高中数学 第三章 导数应用 3.2 导数在实际问题中的应用 实际问题中导数的意义学案 北师大版选修22.doc

第二节 导数在实际问题中的应用3.2.1实际问题中导数的意义 学习目标1理解用函数思想解决优化问题的基本思路；2能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。 学法指导 通过实际问题的应用举例，逐步掌握运用函数思想解决优化问题的建模过程：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的结果。 知识点归纳 1生活中经常遇到求 等问题，这些问题通常成为优化问题；2 利用导数解决优化问题的实质是 ；3 解决优化问题的步骤是（1） ；（2） ；（3） 。 重难点剖析重点：掌握优化问题的建模过程；难点：将实际问题转化为数学中的函数问题，并根据实际意义正确确定函数的定义域；剖析：1生活和生产实践中优化问题的常见类型：费用、用料最省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题等。2 在运用函数解决实际问题的过程中，要注意恰当地选择自变量，从而简化函数的解析式，简化问题解决的过程；3在解决实际问题时，不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系，而且要根据实际意义正确确定函数的定义域；4在实际问题中，有时会遇到在定义域内只有一点满足的情形，这时我们仍要确定它是极大值还是极小值，不应认为它就一定是解。 典例分析 例1 某机车拖运货物时对货物所做的功w（单位：j）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为：。(1) 求t从1s变到3s 时，功w关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2) 求在t=1s 和t=3s时,该机车每秒做的功。分析：在处的导数为机车在时，每秒所做的功即功率。变式练习1一辆加速行使的汽车，其速度关于时间的函数表达式为求，并解释它的实际意义。例2 用长为90cm ，宽为48cm的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析：考察函数的概念，运用导数求最值的方法。根据题目的条件，写出相应关系式，是解决此问题的关键。变式练习用总长14.8m的一钢条做成一个长方体容器的框架，如果做成容器的底面的一边比另一边长0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大，求出它的最大容积. 基础训练 1若函数，则（ ）a最大值为4，最小值为4； b最大值为4，无最小值；c最小值为4，无最大值； d既无最大值，也无最小值；2边长为10的线段ab为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ）a. 10 b. 15 c. 25 d. 503已知二次函数的导数为，对于任意实数，有，则的最小值为（）a .3 b. 2.5 c .2 d .1.54设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 。5某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成总面积为8m2，问分别为多少时用料最省？（精确到0.001cm） 能力提高 1在半径为r的半圆内做一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦（如图），当梯形面积最大时，求梯形上底边的长。2甲方是一农场，乙方是一工厂。由于乙方生产需要占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔经济损失，并获得一定净收入。在乙方不赔付甲方的情况下，乙方每年利润x元与年产量t吨满足函数关系。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元。(1)将乙方的年利润w 表示为年产量t 的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额为，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付的价格s是多少？ 学后反思 参考答案：例1：解：（1）t从1s变到3s 时，功w关于时间t 的平均变化率为：，其实际意义是：t从1s变到3s时间内机车对货物所做的功的平均值，即平均功率。（2）根据导数的意义，在t=1s 和t=3s时，机车对货物每秒所做的功即瞬时功率分别为和，所以：，。变式练习1：答案：，实际意义是：t=1s时的瞬时加速度。例2：解：设截去的小正方形的边长为，则此容器的长、宽、高分别为：（单位：）。容积为：即： 令得：（舍）或又当时，；当时，时，故：该容器的高为时，容积最大，最大容积为变式练习2：解：设高为，则底面两边长分别为：和。所以，容积所以，令得（舍）或当单调增；当单调减。所以，当时，取得最大值。基础训练：1、b； 2、c； 3、c； 4、4； 5、当，用料最省。能力提高：1、解：如图，设（） （为圆心），则梯形的高为：，上底为所以，梯形的面积：，令得：当时，单调增；当时，单调减。所以，当时，取得最大值：。2、解：（1）乙方