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复习1 数学物理方程 1 三类方程 三种求解方法 一个特殊函数 分离变量法行波法格林函数法 波动方程热传导传导拉普拉斯方程 贝赛尔函数 课程内容 2 第一章典型方程和定解问题 振动方程热传导方程 一维波动方程 非齐次方程 自由项 3 初始时刻的温度分布 B 热传导方程的初始条件 C 泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态 与时间变量无关 不提初始条件 A 弦振动方程的初始条件 初始条件 描述系统的初始状态 初位移初速度 4 边界条件 描述系统在边界上的状况 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 5 A 弦振动方程的边界条件 1 固定端 振动过程中端点 x a 保持不动 其边界条件为 或 2 自由端 x a端既不固定 又不受位移方向力的作用 3 弹性支承端 在x a端受到弹性系数为k的弹簧支承 或 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 6 B 热传导方程的边界条件 以S表示某物体V的边界 1 边界S上的温度为已知函数f x y z t f是定义在边界S上的函数 2 绝热状态 即在S上的热量流速为零 或流速已知 3 热交换状态 牛顿冷却定律 单位时间内物体单位表面积与周围介质交换的热量 同物体表面温度与周围介质温度差成正比 热交换系数 周围介质的温度 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 7 习题一 1长为l的均匀杆 侧面绝缘 一端温度为零 另一端有热流q流入 杆的初始温度分布为x l x 2 试写出相应的定解问题 解 一维热传导问题 写出微分方程 一端温度为零 另一端有热流q流入 杆的初始温度分布 8 定解问题 9 习题一 2长为l的弦 两端固定 开始时在x c点受到冲量k的作用 试写出相应的定解问题 解 一维弦振动问题 写出微分方程 两端固定 开始时在x c点受到冲量k的作用 即在距离c点无穷小距离d处 弦的初始位移 10 定解问题 11 习题一 3有一均匀杆 只要杆中一小段有纵向位移或速度 必导致相邻段的压缩或伸长 这种伸缩传播开去 就有纵波沿杆传播 试推导杆的纵振动方程 牛顿运动定律 12 13 习题一 4一均匀杆原长l 一端固定 另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静止 突然放手任其振动 试建立振动方程与定解条件 解 一维弦振动问题 写出微分方程 一端固定 另一端放手后为自由端 整个杆被拉长e 单位长度拉长e l 则初始位移 14 初始时 杆静止 初速度 定解问题 15 第二章分离变量法 解决有界问题 且边界规范一维振动 一维热传导 二维拉普拉斯齐次 非齐次 16 一维振动方程 一维热传导方程 分离变量 解的形式与边界条件有关 17 18 利用叠加原理 特别地 对于22类边界条件 19 20 计算系数 求解积分的技巧 此法特别适用于如下类型的积分 其中Pn x 为多项式 多次分部积分的规律 21 快速计算表格 特别 当u为n次多项式时 计算大为简便 22 例 求 解 取 23 直角坐标系下的拉普拉斯方程 齐次偏微分方程 分离变量 与一维波动 热传导相同 对于11类边界条件 对x 24 确定待定系数 利用自变量y的边界条件 25 圆域 极坐标系下的拉普拉斯方程 分离变量 欧拉方程 26 27 一般的 通解为 圆域 扇域 环扇 28 确定待定系数 利用边界条件 扇域 29 非齐次方程的解法 研究定解问题 一根两端固定的弦 受强迫力作用时所产生的振动 齐次边界条件 11类 波动方程 30 考虑弦的振动由两部分干扰引起 一是强迫力 一是初始状态 由问题的物理意义可知 此时 弦的振动可以看作仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成 强迫力 初始状态 由此原有问题分解为两个定解问题 初始状态 强迫力 31 非齐次方程的解法 带初始条件齐次微分方程的解 零初始条件非齐次微分方程的解的形式 带入零初始条件非齐次微分方程求解vn t 将vn t 带入V x t 的表达式 得到V x t 最终得到原非齐次微分方程的解u x t W x t V x t 11类 32 习题二 2弦的振动问题 解 分离变量 令 得到方程 11类边界条件 得方程特征解的形式 33 可知满足偏微分方程和边界条件的特解为 2 34 35 习题二 6一维热传导问题 解 分离变量 令 得到方程 22类边界条件 得方程特征解的形式 齐次边界条件 22类 36 可知满足偏微分方程和边界条件的特解为 37 习题二 12直角坐标系的拉普拉斯问题 齐次边界条件 11类 解 分离变量 令 得到方程 11类边界条件 得方程特征解的形式 38 可知满足偏微分方程和边界条件的特解为 39 习题二 13极坐标系的拉普拉斯问题 半圆域 分离变量 令 扇域 40 41 习题二 14极坐标系的拉普拉斯问题 环域 42 43 44 解 令 习题二 9一维非齐次热传导方程 齐次热传导方程 11类 45 例求下列定解问题 解 46 由 得 47 48 49 第三章行波法 解决无界问题 半无界 波动方程齐次 非齐次特征线法 50 行波法可解决的问题及思路 思路 51 一维波动方程 齐次问题 一维无界弦 52 53 非齐次波动方程的求解 I 思路 化有源问题为无源问题 利用达朗贝尔公式求解 非齐次问题齐次化 54 II III 初始条件 外力作用 55 一维非齐次波动方程的Kirchhoff公式 56 记 可以证明 当时 有两