大学物理力学部分习题.ppt

1 大学物理习题课 力学部分2 2 运动的守恒定律 1 力的时间积累效应 1 冲量 2 动量定理 3 动量守恒定律 4 角动量 角动量定理以及角动量守恒定律 动量 1 功 2 力的空间积累效应 2 动能 质点的动能 质点系的动能 3 势能 1 保守力 2 保守力的判断 3 势能 重力势能 弹性势能 引力势能 4 5 机械能守恒定律及能量守恒机械能守恒定律 只有保守内力做功时 质点系的机械能保持不变 能量守恒定律 一个封闭系统经历任何变化时 该系统的所有能量的总和不改变 5 刚体的定轴转动 一 描述刚体定轴转动的物理量 转动惯量 角位移 角速度 角加速度 角量和线量的关系 角动量 转动动能 6 1 转动惯量平行轴定理 2 刚体定轴转动定理 二 基本定律 3 定轴转动刚体的动能定理 4 角动量守恒定律系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时 系统对此轴的总角动量保持不变 5 机械能守恒定律只有保守力做功时 7 三 题型以及例题 求特殊形状刚体的转动惯量刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用刚体定轴转动的动能定律 机械能守恒以及角动量守恒的应用 8 解 在球壳上取圆环 其中环dr Rd 质量为dm 2 Rsin dr 其中 m 4 R2 由薄圆环的转动惯量mr2 可得圆环的转动惯量为 所以 dJ dm Rsin 2 m 4 R2 2 Rsin dr Rsin 2 m 4 R2 2 Rsin Rd Rsin 2 例1求质量为m 半径为R的薄球壳的转动惯量 11 例2从一个半径为R的均匀薄圆板上挖去一个半径为R 2的圆板 所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心R 2处 所剩薄板的质量为m 求此时薄板对通过原中心与板面垂直的轴的转动惯量 半径为R的大圆盘对O点的转动惯量为 由平行轴定理 半径为R 2的小圆盘对O点的转动惯量为 小圆盘面积的质量 总转动惯量 大圆盘面积的质量 12 例3如图所示 两物体的质量分别为m1和m2 滑轮质量为m 半径为r 已知m2与桌面之间的滑动摩擦系数为 不计轴承摩擦 求m1下落的加速度和两段绳中的张力 解 对m1 对m2 对滑轮 解 1 因是纯滚动 A点瞬时速度为 由机械能守恒 由相对速度 由 1 2 解得 例4质量为m 半径为R的均匀圆柱体沿倾角为 的粗糙斜面 在离地面为h0处从静止开始无滑下滚 纯滚动 试求1 圆柱体下降到高度为h时它的质心速度vc和转动角速度 2 最大静摩擦系数应满足的条件 2 根据质心运动定理 以质心为参考点 根据转动定律 由A点瞬时速度为零 有 解得 要保证无滑滚动 所需摩擦力f不能大于最大静摩擦力 即 15 试求1 圆柱体下降到高度为h时它的质心速度vc和转动角速度 2 最大静摩擦系数应满足的条件 解 对圆柱体进行受力分析 选A为瞬时转动中心 转动惯量为 转动定理 由A点瞬时速度为零 对于质心有 16 2 根据质心运动定理 解得 要保证无滑滚动 所需摩擦力f不能大于最大静摩擦力 即 解得 圆柱体质心的速度为 17 结果讨论 静摩擦力在能量转换中的作用 把刚体边缘与斜面接触点的位移分解为 随质心的平动 绕质心的转动 二者之和为零 摩擦力使减少的势能不是全部转换为平动动能 而是部分地转换为转动动能 18 例5一个内壁光滑的刚性圆环形细管 开始时绕竖直的光滑固定轴oo 自由转动 其转动惯量为J 角速度为 0 环的 平均 半径为R 一个质量为m的小球在管内最高点A从静止开始向下滑动 作业4 23 求 1 小球滑到环的水平直径的端点B时 环的角速度多大 小球相对于环的速率多大 19 小球相对环的速率vB球环 1 求小球在B点时环的角速度 B及 小球的重力对轴无力矩 环的支持力对轴有力矩 解 说 小球的角动量守恒 对小球从A B的过程 有人选系统 小球 但是 对轴是有力矩的 所以小球的角动量不守恒 20 所以此系统角动量是守恒的 如果将系统扩大 小球 环 此v应是vB球地 所以 此v即vB环地 BR 21 环转动变慢 因小球有了角动量 系统 小球 环 地球 的功是零 vB球环 所以E机守恒 设通过环心的水平面重力势能为0 则 22 得 讨论 1 量纲对 2 当 0 0时 若选 小球 地球 为系统 好不好 答 不好 23 从环参照系看 环对小球的支持力是不作功的 但环不是惯性系 从地面系看 环对小球的支持力 外力 是作功的 E机不守恒 对 小球 地球 系统 机械能不守恒 由于圆环参考系为非惯性系 小球要受科氏力和惯性离心力 还需考虑它们的功 24 科氏力与速度垂直 不作功 但惯性离心力要作功 而且这个功 和r都变 不易求 所以 机械能不守恒 而且用功能原理也不容易算 2 求小球在C点时 环的角速度 c 及小球相对环的速率vc球环 25 同理 对系统 小球 环 条件 M外 0 角动量守恒 环又回到原来的角速度 取C点为重力势能的零点 同理 对系统 小球 环 地球 条件 只有保守力作功 机械能守恒 vc球环 26 可得 由机械能守恒 将和代入 结束 27 例6两个同样重的小孩 各抓着跨过滑轮的轻绳的一端如图 他们起初都不动 然后右边的小孩用力向上爬绳 另一个小孩仍抓住绳子不动 忽略滑轮的质量和轴的摩擦 问 哪一个小孩先到达滑轮 设滑轮半径为R 两小孩的质量分别为m1 m2 解 把小孩看成质点 以滑轮中心为 固定点 m1 m2 28 对 m1 m2 轻绳 滑轮 系统 外力 条件 所以角动量守恒 设两小孩分别以速度上升 设角动量以指向纸内为正 29 指向纸内 指向纸外 30 系统的角动量守恒 爬与不爬 两小孩同时到达滑轮 有人说该系统机械能守恒 对不对 有人说该系统动量守恒 对不对 思考 启动前 启动后 不对 不对 31 系统所受的合外力矩为 仍以朝向纸内为正 1 设 右边爬绳的是较轻的小孩 思考 的方向是什么 角动量定理 初始时小孩未动 现在 32 即质量为m2 轻的 爬的 小孩先到 2 设m2 m1 右边爬绳的小孩较重 即质量为m1 轻的 不爬的 小孩先到 同理可得 总之 轻的小孩总是先到 爬绳的小孩不一定先到 33 例7两个均质圆盘对各自轴的转动惯量分别为和 半径分别为r1和r2 开始时圆盘 以的角速度旋转 圆盘 静止 然后使两盘边沿接触 求 当接触点处无相对滑动时 两圆盘的角速度 解 无竖直方向上的运动 以O1点为参考点 系统的外力矩 作用在系统上的外力矩不为0 只能用角动量定律做此题 以两转盘为系统 分析受力 系统的角动量不守恒 34 盘1 盘2 不打滑条件 可解得 对盘 设顺时针转动为正向 对盘 逆顺时针转动为正向 35 例8一个质量为 长为的均匀细杆 一端固定于水平转轴上 开始使细杆在铅直平面内与铅直方向成角 并以角速度沿顺时针转动 当细杆转到竖直位置时 有一质量的细小油灰团以速度水平迎面飞来 并与细杆上端发生完全非弹性碰撞 碰撞后细杆继续顺时针转动 再次转到与铅直方向成角时角速度为多大 36 由得 解 整个运动过程可分为三个阶段 第一阶段 细杆由初始位置转到竖直位置时 取细杆和地球为一系统 设点为重力势能零点 由于转轴的支持力不做功 所以系统的机械能守恒 则有 37 第二阶段 细杆在铅直位置与油灰团发生完全非弹性碰撞 取细杆与油灰团为一系统 在碰撞过程中所受的合外力矩为零 所以系统的角动量守恒 设顺时针方向为正方向 于是有 因为 所以碰撞完毕后两物体沿角速度的方向转动 38 第三阶段 取细杆 油灰团和地球为一系统 因转轴的支持力不做功 所以系统的机械能守恒 39 例9 质量为m的小球 以速度v0在水平冰面上滑动 撞在与小球运动方向垂直的一根细木棍的一端 并粘附在木棍上 设木棍的质量为M 长度为l 试求 1 忽略冰的摩擦 定量地描述小球附在木棍上后 系统的运动情况 2 刚刚发生碰撞之后 木棍上有一点p是瞬时静止的 问该点在何处 1 系统质心位置c距右端距离 由动量守恒求质心平动速度vc 40 2 瞬时静止的一点p在质心的左侧 p点绕质心转动相应瞬时向下线速度恰好等于质心平动速度vc 即 由角动量守恒求系统绕质心转动的角速度 c O M m