2010年高考北京卷文科数学试题及答案.doc

2010年高考北京卷文科数学试题及答案本试卷分第卷和第卷两部分。第卷1至2页、第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。第卷（选择题 共140分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 集合，则= (A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)1,2,3 (D)0,1,2,3在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 （A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则ba的概率是 （A） (B) （C） (D)若a,b是非零向量，且，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为： (6)给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）； （B）（C） （D）（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关； （C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；第卷（共110分）源头学子 特级教师王新敞 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）已知函数右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，处应填写 ；处应填写 。（10）在中。若，则a= 。（11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式3表示的平面区域内，则m= 。（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a= 。若要从身高在120，130，130，140，140，150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140，150内的学生中选取的人数应为 。（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。源头学子 特级教师王新敞 （14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。三、 解答：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数（）求的值；（）求的最大值和最小值（16）（本小题共13分）已知为等差数列，且，。（）求的通项公式；（）若等差数列满足，求的前n项和公式源头学子 特级教师王新敞 （17）（本小题共13分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=,CE=EF=1（）求证：AF/平面BDE；（）求证：CF平面BDF; (18) （本小题共14分） 设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。（19）（本小题共14分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。（20）（本小题共13分）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）当n=5时，设，求，；（）证明：，且;() 证明：三个数中至少有一个是偶数源头学子 特级教师王新敞 2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）第卷（选择题 共140分） B C D A C B A C 集合，则= (A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)1,2,3 (D)0,1,2,3答案B【命题意图】本题考查集合的交集运用，在求解中要注意集合元素的特性【试题解析】集合,集合所以=0,1,2在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 （A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i答案C【命题意图】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式.求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化.【试题解析】两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5),B(-2,3)，则其中点的坐标为C(2,4)，故其对应的复数为2+4i.从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b，则ba的概率是 （A） (B) （C） (D)答案D【命题意图】本题考查离散型随机变量的概率问题，在求解此类问题要求能够准备的确定基本事件空间的基本事件个数和所求事件所含的基本事件个数【试题解析】分别从两个集合中各取一个数，共有15中取法，其中满足ba的有3种，所求事件的概率为若a,b是非零向量，且，则函数是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数答案A【命题意图】本题考查学生对平面向量的数量积运算和函数的奇偶性，在求解中要明确及有关向量模的运算【试题解析】，则有，同时有，则函数为一次函数且为奇函数。（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：答案C【命题意图】本题考查了几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义【试题解析】由正（主）视图可知去掉的长方体在正对视线的方向，从侧（左）视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C(6)给定函数，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （C） （D）答案B【命题意图】本题考查了函数的单调性，要注意各类函数中决定单调性的元素所满足的条件【试题解析】是幕函数，其在（）第一象限内为增函数，故此项不符合要求，中的函数是由函数向左平移一个单位而得到的，因原函数在（）内为减函数，故此项也不符合要求，中的函数图像是由函数y=x-1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该图象符合要求，中的函数为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，所以选项B正确（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）； （B）（C） （D）答案A【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.【试题解析】四个等腰三角形的面积之和为在由余弦定理可得正方形的边长为，故正方形的面积为所求八边形的面积为另法：（极限趋近法）当顶角或时，八边形的班徽几乎是边长为2的正方形，面积接近与4。四个选项中，只有A符合，故选A.（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；答案C【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征和棱锥的体积问题，同时也考查了学生的分析问题的能力以及空间想象能力【试题解析】三棱锥P-EFQ的体积与点P到面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图可知，平面EFQ与平面是同一平面，故点P到面EFQ的距离既是点P到面的距离，且该距离既是点P到线段的距离，次距离与X有关，因EF的长度是1,点Q到EF的距离是线段的长度，该值为定值，综上所述，可以得知所求三棱锥的体积只与X有关，与Y无关。填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 1 -3 0.030 3 () 4 （9）已知函数右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，处应填写 ；处应填写 。答案 【命题意图】本题考查了程序框图的基本知识和分段函数求值问题，同时也考查了识图能力。【试题解析】由框架图可知只要满足中的条件则对应的函数解析式为y=2-x,所以此处应当是X2，则应当是（10）在中。若，则a= 。答案1【命题意图】本题考查了应用正弦定理求解三角形的问题【试题解析】在中由正弦定理得，解得，因为bc，角B为锐角，所以则，再由正弦定理可得a=1（11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式3表示的平面区域内，则m= 。答案-3【命题意图】本题考查点到线的距离问题和二元一次不等式表示的平面区域问题，和应用方程的思想进行解题的能力。【试题解析】由题意可得，解得m=-3（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a= 。若要从身高在120，130，130，140，140，150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140，150内的学生中选取的人数应为 。答案 0.03 3【命题意图】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体频率都是相等的，都等于样本容量/总体个数【试题解析】因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有解得a=0.03，由直方图可知三个区域内的学生总数为人，其中身高在140,150内的学生人数为10人，所以在身高在140,150范围内抽取的学生人数为人.（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。答案 () 【命题意图】本题考查了圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时对对曲线、椭圆的相应知识也进行了综合考查，考查了两类曲线中的元素之间的不同关系【试题解析】椭圆的焦点坐标为()，故双曲线中的c=4,且满足，得a=2，,所以双曲线的渐近线方程为（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。答案 4 【命题意图】本题是一道信息题，试题形式新颖，考查学生的分析问题能力，阅读能力，推理能力和应用知识解决问题的能力【试题解析】由题中信息可知无论正方形是沿X轴的正方形还是负方向滚动，再次使点P与x轴方向的路程是4，故其最小正周期为4，在正方形的翻滚过程中，函数y=f(x)的两个相邻点间点P的轨迹如图所示，故其与x轴所围成的图形面积为-2010年高考数学解析（北京文）题号12345678答案BCDACBAC1B 解析：本题考查了不等式的求解与集合的运算。由于P=xZ|0x3，M=xZ|x29=xZ|3x3，则PM=xZ|0xa的基本事件为：（3，1），（3，2），（2，1），共3种，则对应的概率为P=；4A 解析：本题考查了平面向量的垂直关系、数量积，以及函数的解析式与性质判断等。由于ab，则f（x）=（xa+b）（xba）=x（a2b2），而|a|b|，则a2b20，故函数f（x）是一次函数，且为奇函数；5C 解析：本题考查了简单几何体的三视图的识别与判断等。根据三视图的特征与规律，可以判断该长方体是去掉左上角靠近前面的一个小长方体，则该几何体的俯视图为选项C；6B 解析：本题考查了基本初等函数的基本性质以及对应的函数图象等。作出相应基本初等函数的草图，可以判断在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是；7A 解析：本题考查了识图能力，余弦定理的应用，面积公式的应用等。由余弦定理可知正方形的边长a=，那么该八边形的面积为S=a2+411sin=22cos+2sin；8C 解析：本题考查了空间几何体的推理与分析能力，体积的运算以及空间想象能力等。对于三棱锥PEFQ的底面EFQ来说，EF=1，EF边上的高即为B1C=2，其底面积是固定的，则三棱锥PEFQ的体积与y无关；而对于P的不同位置，三棱锥PEFQ的高不断改变，故三棱锥PEFQ的体积与x有关；9x2，y=log2x 解析：本题考查了分段函数，算法程序框图的识别与应用等。由于处判断后“是”的情况下执行y=2x，那么处应填写：x2；处判断后“否”的情况下执行y=log2x，即处应填写：y=log2x；101 解析：本题考查了解三角形中的余弦定理问题，解方程等。利用余弦定理知c2=a2+b22abcosC，代入相应的数值有3=a2+1+a，即a2+a2=0，解得a=1（负值舍去）；113 解析：本题考查了点到直线的距离公式，解含有绝对值的方程、不等式所表示的平面区域及分类讨论思想等。由于点P（m，3）到直线4x3y+1=0的距离为4，则d=4，即|m2|=5，解得m=7或m=3，经检验点P（3，3）在不等式2x+y3表示的平面区域内，点P（7，3）不在不等式2x+y0,所以“在（-，+）内无极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（*）式得。又解 得即的取值范围【命题意图】本题考查简单函数的求导计算求值问题和应用导数求解函数极值问题，在考查中又融入了对二次方程解法的考查，在对应用导数法求解函数极值问题的考查中主要以其逆向应用求参数为考查的重点，从而使问题增加了一定的难度。【试题点评】高考中的函数问题每年都会考查有关导数的应用问题，关于导数的应用在平时的学习中要能够掌握应用导数方法求解函数的单调性、极值、最值等问题的常规方法，且能够求解有关以上各个应用的逆向求解参数问题（19）（本小题共14分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P。（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。解：（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（）由题意知由 得，所以圆P的半径为解得 ， 所以点P的坐标是（0，）（）由（）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以设，则当，即，且，取最大值2.【命题意图】本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题.问题的设置由浅入深，符合学生的思维能力的生成过程，问题的设置也兼顾考查了应用代数的思想解决几何问题的能力.【试题点评】圆锥曲线问题是每年的必考题型，其试题的难度会有所增加，但是其试题一般都是有梯度的，且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高.求解此类问题往往要应用到代数的方法和思想来求解，故此在平时的学习中要注意对圆锥曲线的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型的掌握和熟练.（20）（本小题共13分）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）当n=5时，设，求，；（）证明：，且;() 证明：三个数中至少有一个是偶数（）解：=（1,0,1,0,1） =3()证明：设 因为，所以从而由题意知当时，当时，所以()证明：设记由（）可知所以中