（通用版）2020版高考数学复习专题七解析几何7.2圆锥曲线的标准方程与性质练习文.docx

7.2圆锥曲线的标准方程与性质高考命题规律1.每年必考考题,多数年份有2道小题,主要考查圆锥曲线方程、性质的应用.2.选择题或填空题,5分,中档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程1655命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用5121214610910命题角度3求椭圆、双曲线的离心率5125114111012命题角度4圆锥曲线的中点弦与焦点弦问题命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验对方向1.(2017全国5)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故APF的面积为123(2-1)=32,故选D.2.(2016全国5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.12B.1C.32D.2答案D解析因为F为抛物线y2=4x的焦点,所以F(1,0).又因为曲线y=kx(k0)与抛物线交于点P,PFx轴,如图所示,可知P(1,2),故k1=2,解得k=2,故选D.3.(2017北京10)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.答案2解析由题意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.4.(2016山东14)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在RtBMN中,MN=2,故BN=BM2+MN2=322+22=52.由双曲线的定义可得2a=BN-BM=52-32=1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e=2c2a=2.典题演练提能刷高分1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.x236+y232=1B.x29+y28=1C.x29+y25=1D.x216+y212=1答案B解析椭圆长轴长为6,焦点恰好将长轴三等分,2a=6,a=3,6c=6,c=1,b2=a2-1=8,椭圆方程为x29+y28=1,故选B.2.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案B解析如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到准线x=-1的距离为4.故选B.3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是()A.x212-y2=1B.x29-y23=1C.x2-y23=1D.x223-y232=1答案C解析由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3,双曲线C的标准方程是x2-y23=1.故选C.4.已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则该双曲线的方程为()A.x2-y24=1B.x2-y2=1C.x2-y23=1D.x2-y22=1答案B解析由点M在双曲线上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,得|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,则NBM=60,如图所示.在RtBNM中,|BM|=|AB|=2a,NBM=60,则|BN|=2acos60=a,|MN|=2asin60=3a,即M(2a,3a),代入双曲线方程得4-3a2b2=1,即b2=a2.点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,a=b=1,双曲线的方程为x2-y2=1.5.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=60.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则()A.|AB|2|MN|B.2|AB|3|MN|C.|AB|3|MN|D.|AB|MN|答案D解析由抛物线定义得|AF|+|BF|=2|MN|,在AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|BF|cos60=|AF|2+|BF|2-|AF|BF|=(|AF|+|BF|)2-3|AF|BF|(|AF|+|BF|)2-3|AF|+|BF|22=(|AF|+|BF|)24=|MN|2,所以|AB|MN|,故选D.6.已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.234C.161534D.181734答案D解析由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|32-50+30|32+(-5)2=181734,故选D.7.如图,椭圆x2a2+y24=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为()A.20B.10C.25D.45答案D解析由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2x轴,所以Nc,4a,则H0,2a.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-2a,代入椭圆方程得4c2a2+1a2=1,a2=1+4c2,1+4c2=4+c2,c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,F2MN的周长为4a=45.命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用高考真题体验对方向1.(2019全国9)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D解析y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故选D.2.(2019全国10)已知F是双曲线C:x24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92答案B解析设点P(x0,y0),则x024-y025=1.又|OP|=|OF|=4+5=3,x02+y02=9.由得,y02=259,即|y0|=53.SOPF=12|OF|y0|=12353=52.故选B.3.(2018全国10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22答案D解析双曲线C的离心率为2,e=ca=2,即c=2a,a=b.其渐近线方程为y=x,则(4,0)到c的渐近线距离d=|4|2=22.4.(2018全国6)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案A解析e=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.双曲线交点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.5.(2017全国12)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)答案A解析由题意,可知当点M为短轴的端点时,AMB最大.当0m3时,椭圆C的焦点在x轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan60=3,即3m3,解得03时,椭圆C的焦点在y轴上,要使椭圆C上存在点M满足AMB=120,则abtan60=3,即m33,解得m9,综上m的取值范围为(0,19,+),故选A.6.(2017全国12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.33答案C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,23).因为MNl,且N在l上,所以N(-1,23).因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1).所以M到直线NF的距离为|3(3-1)+23|(-3)2+12=23.7.(2019全国15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.答案(3,15)解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).点M的坐标为(3,15).典题演练提能刷高分1.(2019安徽滁州一中高三模拟)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点.点A在抛物线上,若点P是抛物线准线上的动点,O为坐标原点,且|AF|=5,则|PA|+|PO|的最小值为()A.5B.13C.25D.213答案D解析|AF|=5,点A到准线的距离为5,由抛物线焦半径公式可知:点A的横坐标为4.又点A在抛物线上,点A的坐标为(4,4).坐标原点关于准线对称点的坐标为B(-2,0),|PA|+|PO|=|PA|+|PB|AB|=(-2-4)2+(04)2=213.故选D.2.(2019江西新八校高三第二次联考)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是B,A点坐标为(3,4).则|PA|+|PB|的最小值是()A.5B.4C.25D.25-1答案D解析根据题意知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),由抛物线定义可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=22+42-1=25-1.故选D.3.已知以原点为中心,实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y=34x,焦点到渐近线的距离为6,则此双曲线的标准方程为()A.x216-y29=1B.x29-y216=1C.x264-y236=1D.x236-y264=1答案C解析双曲线的一条渐近线方程是y=34x,ba=34.|3c|32+42=6,c=10.c2=a2+b2,a2=64,b2=36,双曲线方程为x264-y236=1.4.(2019四川宜宾高三第三次诊断性考试)已知双曲线x2a2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,以它的一个焦点为圆心,半径为a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,B两点,则四边形F1AF2B的面积为()A.3B.4C.5D.6答案D解析因为双曲线x2a2-y23=1的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),双曲线的渐近线方程为y=3ax,即其中一条渐近线方程为3x-ay=0.以它的一个焦点为圆心,半径为a的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,B两点,根据焦点到渐近线的距离及双曲线中a、b、c的关系,可得|3c|a2+3=a,c2=a2+3,所以解得a=3,c=6,进而可求得切点A62,62.则四边形F1AF2B的面积为SF1AF2B=2SF1AF2=2122662=6.故选D.5.如图F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的虚轴长为.答案2解析设双曲线C2的半实轴长为a,半虚轴长为b,则|AF2|-|AF1|=2a,|AF2|+|AF1|=22=4,|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2=(24-1)2=12,42+(2a)22=12,a2=2,b2=c2-a2=3-2=1.2b=2,即C2的虚轴长为2.命题角度3求椭圆、双曲线的离心率高考真题体验对方向1.(2019全国10)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50答案D解析由已知可得-ba=tan130=-tan50,则e=ca=1+ba2=1+tan250=1+sin250cos250=sin250+cos250cos250=1cos50.故选D.2.(2019天津6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案D解析由抛物线方程可得l的方程为x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由y=-bax,x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故选D.3.(2019全国12)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案A解析如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故选A.4.(2018全国4)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223答案C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以椭圆C的离心率e=ca=22.5.(2018全国11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1答案D解析不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90,PF2F1=60,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.6.(2017全国5)若a1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)答案C解析由题意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.因为a1,所以11+1a22.所以1eb0)的左、右焦点,P为直线x=2a上一点,F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,且直线PF1的斜率为13,则椭圆E的离心率为()A.1013B.58C.35D.23答案A解析由题意,因为F2PF1是底边为PF1的等腰三角形,|PF2|=|F2F1|.因为P为直线x=2a上一点,直线PF1的斜率为13,PDF2是直角三角形,所以2a+c32+(2a-c)2=4c2,可得13e2+16e-20=0,解得e=ca=1013或e=-2(舍去).故选A.4.(2019黑龙江大庆实验中学高三下学期二模)在平面直角坐标系xOy中,点P为椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的下顶点,M,N在椭圆上,若四边形OPMN为平行四边形,为直线ON的倾斜角,若6,4,则椭圆C的离心率的取值范围为()A.0,63B.0,32C.63,32D.63,223答案A解析OP在y轴上,且平行四边形中,MNOP,M、N两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即M,N两点关于x轴对称,而MN=OP=a,可设Mx,-a2,Nx,a2,代入椭圆方程得|x|=32b,得N32b,a2.因为为直线ON的倾斜角,tan=a232b=a3b,因为6,4,33tan1,33a3b1.1ab3.33ba1.13b2a21.而e=ca=1-b2a2.0b0)的左、右焦点分别为F1,F2,其焦距为2c,点Qc,3c2在椭圆的内部,点P是椭圆C上的动点,且|PF1|+|PQ|3c2.2b23ac,即2c2+3ac-2a20,2e2+3e-20.解得0e12.|PF1|+|PQ|=2a-|PF2|+|PQ|,|PQ|-|PF2|QF2|,且|QF2|=3c2,要使|PF1|+|PQ|4|F1F2|恒成立,即2a-|PF2|+|PQ|2a+3c242c,2a413.则椭圆离心率的取值范围是413,12.命题角度4圆锥曲线的中点弦与焦点弦问题高考真题体验对方向1.(2014全国10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A.303B.6C.12D.73答案C解析由已知得焦点F为34,0,则过F且倾斜角为30的直线方程为y=33x-34.联立方程y=33x-34,y2=3x,消去y得x2-212x+916=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=212.又直线AB过焦点F,|AB|=x1+x2+32=212+32=12.故选C.2.(2013全国10)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案D解析设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2),AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x2=kAB=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.故选D.典题演练提能刷高分1.已知双曲线E:x24-y22=1,直线l交双曲线于A,B两点,若A,B的中点坐标为12,-1,则l的方程为()A.4x+y-1=0B.2x+y=0C.2x+8y+7=0D.x+4y+3=0答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124-y122=1,x224-y222=1,x12-x224-y12-y222=0.x1+x24-kly1+y22=0.2124-kl-122=0.kl=-14,l:y-(-1)=-14x-12,整理得2x+8y+7=0.2.以双曲线的中心为原点,F(0,-2)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线相交于M,N两点,且MN的中点为P(3,1),则双曲线的方程为()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.y23-x2=1D.x2-y23=1答案B解析由题意设该双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),M(x1,y1),N(x2,y2),则y12a2-x12b2=1且y22a2-x22b2=1,则(y1+y2)(y1-y2)a2=(x1+x2)(x1-x2)b2,即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2,则y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1,即b2=3a2,则c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,即该双曲线的方程为y2-x23=1.故选B.3.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为()A.3B.2或4C.4D.2答案B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),y12=2px1,y22=2px2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=2p(