（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题五立体几何5.3立体几何中的向量方法课件.pptx

5 3立体几何中的向量方法 2 突破点一 突破点二 突破点三 用空间向量证明空间中的平行与垂直 例1 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC D为AB的中点 AC BC BB1 1 求证 BC1 AB1 2 求证 BC1 平面CA1D 分析推理首先根据直三棱柱的结构特征建立空间直角坐标系 求出相关点的坐标 1 问可直接验证两条直线的方向向量垂直来证明 2 问的求解可从两个角度 一是证明直线BC1的方向向量与平面CA1D的基向量共面 二是证明直线BC1的方向向量与平面CA1D的法向量垂直 3 突破点一 突破点二 突破点三 证明 如图 以C1为原点 C1A1 C1B1 C1C所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 由AC BC BB1 设AC 2 则A 2 0 2 B 0 2 2 C 0 0 2 A1 2 0 0 B1 0 2 0 C1 0 0 0 D 1 1 2 4 突破点一 突破点二 突破点三 又BC1 平面CA1D 因此BC1 平面CA1D 5 突破点一 突破点二 突破点三 证法二 设平面CA1D的法向量为n x y z 又BC1在平面CA1D外 BC1 平面CA1D 6 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法用向量方法证明空间线面位置关系的方法 设直线l1 l2的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为e1 e2 A B C分别为平面 内的相异且不共线的三点 其中l1与l2不重合 与 不重合 则 1 l1 l2 a b 存在实数 使b a a 0 l1 l2 a b a b 0 2 l1 a e1 存在实数 使e1 a a 0 l1 a e1 0 存在 3 e1 e2 存在实数 使e2 e1 e1 0 e1 e2 e1 e2 0 7 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固1如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC 4 BC 3 AA1 4 AC BC 点D在线段AB上 1 证明 AC B1C 2 若D是AB的中点 证明 AC1 平面B1CD 8 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 如图 以C为原点建立空间直角坐标系C xyz 则B 3 0 0 A 0 4 0 A1 0 4 4 B1 3 0 4 C1 0 0 4 9 突破点一 突破点二 突破点三 又AC1 平面B1CD 所以AC1 平面B1CD 证法二连接BC1 交B1C于点E 连接DE 因为直三棱柱ABC A1B1C1 D是AB中点 所以侧面BB1C1C为矩形 DE为 ABC1的中位线 所以DE AC1 因为DE 平面B1CD AC1 平面B1CD 所以AC1 平面B1CD 10 突破点一 突破点二 突破点三 3 解 由 1 知AC BC 设D a b 0 a 0 b 0 11 突破点一 突破点二 突破点三 设二面角B CD B1的大小为 12 突破点一 突破点二 突破点三 利用空间向量求空间角 例2 2019天津 理17 如图 AE 平面ABCD CF AE AD BC AD AB AB AD 1 AE BC 2 1 求证 BF 平面ADE 2 求直线CE与平面BDE所成角的正弦值 3 若二面角E BD F的余弦值为 求线段CF的长 13 突破点一 突破点二 突破点三 分析推理首先根据已知几何体的结构特征 找出其中的垂直关系建立空间直角坐标系 写出相关点的坐标 1 因为AB 平面ADE 所以可直接检验直线BF的方向向量与平面ADE的法向量垂直即可 2 求出平面BDE的法向量 利用直线CE的方向向量与平面BDE的法向量的夹角表示所求角 注意向量夹角与所求角之间的转化 3 设CF的长度 求出点F的坐标 求出二面角两个面的法向量 利用这两个法向量的夹角转化已知的二面角建立关于所求的方程 解之即可 14 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 依题意 可以建立以A为原点 15 突破点一 突破点二 突破点三 16 突破点一 突破点二 突破点三 3 解 设m x y z 为平面BDF的法向量 17 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法用向量求空间角的方法 设直线l1 l2的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为n m 18 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固2 2019全国 理18 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 AA1 4 AB 2 BAD 60 E M N分别是BC BB1 A1D的中点 1 证明 MN 平面C1DE 2 求二面角A MA1 N的正弦值 19 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 连接B1C ME 因为M E分别为BB1 BC的中点 由题设知A1B1 DC 可得B1C A1D 故ME ND 因此四边形MNDE为平行四边形 MN ED 又MN 平面EDC1 所以MN 平面C1DE 20 突破点一 突破点二 突破点三 2 解 由已知可得DE DA 21 突破点一 突破点二 突破点三 22 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固3如图 已知多面体ABCA1B1C1 A1A B1B C1C均垂直于平面ABC ABC 120 A1A 4 C1C 1 AB BC B1B 2 1 证明 AB1 平面A1B1C1 2 求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值 23 突破点一 突破点二 突破点三 解法一 1 证明 由AB 2 AA1 4 BB1 2 AA1 AB BB1 AB 24 突破点一 突破点二 突破点三 2 如图 过点C1作C1D A1B1 交直线A1B1于点D 连接AD 由AB1 平面A1B1C1 得平面A1B1C1 平面ABB1 由C1D A1B1 得C1D 平面ABB1 所以 C1AD是AC1与平面ABB1所成的角 25 突破点一 突破点二 突破点三 解法二 1 证明 如图 以AC的中点O为原点 分别以射线OB OC为x y轴的正半轴 建立空间直角坐标系O xyz 所以AB1 平面A1B1C1 26 突破点一 突破点二 突破点三 2 设直线AC1与平面ABB1所成的角为 27 突破点一 突破点二 突破点三 用空间向量求空间中的距离 例3 如图 在四棱锥P ABCD中 底面四边形ABCD是正方形 侧面PDC是边长为a的正三角形 且侧面PDC 底面ABCD E为PC的中点 1 求异面直线PA与DE所成角的余弦值 2 求点D到平面PAB的距离 28 突破点一 突破点二 突破点三 分析推理首先根据已知条件转化侧面PDC与底面ABCD的垂直关系 建立空间直角坐标系 1 问直接转化为两异面直线的方向向量的夹角求解 2 首先求出平面PAB的法向量 取平面PAB内任意一点 利用对应直线的方向向量在平面法向量方向上的投影绝对值表示所求距离即可 29 突破点一 突破点二 突破点三 解 如图 取DC的中点O 连接PO PDC为正三角形 PO DC 又侧面PDC 底面ABCD PO 底面ABCD 如图建立空间直角坐标系O xyz 30 突破点一 突破点二 突破点三 1 E为PC的中点 31 突破点一 突破点二 突破点三 32 突破点一 突破点二 突破点三 规律方法求空间中距离的方法 1 直线到平面的距离 两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离 3 设直线n的方向向量为n 直线n与异面直线a b都垂直 A是直线a上任一点 B是直线b上任一点 则异面直线a b的距离 33 突破点一 突破点二 突破点三 即时巩固4如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AB AD 4 CD CDA 45 1 求证 平面PAB 平面PAD 2 设AB AP 若直线PB与平面PCD所成的角为30 求线段AB的长 在线段AD上是否存在一个点G 使得点G到点P B C D的距离都相等 说明理由 34 突破点一 突破点二 突破点三 1 证明 因为PA 平面ABCD AB 平面ABCD 所以PA AB 因为AB AD PA AD A 所以AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 2 解 以A为坐标原点 建立空间直角坐标系A xyz 如图 在平面ABCD内作CE AB交AD于点E 则CE AD 在Rt CDE中 DE CD cos45 1 CE CD sin45 1 设AB AP t 则B t 0 0 P 0 0 t 由AB AD 4 得AD 4 t 35 突破点一 突破点二 突破点三 36 突破点一 突破点二 突破点三 假设在线段AD上存在一个点G 使得点G到点P B C D的距离都相等 设G 0 m 0 其中0 m 4 t 由 消去t 化简得m2 3m 4 0 因为方程 没有实数根 所以在线段AD上不存在一个点G 使得点G到点P C D的距离都相等 从而 在线段AD上不存在一个点G 使得点G到点P B C D的距离都相等 37 核心归纳 预测演练 38 核心归纳 预测演练 1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分别是A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则BM与AN所成角的余弦值为 C 39 核心归纳 预测演练 解析 如图 以点C1为坐标原点 C1B1 C1A1 C1C所在的直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 不妨设BC CA CC1 1 可知 40 核心归纳 预测演练 2 若平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 A B C 相交但不垂直D 以上均不正确 C 解析 n1 n2 2 3 3 1 5 4 29 0 n1与n2不垂直 又n1 n2不共线 与 相交但不垂直 41 核心归纳 预测演练 3 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成二面角的大小为 45 或135 两平面所成二面角为45 或135 42 核心归纳 预测演练 4 如图 已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面 底面ABCD为直角梯形 AD BC AB BC AD AB AA1 2BC E为DD1的中点 F为A1D的中点 则直线EF与平面A1CD所成角的正弦值为 43 核心归纳 预测演练 解析 因为AB AD AA1两两垂直 故以A为坐标原点 AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴 AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系 如图所示 设BC 1 则A 0 0 0 A1 0 0 2 C 2 1 0 D 0 2 0 E 0 2 1 F 0 1 1 44 核心归纳 预测演练 5 如图 AD BC且AD 2BC AD CD EG AD且EG AD CD FG且CD 2FG DG 平面ABCD DA DC DG 2 1 若M为CF的中