广东省高考数学 5.4数列求和配套课件 理 新人教A版.ppt

第四节数列求和 三年25考高考指数 1 熟练掌握等差 等比数列的前n项和公式 2 掌握非等差 等比数列求和的几种常见方法 1 高考考查的重点是等差 等比数列的求和公式 错位相减法求和 及裂项相消法求和 2 数列求和常与函数 方程 不等式等诸多知识联系在一起 以复杂多变 综合性强 解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题 1 公式法与分组求和法 1 公式法直接利用等差数列 等比数列的前n项和公式求和 等差数列的前n项和公式 sn 等比数列的前n项和公式 2 分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组求和法 分别求和而后相加减 即时应用 1 2 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和sn 解析 1 2 sn 2 22 23 2n 1 3 5 2n 1 答案 1 2 2n 1 n2 2 2 倒序相加法与并项求和法 1 倒序相加法如果一个数列 an 的前n项中首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一个常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如等差数列的前n项和即是用此法推导的 2 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 即时应用 1 函数y f x 的图象关于点对称 则f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 2 若sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则s17 s33 s50等于 解析 1 由题意知f 1 x f x 2 设s f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 则s f 6 f 5 f 0 f 4 f 5 2s 12 2 s 12 2 当n是奇数时 sn 1 2 3 4 n 2 n 1 n当n是偶数时 sn 1 2 3 4 n 1 n sn s17 9 s33 17 s50 25 s17 s33 s50 1 答案 1 12 2 1 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 即时应用 1 数列 的前n项和为 2 已知数列 an 的通项公式是an 若sn 10 则n 解析 1 sn 2 an sn 由sn 10 即得n 120 答案 1 2 120 4 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 如等比数列的前n项和就是用此法推导的 即时应用 1 已知数列 an 的前n项和为sn 且an n 2n 则sn 2 已知sn 则sn 解析 1 sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 2n 1 n 2n 1 2 sn n 1 2n 1 2 2 答案 1 n 1 2n 1 2 分组转化求和 方法点睛 1 分组转化求和的通法数列求和应从通项入手 若无通项 则先求通项 然后通过对通项变形 转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和 2 常见类型及方法 1 an kn b 利用等差数列前n项和公式直接求解 2 an a qn 1 利用等比数列前n项和公式直接求解 3 an bn cn或an 数列 bn cn 是等比数列或等差数列 采用分组求和法求 an 的前n项和 例1 1 已知数列 则其前n项和sn 2 已知an 求数列 an 的前10项和s10 求数列 an 的前2k项和s2k 解题指南 1 先求数列的通项公式 再根据通项公式分组求和 2 把奇数项和偶数项分开求和 规范解答 1 sn 答案 2 s10 6 16 26 36 46 2 22 23 24 25 192 由题意知 数列 an 的前2k项中 k个奇数项组成首项为6 公差为10的等差数列 k个偶数项组成首项为2 公比为2的等比数列 s2k 6 16 10k 4 2 22 2k 互动探究 若本例 1 中数列改为 3 33 333 试求其前n项和sn 解析 数列3 33 333 的通项公式an sn 反思 感悟 解答本例 2 时应注意 其奇数项组成的等差数列和偶数项组成的等比数列的通项公式并不是题目中所给的解析式 可写出前几项寻找规律或将n 2k 1 n 2k代入求解 变式备选 求和 sn 解析 1 当x 1时 sn 4n 2 当x 1时 sn sn 裂项相消法求和 方法点睛 1 应用裂项相消法应注意的问题使用裂项相消法求和时 要注意正负项相消时 消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 2 常见的拆项公式 例2 2012 大连模拟 已知数列 an 各项均为正数 其前n项和为sn 且满足4sn an 1 2 1 求 an 的通项公式 2 设bn 数列 bn 的前n项和为tn 求tn的最小值 解题指南 1 利用sn 1 sn an 1寻找an 1与an的关系 2 先用裂项法求tn 再根据数列 tn 的单调性求最小值 规范解答 1 因为 an 1 2 4sn 所以sn sn 1 所以sn 1 sn an 1 即4an 1 an 12 an2 2an 1 2an 2 an 1 an an 1 an an 1 an 因为an 1 an 0 所以an 1 an 2 即 an 为公差等于2的等差数列 由 a1 1 2 4a1 解得a1 1 所以an 2n 1 2 由 1 知bn tn b1 b2 bn tn 1 tn 数列 tn 为递增数列 tn的最小值为t1 反思 感悟 1 在对bn进行裂项时 易犯的错误 可通过通分验证 2 在用裂项相消法求和时 消项后并不一定只剩下第一项和最后一项 也可能剩下前几项和后几项 变式训练 等差数列 an 的各项均为正数 a1 3 前n项和为sn bn 为等比数列 b1 1 且b2s2 64 b3s3 960 1 求an与bn 2 求的值 解析 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则d为正数 an 3 n 1 d bn qn 1 依题意有解得故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 由 1 知sn 3 5 2n 1 n n 2 所以 错位相减法求和 方法点睛 应用错位相减法应注意的问题 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 提醒 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 例3 数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 1 2sn n n 1 求数列 an 的通项公式an 2 求数列 nan 的前n项和tn 解题指南 1 根据an与sn的关系求an 2 用错位相减法求tn 规范解答 1 由an 1 2sn得an 2sn 1 n 2 an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 数列 an 从第2项起是公比为3的等比数列 又a2 2s1 2 an 2 tn a1 2a2 3a3 nan 当n 1时 t1 1 当n 2时 tn 1 4 30 6 31 2n 3n 2 3tn 3 4 31 6 32 2n 3n 1 得 2tn 2 4 2 31 32 3n 2 2n 3n 1 1 1 2n 3n 1 tn 又 t1 a1 1也满足上式 tn 反思 感悟 解答本题 1 时 易把an错写成an 解答本题 2 求tn时 易盲目利用错位相减法直接求和 忽视了讨论n 1的情形 变式训练 2011 辽宁高考 已知等差数列 an 满足a2 0 a6 a8 10 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列的前n项和 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 解得故数列 an 的通项公式为an 2 n 2 设数列的前n项和为sn 即sn 故s1 1 所以 当n 1时 所以又 s1 a1 1也满足上式 sn 变式备选 已知单调递增的等比数列 an 满足 a2 a3 a4 28 且a3 2是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn 求使sn n 2n 1 50成立的正整数n的最小值 解析 1 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 依题意 有2 a3 2 a2 a4 代入a2 a3 a4 28 得a3 8 a2 a4 20 解得或又数列 an 单调递增 q 2 a1 2 an 2n 2 bn sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 得sn 2 22 23 2n n 2n 1又sn n 2n 1 50 即2n 1 2 50 2n 1 52 又当n 4时 2n 1 25 32 52 当n 5时 2n 1 26 64 52 故使sn n 2n 1 50成立的正整数n的最小值为5 创新探究 耳目一新的数列求和 典例 2011 安徽高考 在数1和100之间插入n个实数 使得这n 2个数构成递增的等比数列 将这n 2个数的乘积记作tn 再令an lgtn n 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn tanan tanan 1 求数列 bn 的前n项和sn 解题指南 1 用 倒序相乘法 求tn 再求an 2 根据两角差的正切公式表示出tanan tanan 1 然后求sn 规范解答 1 设t1 t2 tn 2构成等比数列 其中t1 1 tn 2 100 则tn t1 t2 tn 1 tn 2 tn tn 2 tn 1 t2 t1 并利用titn 3 i t1tn 2 102 1 i n 2 得tn2 t1tn 2 t2tn 1 tn 1t2 tn 2t1 102 n 2 an lgtn n 2 n 1 n n 2 由题意和 1 中计算结果 知bn tan n 2 tan n 3 n 1 另一方面 利用tan1 tan k 1 k 得tan k 1 tank 所以sn 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 安徽高考 若数列 an 的通项公式是an 1 n 3n 2 则a1 a2 a10 a 15 b 12 c 12 d 15 解析 选a a1 a2 a3 a4 a9 a10 3 故a1 a2 a10 15 2 2012 梅州模拟 若数列 an 满足a1 1 且则a1a2 a2a3 a2010a2011 解析 由题意知 数列是首项为1 公差为1的等差数列 a1a2 a2a3 a2010a2011答案 3 2012 茂名模拟 把公差d 2的等差数列 an 的各项依次插入等比数列 bn 中 将 bn 按原顺序分成1项 2项 4项 2n 1项的各组 得到数列 cn b1 a1 b2 b3 a2 b4 b5 b6 b7 a3 数列 cn 的前n项和为sn 若c1 1 c2 2 s3 则数列 cn 的前100项之和s100 解析 由已知得b1 1 a1 2 b2 令tn 1 2 22 2n 1 2n 1 则t6 63 t7 127 数列 cn 的前100项中含有数列 an 的前6项 含有数列 bn 的前94项 故s100 b1 b2 b94 a1 a2