2014届高考数学一轮必备考情分析学案126《离散型随机.doc

12.6离散型随机变量的均值与方差考情分析本节是高考必考内容，可以在选择填空中考查正态分布（主要考查正态曲线特点、性质的应用，属容易题）还可以在解答题中与排列组合、互斥事件的概率、独立事件的概率、条件概率，分布列、期望、方差等知识综合考查（属中档题）基础知识1、 离散型随机变量的均值与方差：一般的，若随机变量X的分布列为X来源:学.科.网P（1） 均值：为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2） 方差：为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离度，其算术平方根为随机变量X的标准差2、 均值与方差的性质：（1）（2）（a,b为常数）3、 两点分布与二项分布的均值与方差：（1）若X服从两点分布，则（2）若，则注意事项1.在记忆D(aXb)a2D(X)时要注意：D(aXb)aD(X)b，D(aXb)aD(X)2. (1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)； (2)XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)n.来源:Z,xx,k.Com3.(1)E(C)C(C为常数)(2)E(aXb)aE(X)b(a、b为常数)(3)E(X1X2)EX1EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2)(5)D(X)E(X2)(E(X)2(6)D(aXb)a2D(X)题型一离散型随机变量的均值和方差【例1】已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数的期望E()()A. 2B. C. D. 答案：D解析：取到的白球个数可能的取值为1,2,3.所以P(1)；P(2)；P(3).因此取到白球个数的期望E()23.【变式1】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望E()解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)可能取的值有0,2,4,6,8.P(0)；P(2)；P(4)；P(6)；P(8).甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列为02468P所以E()02468.题型二均值与方差性质的应用【例2】设随机变量X具有分布P(Xk)，k1,2,3,4,5，求E(X2)2，D(2X1)，.解E(X)123453.E(X2)12232425211.D(X)(13)2(23)2(33)2(43)2(53)2(41014)2.E(X2)2E(X24X4)E(X2)4E(X)41112427.D(2X1)4D(X)8，.【变式2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若aXb，E()1，D()11，试求a，b的值解(1)X的分布列为X01234PE(X)012341.5.D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D()a2D(X)，得a22.7511，即a2.又E()aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求题型三均值与方差的实际应用【例3】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比”；(2)“性价比”大的产品更具可购买性解(1)因为E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P所以E(X2)30.340.250.24.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性【变式3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求X的概率分布及E(X)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围解(1)依题意，X的可能取值为1,0，1，X的分布列为X101PE(X).(2)设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为：Y22PE(Y)2242，依题意要求42，1.重难点突破【例4】甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为，乙机投弹一次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量，求的分布列和数学期望 解析 设Ak表示甲机命中目标k次，k0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l0,1,2，则Ak，Bl独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有P(Ak)Ck2k，P(Bl)Cl2l.据此算得P(A0)，P(A1)，P(A2).P(B0)，P(B1)，P(B2).(1)所求概率为1P(A0B0A0B1A1B0)11.(2)的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(0)P(A0B0)P(A0)P(B0)，P(1)P(A0B1)P(A1B0)，来源:Z&xx&k.ComP(2)P(A0B2)P(A1B1)P(A2B0)，P(3)P(A1B2)P(A2B1)，P(4)P(A2B2).综上知，的分布列如下：01234P从而的期望为E()01234.巩固提高1.设是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E()15，D()，则n与p的值为()A60，B60，C50，D50，答案：B解析：由B(n，p)，有E()np15，D()np(1p)，p，n60.2.设随机变量XN(1,52)，且P(X0)P(Xa2)，则实数a的值为()A. 4B. 6C. 8D. 10答案：A解析：由正态分布的性质可知P(X0)P(X2)，a22，a4，选A.3.在正态分布N(0，)中，数值落在(，1)(1，)内的概率为()A. 0.097B. 0.046C. 0.03D. 0.0026答案：D解析：0，P(x1)1P(1x1)1P(3x3)10.99740.0026.4.某校约有1000人参加摸底考试，其数学考试成绩N(90，a2)(a0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A. 200B. 300C. 400D. 600答案：A解析：由题知，P(x110)(1)，则成绩不低于110分的学生人数约为1000200