）求f（x）的解析式；（）求函数g（x）=的值域23（2012重庆）设f（x）=4cos（x）sinxcos（2x+），其中0（）求函数y=f（x）的值域（）若f（x）在区间上为增函数，求的最大值24（2012陕西）函数（A0，0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求的值25（2012湖南）已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，0，0）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式；（）求函数g（x）=f（x）f（x+）的单调递增区间26（2010四川）（）证明两角和的余弦公式C+：cos（+）=coscossinsin；由C+推导两角和的正弦公式S+：sin（+）=sincos+cossin（）已知，求cos（+）27（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于A，B两点已知A，B两点的横坐标分别是，（1）求tan（+）的值；（2）求+2的值28（2005天津）已知，求sin及函数的图像与性质及三角恒等变换参考答案与试题解析一选择题（共21小题）1（2012山东）函数y=的图象大致为（）ABCD考点：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性1457182专题：计算题分析：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x0+，y+）可排除B，C，从而得到答案D解答：解：令y=f（x）=，f（x）=f（x），函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A；又当x0+，y+，故可排除B；当x+，y0，故可排除C；而D均满足以上分析故选D点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题2（2012福建）函数f（x）=sin（x）的图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=考点：正弦函数的对称性1457182专题：计算题分析：将内层函数x看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果解答：解：由题意，令x=k+，kz得x=k+，kz是函数f（x）=sin（x）的图象对称轴方程令k=1，得x=故选 C点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角复合函数对称轴的求法，整体代入的思想方法，属基础题3（2011陕西）方程|x|=cosx在（，+）内（）A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根考点：余弦函数的图象1457182专题：作图题；数形结合分析：由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根解答：解：方程|x|=cosx在（，+）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx在（，+）内交点的个数，如图，可知只有2个交点，故选C点评：本题是基础题，考查三角函数的图象，一次函数的图象的画法，函数图象的交点的个数，就是方程根的个数，考查数形结合思想4（2011山东）若函数f（x）=sinx（0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则=（）ABC2D3考点：正弦函数的图象1457182专题：计算题分析：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出的值即可解答：解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，kZ，所以=6k+；只有k=0时，=满足选项故选B点评：本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，常考题型5（2007天津）设函数，则f（x）（）A在区间上是增函数B在区间上是减函数C在区间上是增函数D在区间上是减函数考点：函数的图象与图象变化；正弦函数的图象1457182专题：数形结合分析：结合正弦型函数和对折变换的性质，我们画出函数的图象，数形结合分析出函数的单调性，然后逐一分析四个答案，即可得到结论解答：解：函数图象如图所示：由图可知函数在区间上是增函数故选A点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，及正弦函数的图象，其中根据正弦型函数和对折变换的性质，画出函数f（x）的图象是解答本题的关键6（2006辽宁）已知函数f（x）=sinx+cosx|sinxcosx|，则f（x）的值域是（）A2，2BCD考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域1457182专题：计算题分析：去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之解答：解：由题=，当 x，时，f（x）2，当 x，时，f（x）2，故可求得其值域为故选择C点评：本小题考点是在角函数求值域，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域7（2005湖北）若sin+cos=tan（0），则所在的区间（）A（0，）B（，）C（，）D（，）考点：正弦函数的定义域和值域；正切函数的单调性1457182专题：计算题分析：利用两角和正弦公式求出tan，再根据的范围和正弦函数的性质，求出tan的范围，由正切函数的性质和答案的内容选出答案解答：解：由题意知，tan=sin+cos=sin（）1，排除B；0，sin（）1，即tan（1，tan=，故选C点评：本题考查了正弦函数和正切函数的性质应用，即对解析式化简后，根据自变量的范围或值域，求出对应函数的值域或定义域8（2002北京）函数y=2sinx的单调增区间是（）A2k/2，2k+/2（kZ）B2k+/2，2k+3/2（kZ）C2k，2k（kZ）D2k，2k+（kZ）考点：复合三角函数的单调性1457182专题：计算题；综合题分析：由于y=2u是增函数，只需求u=sinx的增区间即可解答：解：因为y=2x是增函数，求函数y=2sinx的单调增区间，就是g（x）=sinx的增区间，它的增区间是2k/2，2k+/2（kZ）故选A点评：本题考查复合函数的单调性，是基础题9已知函数y=f（log2x）的定义域为1，4，则函数y=f（2sinx1）的定义域是（）ABCD考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域；正弦函数的定义域和值域1457182专题：计算题分析：求出log2x的范围，得到函数f（x）的定义域，就是2sinx1的范围，解出x的范围，就得到函数y=f（2sinx1）的定义域，找出选项解答：解：函数y=f（log2x）的定义域为1，4，所以log2x0，2，则2sinx10，2，即，因为sinx1，所以，解得x函数y=f（2sinx1）的定义域是：故选B点评：本题考查抽象函数的定义域的解法，明确函数的定义域的实质，注意函数y=f（log2x）的定义域为1，4，是x1，4，而不是log2x1，4，考查基本知识的灵活运用，常考题型10已知偶函数y=f（x）在1，0上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，则（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（sin）Df（cos）f（cos）考点：函数单调性的性质；正弦函数的单调性1457182专题：计算题分析：由“偶函数y=f（x）在1，0上为单调递减函数”可知f（x）在0，1上为单调递增函数，再由“、为锐角三角形的两内角”可得到+，转化为 0，两边再取正弦，可得1sinsin（ ）=cos0，由函数的单调性可得结论解答：解：偶函数y=f（x）在1，0上为单调递减函数f（x）在0，1上为单调递增函数又、为锐角三角形的两内角+01sinsin（ ）=cos0f（sin）f（cos）故选A点评：本题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性属中档题11定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在3，2上是减函数，若、是锐角三角形中两个不相等的锐角，则（）Af（cos）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（sin）Df（sin）f（cos）考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；正弦函数的单调性1457182专题：计算题分析：根据已知条件可知函数为周期是2的周期函数，由函数的周期性和奇偶性，以及f（x）在3，2上是减函数，可判断函数在0，1上是增函数，再根据、是锐角三角形中两个不相等的锐角，比较sin与cos的大小，就可判断f（sin）与f（cos）的大小解答：解：数f（x）满足f（x+2）=f（x），f（x）为周期函数，且周期为2，f（x）在3，2上是减函数，f（x）在1，0上是减函数又f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，f（x）在0，1上是增函数、是锐角三角形中两个不相等的锐角，+，sinsin（）即sincos又、是锐角，1sincos0f（sin）f（cos）故选D点评：本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，周期性的综合应用，且用到了三角函数的有界性与三角函数的单调性，属于综合题12函数y=xcosx的部分图象是（）ABCD考点：函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象1457182专题：数形结合分析：由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别解答：解：设y=f（x），则f（x）=xcosx=f（x），f（x）为奇函数；又时f（x）0，此时图象应在x轴的下方故应选D点评：本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征13若关于x的方程4cosxcos2x+m3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是（）A1，+）B0，8C1，8D0，5考点：二次函数在闭区间上的最值；余弦函数的定义域和值域1457182专题：计算题分析：方程变形为函数，利用配方法，以及二次函数闭区间上的最值，求出m的范围即可解答：解：关于x的方程4cosxcos2x+m3=0，化为m=cos2x4cosx+3=（cosx2）21，因为cosx1，1，所以cosx23，1，m0，8方程4cosxcos2x+m3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是：0，8故答案为：0，8点评：本题是中档题，考查二次函数的最值的应用，三角函数的有界性，考查计算能力14函数的单调增区间是（）ABCD考点：对数函数的单调区间；正弦函数的单调性1457182专题：计算题；综合题分析：根据对数函数的真数大于0和正弦函数的性质，求出原函数的定义域，再根据复合函数的单调性、对数函数、正弦函数的单调性，求出原函数的单调增区间解答：解：设u=sinxcosx=sin（x），由u0，即sin（x）0，解得，2kx+2k（kz），+2kx+2k，即函数的定义域是（+2k，+2k）（kz），函数在定义域内是减函数，原函数的单调增区间是u的减区间，由x得，函数的定义域是（+2k，+2k）（kz），所求的函数单调增区间是，故选C点评：本题是有关函数单调性的综合题，涉及了复合函数的单调性、对数函数以及正弦函数的单调性，对于对数型复合函数需要先求出原函数的定义域，这是易错的地方15（2012湛江）函数的图象为C，图象C 关于直线对称；函数在区间内是增函数；由y=3sinx的图象向右平移个单位长度可以得到图象C以上三个论断中，正确论断的个数是（）A0B1C2D3考点：正弦函数的单调性；正弦函数的对称性；函数y=Asin（x+）的图象变换1457182专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由于当时，函数f（x）取得最小值3，故正确令 2k2x2k+，kz，求得x的范围，即可求得函数的增区间，发现正确把 y=3sinx的图象向右平移个单位长度可以得到的图象对应的函数解析式为 y=3sin（x），故不正确解答：解：由于当时，函数f（x）取得最小值3，故图象C 关于直线对称正确令 2k2x2k+，kz，可得 kxk+，kz，故函数的增区间为k，k+，kz，故正确把 y=3sinx的图象向右平移个单位长度可以得到的图象对应的函数解析式为 y=3sin（x），故不正确故选C点评：本题主要考查正弦函数的对称性和单调性，y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题16（2012天津）将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是（）AB1CD2考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换1457182专题：计算题分析：图象变换后所得图象对应的函数为y=sin（x），再由所得图象经过点可得sin（）=sin（）=0，故=k，由此求得的最小值解答：解：将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin（x）再由所得图象经过点可得sin（）=sin（）=0，=k，kz故的最小值是2，故选D点评：本题主要考查y=Asin（x+）的图象变换，以及由y=Asin（x+）的部分图象求函数解析式，属于中档题17（2011安徽）已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若对xR恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是（）ABC D 考点：函数y=Asin（x+）的图象变换1457182专题：计算题分析：由若对xR恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案解答：解：若对xR恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2+=k+，kZ则=k+，kZ又即sin0令k=1，此时=，满足条件令2x2k，2k+，kZ解得x故选C点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（x+）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角的值，是解答本题的关键18（2010福建）将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（）A4B6C8D12考点：函数y=Asin（x+）的图象变换1457182专题：计算题分析：由题意将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，说明是函数周期的整数倍，求出与k，的关系，然后判断选项解答：解：因为将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即k=（kZ），解得=4k（kZ），A，C，D正确故选B点评：本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，是已知函数周期的整数倍，是本题解题关键19（2009湖南）将函数y=sinx的图象向左平移（02）个单位后，得到函数y=sin（x）的图象，则等于（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换1457182专题：计算题分析：先根据图象变换得到平移后的函数y=sin（x+），然后结合诱导公式可得到sin（x+）=sin（x），进而可确定答案解答：解：将函数y=sinx向左平移（02）个单位得到函数y=sin（x+）根据诱导公式知当=时有：y=sin（x+）=sin（x）故选D点评：本题主要考查图象变换和诱导公式的应用考查对基础知识的综合运用20（2007安徽）函数的图象为G图象G关于直线对称；函数f（x）在区间内是增函数；由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象G以上三个论断中，所有正确论断的序号是（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性1457182专题：综合题分析：把代入G，取得最值则正确；利用单调增区间判断的正误；利用函数的周期判断的正误即可解答：解：函数的图象为G当时，函数=3sin，函数取得最小值，图象G关于直线对称；正确函数的单调增区间为，在区间内是增函数，正确；函数的周期为，由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象G不正确故选A点评：本题是基础题，函数y=Asin（x+）的图象变换，正弦函数的单调性，正弦函数的对称性，考查逻辑推理能力，近年高考常考题型21对于函数f（x）=sin（2x+），下列命题：函数图象关于直线x=对称；函数图象关于点（，0）对称；函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到；函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（）A0B1C2D3考点：正弦函数的对称性；函数y=Asin（x+）的图象变换1457182专题：综合题解答：解：把x=代入函数f（x）=sin（2x+）=0，所以，不正确；把x=，代入函数f（x）=sin（2x+）=0，函数值为0，所以正确；函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）=sin（2x+），所以不正确；函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）=sin（2x+），正确；故选C点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型二解答题（共7小题）22（2012重庆）设函数f（x）=Asin（x+）其中A0，0，）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为（）求f（x）的解析式；（）求函数g（x）=的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式1457182专题：计算题分析：（）通过函数的周期求出，求出A，利用函数经过的特殊点求出，推出f（x）的解析式；（）利用（）推出函数g（x）=的表达式，通过cos2x0，1，且，求出g（x）的值域解答：解：（）由题意可知f（x）的周期为T=，即=，解得=2因此f（x）在x=处取得最大值2，所以A=2，从而sin（）=1，所以，又，得=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）；（）函数g（x）=因为cos2x0，1，且，故g（x）的值域为点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查计算能力23（2012重庆）设f（x）=4cos（x）sinxcos（2x+），其中0（）求函数y=f（x）的值域（）若f（x）在区间上为增函数，求的最大值考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性1457182专题：计算题；转化思想分析：（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到f（x）=sin2x+1，由此易求得函数的值域；（II）f（x）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值解答：解：f（x）=4cos（x）sinxcos（2x+）=4（cosx+sinx）sinx+cos2x=2cosxsinx+2sin2x+cos2xsin2x=sin2x+1，1sin2x1，所以函数y=f（x）的值域是（II）因y=sinx在每个区间，kz上为增函数，令，又0，所以，解不等式得x，即f（x）=sin2x+1，（0）在每个闭区间，kz上是增函数又有题设f（x）在区间上为增函数所以，对某个kz成立，于是有解得，故的最大值是点评：本题考查三角恒等变换的运用及三角函数值域的求法，解题的关键是对所给的函数式进行化简，熟练掌握复合三角函数单调性的求法，本题考查了转化的思想，计算能力，属于中等难度的题24（2012陕西）函数（A0，0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值1457182专题：计算题分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出，得到函数的解析式（2）通过，求出，通过的范围，求出的值解答：解：（1）函数f（x）的最大值为3，A+1=3，即A=2，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，T=，所以=2故函数的解析式为y=2sin（2x）+1（2），所以，点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力25（2012湖南）已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，0，0）的部分图象如图所示（）求函数f（x）的解析式；（）求函数g（x）=f（x）f（x+）的单调递增区间考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性1457182专题：计算题分析：（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得的值，再将点（，0）和（0，1）代入解析式，分别解得和A的值，最后写出函数解析式即可；（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（x+）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间解答：解：（I）由图象可知，周期T=2（）=，=2点（，0）在函数图象上，Asin（2+）=0sin（+）=0，+=+2k，即=2k+，kz0=点（0，1）在函数图象上，Asin=1，A=2函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）（II）g（x）=2sin2（x）+2sin2（x+）+=2sin2x2sin（2x+）=2sin2x2（sin2x+cos2x）=sin2xcos2x=2sin（2x）由+2k2x+2k，kz得kxk+函数g（x）=f（x）f（x+）的单调递增区间为k，k+kz点评：本题主要考查了y=Asin（x+）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题26（2010四川）（）证明两角和的余弦公式C+：cos（+）=coscossinsin；由C+推导两角和的正弦公式S+：sin（+）=sincos+cossin（）已知，求cos（+）考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数1457182专题：计算题分析