高考数学二轮复习 专题九 第1讲 函数与方程思想配套课件 理.ppt

专题九数学思想方法 第1讲函数与方程思想 思想方法概述 热点分类突破 真题与押题 思想方法概述 1 函数与方程思想的含义 1 函数的思想 是用运动和变化的观点 分析和研究数学中的数量关系 是对函数概念的本质认识 建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题 从而使问题获得解决 经常利用的性质是单调性 奇偶性 周期性 最大值和最小值 图象变换等 3 2 方程的思想 就是分析数学问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构造方程 通过解方程或方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决 方程的教学是对方程概念的本质认识 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题 方程思想是动中求静 研究运动中的等量关系 2 和函数与方程思想密切关联的知识点 1 函数与不等式的相互转化 对函数y f x 当y 0时 就化为不等式f x 0 借助于函数的图象和性质可解决有关问题 而研究函数的性质也离不开不等式 2 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点去处理数列问题十分重要 3 在三角函数求值中 把所求的量看作未知量 其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式 那么问题就能化为未知量的方程来解 4 解析几何中的许多问题 例如直线与二次曲线的位置关系问题 需要通过解二元方程组才能解决 这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 5 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 建立空间直角坐标系后 立体几何与函数的关系更加密切 热点一函数与方程思想在不等式中的应用 热点二函数与方程思想在数列中的应用 热点三函数与方程思想在几何中的应用 热点分类突破 例1 1 f x ax3 3x 1对于x 1 1 总有f x 0成立 则a 热点一函数与方程思想在不等式中的应用 解析若x 0 则不论a取何值 f x 0显然成立 当x 0即x 0 1 时 当x 0即x 1 0 时 因此g x min g 1 4 从而a 4 综上a 4 答案4 2 设f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x0 且g 3 0 则不等式f x g x 0的解集是 解析设f x f x g x 由于f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 得f x f x g x f x g x f x 即f x 在r上为奇函数 又当x0 所以x0时 f x 也是增函数 因为f 3 f 3 g 3 0 f 3 所以 由图可知f x 0的解集是 3 0 3 答案 3 0 3 变式训练1 1 若2x 5y 2 y 5 x 则有 a x y 0b x y 0c x y 0d x y 0 解析把不等式变形为2x 5 x 2 y 5y 构造函数y 2x 5 x 其为r上的增函数 所以有x y b 所以f x 2x3 6x2 令f x 0得x 0或x 3 经检验知x 3是函数的一个最小值点 即f x 9恒成立 答案a 例2已知数列 an 是各项均为正数的等差数列 1 若a1 2 且a2 a3 a4 1成等比数列 求数列 an 的通项公式an 热点二函数与方程思想在数列中的应用 解因为a1 2 a2 a4 1 又因为 an 是正项等差数列 故d 0 所以 2 2d 2 2 d 3 3d 得d 2或d 1 舍去 所以数列 an 的通项公式an 2n 解因为sn n n 1 所以f x 在 1 上是增函数 故当x 1时 f x min f 1 3 要使对任意的正整数n 不等式bn k恒成立 变式训练2 1 2014 江苏 在各项均为正数的等比数列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 则a6的值是 解析因为a8 a2q6 a6 a2q4 a4 a2q2 所以由a8 a6 2a4得a2q6 a2q4 2a2q2 消去a2q2 得到关于q2的一元二次方程 q2 2 q2 2 0 解得q2 2 a6 a2q4 1 22 4 4 又数列 an 是等比数列 且数列 an 是递增数列 答案d 热点三函数与方程思想在几何中的应用 1 求椭圆c的方程 设点m n的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 所以 k的值为1或 1 变式训练3 解析设点b的坐标为 x0 y0 b 1 在高中数学的各个部分 都有一些公式和定理 这些公式和定理本身就是一个方程 如等差数列的通项公式 余弦定理 解析几何的弦长公式等 当题目与这些问题有关时 就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量 本讲规律总结 2 当问题中涉及一些变化的量时 就需要建立这些变化的量之间的关系 通过变量之间的关系探究问题的答案 这就需要使用函数思想 3 借助有关函数的性质 一是用来解决有关求值 解 证 不等式 解方程以及讨论参数的取值范围等问题 二是在问题的研究中 可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解 4 许多数学问题中 一般都含有常量 变量或参数 这些参变量中必有一个处于突出的主导地位 把这个参变量称为主元 构造出关于主元的方程 主元思想有利于回避多元的困扰 解方程的实质就是分离参变量 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 3 4 即01 所以c a b c 1 2 真题感悟 3 4 1 2 真题感悟 3 4 解析如图所示 设以 0 6 为圆心 以r为半径的圆的方程为x2 y 6 2 r2 r 0 与椭圆方程 y2 1联立得方程组 消掉x2得9y2 12y r2 46 0 令 122 4 9 r2 46 0 解得r2 50 1 2 真题感悟 3 4 故选d 答案d 3 2014 江苏 在平面直角坐标系xoy中 若曲线y ax2 a b为常数 过点p 2 5 且该曲线在点p处的切线与直线7x 2y 3 0平行 则a b的值是 1 2 真题感悟 3 4 3 4 2014 福建 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方体容器 已知该容器的底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 单位 元 1 2 真题感悟 3 4 又设该容器的造价为y元 1 2 真题感悟 3 4 所以ymin 80 20 4 160 元 答案160 押题精练 1 2 3 1 函数f x 的定义域为r f 1 2 对任意x r f x 2 则f x 2x 4的解集为 a 1 1 b 1 c 1 d 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析f x 2转化为f x 2 0 构造函数f x f x 2x 得f x 在r上是增函数 又f 1 f 1 2 1 4 f x 2x 4 即f x 4 f 1 所以x 1 答案b 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析可知 mn f x g x x2 lnx 押题精练 1 2 3 4 5 6 答案d 押题精练 1 2 3 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析当x 0时 ax3 x2 4x 3 0变为3 0恒成立 即a r 押题精练 1 2 3 4 5 6 所以 x 在 0 1 上递增 x max 1 6 所以a 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 当x 2 1 时 x 0 x 在 1 0 上单调递增 所以当x 1时 x 有极小值 即为最小值 押题精练 1 2 3 4 5 6 综上知 6 a 2 答案c 4 若关于x的方程 2 2 x 2 2 2 a有实根 则实数a的取值范围是 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析令f x 2 2 x 2 2 要使f x 2 a有实根 只需2 a是f x 的值域内的值 f x 的值域为 1 4 1 a 2 4 1 a 2 1 2 5 已知函数f x ax2 ax和g x x a 其中a r 且a 0 若函数f x 与g x 的图象相交于不同的两点a b o为坐标原点 试求 oab的面积s的最大值 押题精练 1 2 3 4 5 6 解依题意 f x g x 即ax2 ax x a 整理得ax2 a 1 x a 0 a 0 函数f x 与g x 的图象相交于不同的两点a b 0 即 a 1 2 4a2 3a2 2a 1 3a 1 a 1 0 押题精