高考数学 第二章 第十节 导数在研究函数中的应用课件 理 苏教版.ppt

第十节导数在研究函数中的应用 1 函数的单调性与导数正负的关系 在区间 a b 内f x 大于零 等于零 小于零 f x 在 a b 内是 f x 在 a b 内是 f x 在 a b 内是 增函数 常量函数 减函数 2 函数的极值 减 增 增 f x 0 减 3 判别f x0 是极大 小 值的方法若x0满足f x0 0 且在x0的两侧f x 的导数 则x0是f x 的极值点 如果在x0附近的左侧 右侧 即 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 即 那么f x0 是极小值 异号 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 左 负右正 左 正右负 4 求函数在 a b 上最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各 与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 即得出函数f x 在 a b 上的最值 极值 极值 端点处的函数值f a f b 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x 0是f x 为增函数的充要条件 2 函数在某区间上或定义域内的极值是惟一的 3 函数的极大值不一定比极小值大 4 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 解析 1 错误 f x 0能推出f x 为增函数 反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 所以f x 0是f x 为增函数的充分条件 但不是必要条件 2 错误 一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 3 正确 一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 极大值可能比极小值大 也可能比极小值小 4 错误 对可导函数f x f x0 0只是x0点为极值点的必要条件 如y x3在x 0时f 0 0 而函数在r上为增函数 所以0不是极值点 5 正确 当函数在区间端点处取得最值时 这时的最值不是极值 答案 1 2 3 4 5 1 函数f x lnx ax a 0 的单调增区间为 解析 由f x 得 f x 的单调增区间为答案 2 已知f x ax3 bx2 cx a 0 有极大值5 其导函数y f x 的图象如图所示 则f x 的解析式为 解析 f x 3ax2 2bx c 由题意得 解得答案 f x 2x3 9x2 12x 3 设当x 1 2 时 f x m恒成立 则实数m的取值范围是 解析 f x 3x2 x 2 令f x 0得 x 1或f 1 f x min 答案 4 已知f x x3 ax在 1 上是增函数 则a的最大值是 解析 f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 而 3x2 min 3 12 3 a 3 故amax 3 答案 3 5 已知恒成立 则a的最大值为 解析 设则当x 时 f x 0 故函数f x 在 1 2 上单调递增 f x min f 1 0 a 0 即a的最大值为0 答案 0 6 已知y f x 是定义在r上的函数 且f 1 1 f x 1 则f x x的解集是 解析 令f x f x x 则f x f x 1 0 所以f x 是增函数 故易得f x f 1 的解集 即f x x的解集是 1 答案 1 考向1利用导数研究函数的单调性 典例1 1 2012 辽宁高考改编 函数的单调减区间为 2 2012 北京高考改编 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公切线 求a b的值 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 思路点拨 1 保证函数有意义的前提下 利用y 0解得单调减区间 2 利用交点既在f x 上 又在g x 上 且在公切点处导数相等 构造方程组求解 构造函数f x f x g x 再利用导数求单调区间 规范解答 1 由 1 x 1 且x 0 又函数的定义域为 0 故单调减区间为 0 1 答案 0 1 2 f x 2ax g x 3x2 b 由已知可得解得a b 3 令f x f x g x 令f x 0 得 a 0 x10得 由f x 0得 单调增区间是单调减区间为 互动探究 在本例题 2 中 若条件不变 讨论函数f x g x 当a 0时 在区间 1 上的单调性 解析 由本例解析知 当a 0时 函数的单调增区间是单调减区间为当即0 a 2时 f x g x 在 1 上为增函数 当即2 a 6时 f x g x 在上为增函数 在上为减函数 当即a 6时 f x g x 在上为增函数 在上为减函数 在上为增函数 综上 当0 a 2时 f x g x 在 1 上为增函数 当2 a 6时 f x g x 在上为增函数 在上为减函数 当a 6时 f x g x 在上为增函数 在上为减函数 在上为增函数 拓展提升 求函数的单调区间的 两个 方法 1 方法一 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调增区间 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调减区间 2 方法二 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 变式备选 1 函数y xlnx的单调减区间是 解析 令y 0 解得又x 0 y xlnx的单调减区间是答案 2 已知函数且f 1 0 试用含a的代数式表示b 求f x 的单调区间 解析 依题意 得f x x2 2ax b 由f 1 1 2a b 0得b 2a 1 由 得故f x x2 2ax 2a 1 x 1 x 2a 1 令f x 0 则x 1或x 1 2a i 当a 1时 1 2a 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 由此得 函数f x 的单调增区间为 1 2a 和 1 单调减区间为 1 2a 1 ii 由a 1时 1 2a 1 此时 f x 0恒成立 且仅在x 1处f x 0 故函数f x 的单调增区间为r iii 当a 1时 1 2a 1 同理可得函数f x 的单调增区间为 1 和 1 2a 单调减区间为 1 1 2a 综上 当a 1时 函数f x 的单调增区间为 1 2a 和 1 单调减区间为 1 2a 1 当a 1时 函数f x 的单调增区间为r 当a 1时 函数f x 的单调增区间为 1 和 1 2a 单调减区间为 1 1 2a 考向2已知函数的单调性求参数的范围 典例2 1 若函数y a x3 x 的单调减区间为则a的取值范围是 2 若函数f x x3 ax2 1在 1 2 上单调递减 求实数a的取值范围 思路点拨 1 由y 0的解集确定a的取值范围 2 解答本题可先求出导函数 再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解 规范解答 1 y 当时 因为函数y a x3 x 在上单调递减 所以y 0 即a 0 经检验a 0不合题意 a 0 答案 a 0 2 f x 3x2 2ax x 3x 2a 方法一 当a 0时 f x 0 故y f x 在 上单调递增 与y f x 在 1 2 上单调递减不符 舍去 当a 0时 由f x 0得即f x 的单调递减区间为与f x 在 1 2 上单调递减不符 舍去 当a 0时 由f x 0得即f x 的减区间为由f x 在 1 2 上单调递减得得a 3 综上可知 a的取值范围是 3 方法二 由f x 在 1 2 上单调递减知f x 0 即3x2 2ax 0在 1 2 上恒成立 即在 1 2 上恒成立 故只需a 又在 1 2 上最大值为3 故a 3 综上可知 a的取值范围是 3 互动探究 在本例题 2 中 若将 在 1 2 上单调递减 变为 在 1 2 上存在单调递减区间 其他条件不变 试解答本题 解析 方法一 函数f x x3 ax2 1在 1 2 上存在单调递减区间 即区间 1 2 与单调递减区间存在交集 由本例解析知 只有当a 0时 f x 的单调递减区间与区间 1 2 可以存在交集 此时应满足即故所求a的取值范围是 方法二 由f x 在 1 2 上存在单调递减区间 知f x 0即3x2 2ax 0在 1 2 内有解 即在 1 2 上有解 故只需又在 1 2 上最小值为故综上可知 a的取值范围是 拓展提升 已知函数y f x 在 a b 上的单调性 求参数范围的方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 来求解 提醒 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 0 应注意此时公式中的等号不能省略 否则漏解 变式备选 已知a r 函数f x x2 ax ex x r e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 函数f x 是否为r上的减函数 若是 求出a的取值范围 若不是 请说明理由 解析 1 当a 2时 f x x2 2x ex f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 ex 0 x2 2 0 解得 函数f x 的单调递增区间是 2 f x 不是r上的减函数 若函数f x 在r上单调递减 则f x 0对x r都成立 即 x2 a 2 x a ex 0对x r都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0对x r都成立 a 2 2 4a 0 即a2 4 0 这是不可能的 故函数f x 不是r上的减函数 考向3利用导数研究函数的极值 最值 典例3 1 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值为 2 2013 南通模拟 已知函数f x x3 ax2 3ax 1在区间 2 2 内既有极大值也有极小值 则实数a的取值范围是 3 2012 江苏高考改编 已知a b是实数 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 求a和b的值 设函数g x 的导函数g x f x 2 求g x 的极值点 思路点拨 1 先由最大值求出m的值 再据此求出最小值 2 求出f x 转化为f x 0在 2 2 上有两根求解 3 求出f x 的导数 根据1和 1是函数f x 的两个极值点 利用根与系数的关系即可求解 由 得 f x x3 3x 求出g x 令g x 0 求解讨论即可 规范解答 1 由f x 6x2 12x 0得 x 0或x 2 由f x 0得0 x 2 f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 f x max f 0 m 3 又f 2 37 f 2 5 f x min 37 答案 37 2 f x 3x2 2ax 3a 则3x2 2ax 3a 0在 2 2 内有两个不等实根 则解得答案 3 由f x x3 ax2 bx得f x 3x2 2ax b 又因1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 所以3x2 2ax b 0的两个根分别为1和 1 由根与系数的关系得1 1 a 0 1 1 b 3 所以a 0 b 3 此时f x x3 3x 由 得 f x x3 3x g x f x 2 x3 3x 2 x 1 2 x 2 令g x 0 解得x1 x2 1 x3 2 当x 2时 g x 0 当 2 x 1时 g x 0 x 2是g x 的极值点 当 2 x 1或x 1时 g x 0 x 1不是g x 的极值点 g x 的极值点是 2 拓展提升 最值 与 极值 的区别 1 最值 是整体概念 是比较整个定义域内的函数值得出的 具有绝对性 而 极值 是个局部概念 是比较极值点附近函数值得出的 具有相对性 2 从个数上看 一个函数在其定义域上的最值是惟一的 而极值不惟一 3 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值可能不止一个 也可能一个没有 4 极值只能在定义域内部取得 而最值可以在区间的端点处取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 变式训练 设函数f x 在区间 1 1 上的最大值为1 最小值为求函数的解析式 解析 f x 3x2 3ax 令f x 0 得x 0或x a 又f 1 f 0 b f a f 1 显然f 1 f 1 f a f 0 因为f 0 f 1 所以f x 在 1 1 上的最大值为f 0 b 所以b 1 又f 1 f a 所以f x 的最小值为f 1 所以所以故所求函数的解析式是f x 满分指导 解答导数与函数的综合题 典例 14分 2012 江西高考 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范围 2 设g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 思路点拨 1 利用f 0 1 f 1 0将f x 用含a的代数式表示出来 然后利用f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减 得f x 0在x 0 1 上恒成立且f x 0不恒成立 然后通过分类讨论求得a的取值范围 2 化简g x f x f x 通过对g x 求导 然后分类讨论求最值 规范解答 1 由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 2分依题意对于任意x 0 1 有f x 0 当a 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而 f 0 a 0 所以需f 1 a 1 e 0 即0 a 1 3分 当a 1时 对于任意x 0 1 有f x x2 1 ex 0 且只在x 1时f x 0 f x 符合条件 当a 0时 对于任意x 0 1 f x xex 0 且只在x 0时 f x 0 f x 符合条件 当a0 f x 不符合条件 故a的取值范围为0 a 1 6分 2 因g x 2ax 1 a ex g x 2ax 1 a ex 当a 0时 g x ex 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 在x 1处取得最大值g 1 e 7分 当a 1时 对于任意x 0 1 有g x 2xex 0 g x 在x 0处取得最大值g 0 2 在x 1取得最小值g 1 0 8分 当0 a 1时 由g x 0得若即时 g x 在 0 1 上单调递增 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 a 在x 1处取得最大值g 1 1 a e 10分若即时 g x 在处取得最大值在x 0或x 1处取得最小值 而g 0 1 a g 1 1 a e 12分 由g 0 g 1 1 a 1 a e 1 e a 1 e 0 得则当时 g 0 g 1 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 a 当时 g 0 g 1 0 g x 在x 1处取得最小值g 1 1 a e 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 盐城模拟 函数f x 在定义域内可导 若f x f 2 x 且当x 1 时 x 1 f x 0 设a f 0 c f 3 则a b c的大小关系为 解析 f x f 2 x 函数f x 关于x 1对称 x 1时 x 1 f x 0 f x 0 f x 在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 f 3 f 0 c a b 答案 c a b 2 2013 淮安模拟 已知曲线y a 3 x2 lnx存在垂直于y轴的切线 函数f x x3 ax2 3x 1在 1 2 上单调递增 则a的取值范围是 解析 由题意a 3 0 a 3 又f x 3x2 2ax 3 当x 1 2 时 f x 0 a 0 答案 0 3 2013 徐州模拟 函数f x x3 ax2 3x 1在 1 2 上单调递增 则a的取值范围为 解析 f x 3x2 2ax 3 f x x3 ax2 3x 1在 1 2 上单调递增 f x 3x2 2ax 3 0在 1 2 上恒成立 在 1 2 上的最小值为0 a 0 综上a 0 答案 0 4