高考数学 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法课件 理 新人教A版.ppt

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法 1 数列的有关概念 顺序 每一个数 an f n a1 a2 an 2 数列的表示方法 1 表示方法 an n an 公式 2 数列的函数特征 上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法 数列可以看作是定义域为正整数集或它的有限子集 1 2 n 当自变量由小到大依次取值时所对应的一列 3 按照项数对数列分类 数列 数列 函数值 有穷 无穷 3 数列的性质 an 1 an an 1 an an 1 an 4 an与sn的关系若数列 an 的前n项和为sn 则an n 1 n 2 s1 sn sn 1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有数列的第n项都能使用公式表达 2 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 3 已知an 2 f an 1 an 时 如果要确定这个数列 则必须知道初始值a1 a2 4 如果数列 an 的前n项和为sn 则对 n n 都有an 1 sn 1 sn 解析 1 错误 不是所有的数列的第n项都能使用公式表达 2 正确 根据数列的前几项归纳出的数列通项公式可以有多个 3 错误 如已知an 2 an 1 2an 则只要知道任意连续两项都可以确定这个数列 4 正确 根据数列的前n项和的定义可知 答案 1 2 3 4 1 已知数列 根据前三项给出的规律 则实数对 a b 可能是 a 19 3 b 19 3 c d 解析 选c 由a b 8 a b 11解得a b 2 已知数列 an 的通项公式为an log2 n2 7 则5是该数列的 a 第3项 b 第4项 c 第5项 d 第6项 解析 选c 令log2 n2 7 5 则n2 7 25 32 n2 25 由n n 得n 5 3 数列 an 中 a1 1 对所有的n n 都有a1a2a3 an n2 则a3 a5 a b c d 解析 选d 当n 2时 可得a1a2a3 an 1 n 1 2 再由a1a2a3 an n2可得 an 将n 3和n 5代入 a3 a5 4 已知数列 an 的前n项和sn 2n 3 则数列 an 的通项公式是 解析 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 故数列 an 的通项公式是an 答案 an 5 已知数列 an sn为 an 的前n项和 且有sn 2an 1 则an 解析 当n 1时 a1 s1 2a1 1 a1 1 sn 2an 1 当n 2时 sn 1 2an 1 1 sn sn 1 2an 2an 1 an 2an 2an 1 an 2an 1 2 an 是首项为1 公比为2的等比数列 可得an 2n 1 n n 答案 2n 1 n n 考向1由数列的前几项归纳数列的通项公式 典例1 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 思路点拨 1 正负相间可以使用 1 n进行控制 只要再找出数列1 7 13 19 的项的规律即可 2 小数点后数字的位数可以使用控制 只要找出数列8 88 888 的组成规律即可 3 分别找出分子分母的组成规律 4 根据三角函数值的特点求解 规范解答 1 符号可通过 1 n表示 后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 2 数列变为 1 0 1 1 0 01 1 0 001 an 3 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母少3 因此把第1项变为 原数列化为 an 1 n 4 由题知0 1 0 1四个数呈周期性出现 与正弦三角函数值规律相同 所以通项公式为an sin 拓展提升 部分特殊数列的通项公式 1 a aa aaa aaaa 其中1 a 9 a n 方法一 aa a 99 9 10n 1 方法二 aa a a 10n 1 a 10n 2 a 10 a 根据等比数列的求和公式即得结果为 10n 1 n个a n个9 n个a 2 0 a 0 aa 0 aaa 0 aaaa 其中1 a 9 a n 解决方法同 1 实际上0 aa a n个a aa a 3 a b a b 其中a b 解决的方法是使用均值进行调整 a b 故a b a b 即 所以数列的通项为an 变式训练 根据数列的前几项 写出各数列的一个通项公式 1 3 5 7 9 2 3 1 解析 1 各项减去1后为正偶数 an 2n 1 2 每一项的分子比分母少1 而分母组成数列21 22 23 24 an 3 各项负正相间 故通项公式中含有因式 1 n 各项绝对值的分母组成数列 n 分子组成的数列中 奇数项为1 偶数项为3 即奇数项为2 1 偶数项为2 1 an 考向2sn与an的关系的应用 典例2 1 设数列 an 的前n项和sn n2 则a8的值为 a 15 b 16 c 49 d 64 2 2012 大纲版全国卷 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 sn 2an 1 则sn a 2n 1 b n 1 c n 1 d 思路点拨 1 直接根据a8 s8 s7求出即可 2 根据 n n 都有an 1 sn 1 sn 把sn 2an 1化为sn 1 sn之间的关系 求出数列 sn 的通项 规范解答 1 选a a8 s8 s7 64 49 15 2 选b 因为an 1 sn 1 sn 所以由sn 2an 1得 sn 2 sn 1 sn 整理得3sn 2sn 1 所以 所以数列 sn 是以s1 a1 1为首项 q 为公比的等比数列 所以sn n 1 故选b 互动探究 1 若例2题 1 中 结论改为求an 如何求解 2 若例2题 2 中 结论改为求an 如何求解 解析 1 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 n2 n 1 2 2n 1 n 1时适合这个公式 所以an 2n 1 2 根据原题的结果sn n 1 当n 1时 a1 1 当n 2时 an sn sn 1 n 1时不适合这个公式 所以an 拓展提升 已知sn求an时的三个注意点 1 重视分类讨论思想的应用 分n 1和n 2两种情况讨论 特别注意an sn sn 1中需n 2 2 由sn sn 1 an推得an 当n 1时 a1也适合 an式 则需统一 合写 3 由sn sn 1 an推得an 当n 1时 a1不适合 an式 则数列的通项公式应分段表示 分写 即an 变式备选 已知数列 an 的前n项和sn 分别求它们的通项公式an 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n 1 解析 1 由题可知 当n 1时 a1 s1 2 12 3 1 5 当n 2时 an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 1 当n 1时 4 1 1 5 a1 an 4n 1 2 当n 1时 a1 s1 3 1 4 当n 2时 an sn sn 1 3n 1 3n 1 1 2 3n 1 当n 1时 2 31 1 2 a1 an 考向3简单的递推数列 典例3 1 如果数列 an 满足a1 2 an 1 an 2n 则数列 an 的通项公式an 2 2013 广州模拟 在数列 an 中 an 1 an a1 4 则数列 an 的通项公式an 3 若数列 an 满足a1 3 an 1 3an 2 则数列 an 的通项公式an 思路点拨 1 即an 1 an 2n 采用叠加的方法 2 利用累乘法 3 采用两端凑常数的方法转化为等比数列 规范解答 1 由于an 1 an 2n 故a2 a1 2 1 a3 a2 2 2 an an 1 2 n 1 将这n 1个等式叠加得an a1 2 1 2 n 1 n n 1 故an n2 n 2 2 由递推关系an 1 an a1 4 有 于是有 3 将这 n 1 个式子累乘 得 所以当n 2时 an 2n n 1 当n 1时 a1 4符合上式 所以an 2n n 1 n n 3 设an 1 3 an 即an 1 3an 2 与已知an 1 3an 2比较 只要取 1 即可把an 1 3an 2化为an 1 1 3 an 1 即得到数列 an 1 是首项为a1 1 4 公比为3的等比数列 故an 1 4 3n 1 所以an 4 3n 1 1 答案 1 n2 n 2 2 2n n 1 3 4 3n 1 1 拓展提升 典型的递推数列 其中 1 an 1 pan q p 0 1 q 0 的求解方法是 设an 1 p an 即an 1 pan p 与an 1 pan q比较即可知只要 2 an 1 pan q pn 1 p 0 1 q 0 的求解方法是两端同时除以pn 1 即得 q 数列 为等差数列 变式训练 1 设数列 an 的前n项和为sn 已知2an 2n sn 则数列 an 的通项公式an 解析 令n 1得a1 2 由2an 2n sn得2an 1 2n 1 sn 1 相减整理得an 1 2an 2n 即 即数列 是首项为1 公差为的等差数列 故 1 n 1 故an n 1 2n 1 答案 n 1 2n 1 2 已知数列 an 中 a1 1 an 1 bn 则数列 bn 的通项公式bn 解析 由于an 1 2 2 2 即bn 1 4bn 2 bn 1 4 bn 又a1 1 故b1 1 所以 bn 是首项为 公比为4的等比数列 bn 4n 1 bn 4n 1 答案 4n 1 考向4数列的性质 典例4 1 对于数列 an an 1 an n 1 2 是 an 为递增数列 的 a 必要不充分条件 b 充分不必要条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 2 已知数列 an 满足a1 0 an 1 n n 则a20 a 0 b c d 思路点拨 1 根据充要条件的判断方法从正反两个方面进行判断 条件的不必要性可以通过反例得出 条件的充分性根据绝对值的性质和大于关系的传递性得出 2 计算数列的前面几项 发现规律 规范解答 1 选b 方法一 由an 1 an n 1 2 知 an 从第二项起均为正项 且a1 an n 1 2 如 2 1 0 1 2 方法二 an 1 an n 1 2 3 若a1 0 则an 0 n 1 2 3 此时an 1 an 数列 an 是递增数列 若a1an 数列 an 是递增数列 但是 数列 an 是递增数列 不能得到an 1 an 如 3 2 1 2 3 an 1 an n 1 2 是数列 an 为递增数列的充分不必要条件 2 选b a1 0 a2 a3 a4 0 这个数列是以3为周期的周期数列 故a20 a2 拓展提升 数列的性质的理解 1 数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的 区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义 而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可 如函数f x 2x2 5x的单调递增区间是 而通项公式是an 2n2 5n的数列 an 对任意的正整数都满足单调递增的定义 2 数列的周期性是指存在正整数k 常数 对任意正整数n an k an 在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值 探究其周期性 变式训练 已知数列 an 满足 a4n 3 1 a4n 1 0 a2n an n n 则a2009 a2014 解析 由已知得a2009 a4 503 3 1 a2014 a2 1007 a1007 a4 252 1 0 答案 10 创新体验 递推数列创新题 典例 2012 新课标全国卷 数列 an 满足an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前60项和为 a 3690 b 3660 c 1845 d 1830 思路点拨 规范解答 选d 当n 2k 1 k n 时 a2k a2k 1 2 2k 1 1 当n 2k k n 时可得a2k 1 a2k 2 2k 1 当n 2k 1 k n 时可得a2k 2 a2k 1 2 2k 1 1 得a2k 1 a2k 1 2 所以a1 a3 a59 a1 a3 a5 a7 a57 a59 2 15 30 得 a2k 2 a2k 8k 所以a2 a4 a60 a2 a4 a6 a8 a58 a60 8 1 3 29 8 225 1800 所以s60 30 1800 1830 思考点评 1 方法感悟 解题中分n为正奇数和正偶数 得出三组递推式 通过三组递推式之间的关系得出了数列的奇数项和与偶数项和的计算方法 把整体求和分解为部分求和 本题是近年来考查的一道难度较大的与递推数列有关的问题 成功解答该题需要有较高的逻辑思维能力以及灵活应用数学思想方法指导解题的能力 2 技巧提升 在含有 1 n类的数列问题中 分n为正奇数和正偶数 把问题转化为两类分别解决 然后再整合两类问题得出最后的结果 体现了分类与整合思想的应用 这是解决该类试题的一个基本思想方法 1 2013 广州模拟 数列 an 中 an 1 3an 2 n n 且a10 8 则a4 a b c d 解析 选a 由an 1 3an 2 得an 1 1 3 an 1 即数列 an 1 是公比为3的等比数列 所以a10 1 a4 1 310 4 所以a4 1 所以a4 2 2013 梅州模拟 已知数列 an 对任意的p q n 满足ap q ap aq 且a2 6 那么a10等于 a 165 b 33 c 30 d 21 解析 选c 由已知可得a4 a2 a2 12 a8 a4 a4 24 a10 a8 a2 30 3 2012 福建高考 数列 an 的通项公式an ncos 其前n项和为sn 则s2012等于 a 1006 b 2012 c 503 d 0 解析 选a 因为函数y cosx的周期t 4 a4k 3 a4k 2