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布莱克 斯科尔斯模型 B SModel 1 一 金融资产的价格特征 2 正态分布现象在自然界和社会中是一种常见现象 那么 金融资产的价格是否也具有正态分布的特点呢 符合正态分布的变量一般可以取负值 金融资产的价格就不可能取负值 因此价格不符合正态分布的假设 但收益却可以取负值 收益通常符合正态分布的假设 3 在现实金融市场上 绝大多数的金融产品如价格 利率等的变化 都呈对数正态分布 B S模型就是以此假定作为基础 假定 投资者以100元的价格买入某种股票 如果股价一开始上升10 然后又下跌10 股价是否回到初始状态100元呢 最终结果是99元 而不是100元 4 计算结果如下 价格上涨10 100 10 10 S1 100 10 110价格下降10 110 10 11 S2 110 11 99结果 价格小于初始水平 5 也可以将相对价格相乘而获得同样的结果 即 110 100 1 10以及99 110 0 90相对价格的乘积为 1 10 0 90 0 99再将此结果乘以初始价格就是所得到结果 6 我们还可以取相对价格的对数之和计算 ln 110 100 0 0953ln 99 110 0 1054根据两个数字的对数之和等于其乘积的对数 有 ln 110 100 99 110 0 0101由于 与前一种方法计算结果相同 7 在金融领域 采用相对价格的对数比采用相对价格本身计算 应用更为广泛 首先 将相对价格的对数定义为收益 1 8 例如 当初始价格为100 第一期收益提高 10 第二期收益下降 10 由式 1 计算得到 价格回到初始水平 9 收益通常符合正态分布 例如 投资者以100元的价格买入一种股票 投资收益增长10 的可能性或概率 与收益减少 10 的可能性同样存在 所以 收益符合正态分布的特征 10 收益正态分布 随机密度 收益 11 现在 我们求证价格分布的特征 设 价格每年上涨10 四年内价格分别如下 100 110 52 122 14 134 99 149 18 后一年的价格变动幅度大于前一年的价格变动幅度 再看 价格每年下降10 四年内价格分别如下 100 90 48 81 87 74 08 67 03 后一年的价格变动幅度小于前一年的价格变动幅度 12 连续价格变动的刻度标示 100 110 52 122 14 134 99 149 18 90 48 81 87 74 08 67 03 连续价格递增 连续价格递减 13 从上述分析可知 价格的分布将是扭曲的正态分布 称之为对数正态分布 价格上涨时 分布呈扩张型态 价格下跌时 分布呈压缩型态 14 价格对数正态分布 随机密度 价格 15 现在我们回到收益定义 收益为相对价格的对数 由于收益呈正态分布 满足 2 式中 均值 这里指年收益率 方差开根 这里指年收益标准差 16 由上式 2 可知 价格的对数 不仅相对价格的对数 也是正态分布 因为 3 其中S0是常数 ln S0 0 17 由式 2 还可得到 以及预期收益 5 18 根据期望值的对数与对数的期望值之间的关系 如果x是一随机变量 则有 ln E x E ln x 0 5var ln x 其中 19 所以 相对价格的期望就可以表达如下 20 小结 利用相对价格的自然对数估算收益 式 1 收益遵循正态分布 式 2 价格遵循对数正态分布 式 4 相对价格的期望表达式 6 21 二 期权定价的B S模型 22 金融资产的合理价格是这种资产的期望值 这一原理同样适用于期权 期权到期时的合理价格就是可能出现的每一种价值与其概率的乘积之和 期权可以取任意多的价值 所以应该采用连续分布 在连续分布条件下 某一范围的特定结果的概率应由该段曲线以下的面积来表示 23 根据看涨期权的定义 期权到期时的期望值是 24 期权到期时 基础资产价格有两种可能 1 如果期权到期时溢价 并且 ST X max ST X 0 ST X 25 2 如果期权到期时损价 并且 ST X max ST X 0 0 26 如果把P定义为ST X的概率 那么 7 式可以重新表达为 其中 E ST ST X 当ST X时 ST的期望值 P ST X的概率 27 上式 就是看涨期权到期时的期望值 那么 在期权交易之初的合理价格就是对式 的贴现值 于是 期权的价格表达如下 28 至此 我们可以将期权定价的复杂问题转化为两个相对简单的问题 确定 即期权到期时溢价的概率 确定E ST ST X 即期权到期时溢价的话 基础资产的期望值 29 2020 2 4 30 以上两个问题的答案可以从基础金融资产价格呈对数正态分布的特征出发来求解 31 导出概率 这一问题是要求解期权到期时 基础资产价格超过期权执行价格的概率 这一问题的性质等同于 求解同样时期收益超出某种既定值的概率 由于收益呈正态分布 比起对数正态分布更容易处理 故我们先从收益入手 32 此前 我们已经将收益定义为相对价格的对数 所求出的概率必须满足 33 在正态分布条件下 变量 大于某种既定值xc的概率可由下式表达 34 如何求解上式中的 和 呢 1 的求解 请回顾在前面式 中 已经给出求解相对价格期望值的表达式 如果我们以则可以将公式 改写为如下形式 35 据此 我们可以将公式 表述如下 这就是所要求解的平均收益 的表达式 36 在前述式 中 收益的标准差被定义为将式 和式 合并 有 37 正态分布的对称性意味着 N d N 于是 我们所要求解的概率 就表述如下 38 的确定为了求出基础金融资产到期时的期望值E ST ST X 的表达式 需要将正态分布曲线从 至 的值加总起来 期望值公式的推导过程比较复杂 这里给出最终结果如下 39 其中 40 期权定价两大问题的汇总 回顾一下 期权定价要解决的两大问题 确定 即期权到期时溢价的概率 确定E ST ST X 即期权到期时溢价的话 基础资产的期望值 现在 我们可以将这两部分的计算公式 和 代入前面的期权定价公式 就是看涨期权的定价模型 41 期权定价模型 看涨期权的 模型 42 三 模型的基本假设 收益呈正态分布 价格呈对数正态分布 基础金融资产的交易数量不限 允许空头出售 期权有效期内 基础资产不支付红利或股息 且无其它任何形式的收益 无风险利率 复利计息 欧式期权 43 没有交易成本 税收及任何额外费用 基础资产价格的变动具有连续性 价格和利率的波动率为常数 44 模型的最大优点 容易计算 定价较为合理可靠在实务中 当实际情形与模型的严格假设条件不一致时 只需对模型作简单的调整即可加以应用 无需采用更为复杂的定价模型 所以 得到广泛的运用 45 例如 现实条件下 金融资产的价格分布并非满足严格的对数正态假设 而是 胖尾 分布 原因在于市场价格有时会出现跳跃性变化 如何在期权定价时反映出市场价格的这种跳跃式变化呢 一般处理 不是另外重构一个新的模型直接反映这种 胖尾 特征 而是直接在 模型基础上 插入一个较大的波动率数值 就可对溢价和损价期权定价 结果 相对于平价期权而言 溢价和损价期权的价格提高了 这恰好反映了价格波动率较大的事实 46 四 跌 涨平价定理 由上所述 我们已经求出看涨期权的定价公式 如何求解看跌期权的定价公式呢 我们可以利用看涨期权与看跌期权之间的内在联系 导出看跌期权的定价公式 不需要建立独立的模型考虑看跌期权的定价问题跌 涨平价定理构造由若干笔交易构成的组合金融资产 47 组合金融资产的构造方式如下 出售一份欧式看涨期权 到期时间为 执行价格为 买入一份具有同样期限和执行价格的欧式看跌期权 借入一笔资金 数额为 以无风险利率 计息 买入基础金融资产 48 在上述资产组合中 如果假定基础资产的初始价格为 0 看涨期权的价格为 看跌期权的价格为 那么 按上述方式构造的组合所产生的现金流为 这里假定具有相同执行价格的期权具有相同的期权费或期权价格 49 期权到期时 这样一笔资产组合的价值到底如何呢 如果 t 看涨期权将被执行 交付基础资产 收取执行价格 正好用于偿还所借资金 看跌期权到期时无内在价值 资产组合的现金流量净值为零 如果 t 看跌期权将被执行 交付基础资产 收取执行价格 正好用于偿还所借资金 看涨期权到期时无内在价值 资产组合的现金流量净值也为零 50 如果 t 看涨期权与看跌期权均无内在价值 可以在市场上以通行价格 出售基础资产 获取出售所得 正好用于偿还所借资金 资产组合的现金流量净值还是为零 由此可见 无论期权到期时 基础金融资产的市场价格如何 上述资产组合的交易净值始终为零 如果一种资产组合的最终结果为零 则其初始价值也应该为零 否则就有套利机会存在 51 因此 由此 我们就可以从看涨期权的定价分析中直接导出看跌期权的价格 52 跌 涨平价定理的基础是 风险中性 假设 其核心是将期权与基础金融资产按一定的比例组合成无风险资产组合 无风险资产组合是指 不管市场价格出现什么变化 最终的金融结果相同 因此对未来的现金流量要以无风险利率贴现 无风险资产组合与投资者风险偏好无关 因此在风险回避型投资者和风险偏好型投资者看来 无风险资产的价值相等 53 风险中性 假设并不是说 所有金融资产都会按照无风险利率增值 而是说不管我们采用无风险利率还是采用某种更高的利率 所得出的期权价格将是相同的 如果选择某种较高的利率 基础资产就以较快的收益率增值 但同时期权的价格也以较快的速度增值 两种效应互为抵消 54 五 结语 模型是当今期权定价理论的基石 这一模型首次为期权定价提供了一种有效而可靠的工具 此后发展扩大到对许多不同类型的期权定价 以外汇领域的货币期权为例 其基础资产是外汇 如果外汇是货币存款的话 应该获得相应利息收入 这一实际情形与 模型的假设条件不符 55 为了对这种期权定价 就需对标准的 模型进行修正 修正后的模型就适合对货币期权定价 56 而且 这是适合货币期权定价的公式 称之为 加曼 科