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第二章连续模型 2 1微分方程模型2 2变分法模型 1 2 1 1微分方程建模的基本方法 1 根据规律列方程例 质量为m的球 用长为l的细线悬挂在O点 在地球引力下作往复运动 若不计悬线的质量 求摆球m的运动方程式 2 2 微元法分析 例 将一水平的金属杆的两端置于支架上 其间的距离为L 设杆件的左端维持在一固定温度 右端也维持在另一固定温度 假定右端温度小于左端温度 且温度与时间无关 此杆的导热系数为k 形状类似一个扁铁条 截面面积为A 截面周界为P 杆件表面对周围介质的传热系数设为常数a 介质杆的周围介质温度为 试确定杆件中任何点的温度与此点离热端的距离之间的关系 3 4 3 模拟近似法 例 生物种群数的增长 5 4 微分方程建模的基本步骤 由实际问题建立相应的微分方程模型 求解与分析这一模型 即求出相应的微分方程的解 或是精确解 或是近似解 其中还包括分析解的特性 利用所得的数学结果 利用解的形式和数值 利用解的定性分析 解释实际问题 从而预测某些自然现象甚至社会现象中的特定性质 以便达到能动地改造世界解决实际问题的目的 6 2 1 2超声速流与冲击波 从交通流模型谈起 7 城市交通拥阻的分析与治理 2001年全国大学生数学建模夏令营数学建模题目 许多大中城市的交通拥阻造成了时间的浪费 工作的耽误和心理的烦躁 直接 间接带来了相当大的经济损失 缓解拥阻需要多方努力 综合治理 现在请就你所了解的城市的情况 应用数学建模方法提出 分析并探讨解决城市交通拥阻问题的办法 下面的问题只是一个十字路口的典型环境下相当简化的情形 不一定限于此 8 1 在你的所在城市选择一个交通堵塞比较严重的十字路口 如图 到达十字路口的四队车流的每一队 都有直行 左转 右转三个方向 在交通高峰时间实际调查这些车流的数据 以及现行的交通调度方案 包括路口三个方向行车道的划分 红绿灯的控制等 2 分析交通堵塞的原因 提出治理方案 3 对你的方案作计算机模拟 评价其效果 9 10 交通模型 考察高速公路上形势的交通车辆的流动模型假设无穷长公路单向运动不允许超车公路无岔路 11 符号 q x t 时刻t单位时间内通过点x的车辆数 时刻t点x处单位长度内的车辆数u x t 时刻t通过点x的车流速度为速度最大值为密度最大值 12 流量与速度和密度的关系 13 连续流模型 车辆数守恒 时段 t t dt 中在区间 x x dx 内车辆数的增量应等于时段 t t dt 中通过点x的车流量减去时段 t t dt 中通过点x dx的车辆流量 14 6 规格化的参数变量t 0 1 使其相应的几何分量是有界的 而不必用另外的参数去定义边界 7 易于用矢量和矩阵表示几何分量 简化了计算 基于以上原因 目前表示自由形状大都采用参数形式 随着计算机辅助几何设计的研究 人们提出了许多自由形状的表示方法 下面就介绍几种有代表性的表示方法 15 假设有关函数连续可微 16 Greenshield模型 17 流量与密度的关系 18 连续交通流方程 19 模型求解 各种不同身高的人在一条直线上前进 人的数目足够多 可以看成是一个连续模型 以h t x 表示t时刻位于x处 或其附近 的人的身高 考察函数h t x 所满足的方程 20 模型一 所有的人以匀速a沿x轴正方向运动 在直线x at c上 h取常数值 对应于同一个人 故沿此方向对t的导数满足 21 h t x 满足的偏微分方程 22 通解公式 23 模型二 速度a随时间t以及空间坐标x变化 每个人的运动规律为此人的初始位置 沿着此常微分方程的任一积分曲线x x t h h t x t 常数 24 特例 速度和身高成正比 为简单起见 比例系数设为1 即 h h t x 满足 25 求解 求解常微分方程 沿着此常微分方程的任一积分曲线x x t h h t x t 常数于是左边常微分方程的积分曲线为直线 在其上h取常数值 且其斜率即为此常数值 26 解的表达式 过点的积分曲线为在其上 27 疏散波 初始时高个子在前 矮个子在后 人群越来越疏散 永远不会出现追赶上的现象 28 压缩波 初始时 高个子在后 矮个子在前 人群将变得越来越密集 最终要出现追赶上的现象 29 两种波的复合 30 间断交通流模型 任取一时间段及区间段进行考虑 在时段中在上车辆数的增加量应等于在时段中经过处的流量减去经过处的流量 31 32 车辆数守恒的积分形式 33 在连续可微流场中 34 解出现间断 35 间断连接条件 或者 36 37 38 39 40 41 42 43 2 1 3金融衍生物的定价 44 2020 2 4 45 一 期权基础概念 欧式期权 EuropeanOption 在未来某一确定的时间买卖某种金融资产的权利美式期权 AmericanOption 在未来一定时期内买卖某种金融资产的权利 46 欧式期权 欧式认购期权在某一个确定的到期日 以确定的价格购买某种确定的金融资产的权利 欧式认沽期权在某一个确定的到期日 以确定的价格卖出某种确定的金融资产的权利 47 美式期权 美式认购期权在未来某一段时间范围内以确定的价格购买某种确定的金融资产的权利 美式认沽期权在未来某一段时间范围内以确定的价格卖出某种确定的金融资产的权利 48 期权价格 买卖合约的双方确定的关于合约的价格 49 问题一 例 今天是2003年5月5日 X股票今天的价格为每股25元 现有一认购期权合约 其投资者可以在半年以后以25元的价格购买一股X股票 则这一合约的价格是多少呢 50 问题一解答 忽略其他因素 只考虑基础资产价格变化的影响如果半年后 该股票的价格变为27元 该期权合约的持有者选择执行该合约 盈利2元如果半年后 该股票的价格下降为23元 合约无利可图 持有者不执行该合约 规定股票价格变化只有两种可能 上升为27元的概率和下降为23元的概率相同 都是0 5 则该合约的价格应该为 51 例一中购买认购期权与直接购买股票的不同点说明 以1元购买认购期权 半年后可能盈利1元 也可能损失1元 盈利和损失的比例都是初始投资的100 但是如果投资者现在就以25元购买股票 盈利或者损失的比例都只有8 52 影响期权价格的因素 基础资产价格执行价格到期期限基础资产价格波动率无风险利率拟派发红利 53 单一因素变化对期权价格的影响 54 期权的作用 投机保值 55 期权定价理论的一般性 期权定价理论不仅仅可以用来为期权定价 原则上 只要一种资产的价格随着另一种资产的变化 期权定价理论都可以用来为该衍生产品定价 例1 煤矿的价值定价例2 菜地的价值定价 56 利率的作用 一般假定无风险利率为常数 如有必要 再放松这一假设 贴现公式假定在T时刻 为了得到数量为E的货币 在T之前的t时刻 应投入的货币数量为 57 二 金融资产变化模型 S金融资产价格t时间 资产价值的平均增长率 收益变动的标准差 描述价格变动的波动程度dx取自正态分布中的一个样本值 58 59 描述金融资产变化的简单方程 60 Wiener过程 物理学中的Brown运动数学中用Wiener过程描述Brown运动满足下列性质的dx称标准Wiener过程dx是随机变量 遵从正态分布dx的均值为零dx的值相互独立 61 dx的表达式 是在标准正态分布中取值的随机变量标准正态分布具有零均值 单位方差并且概率密度函数为 62 正态分布函数 63 数学期望 如果 是离散型随机变量 它的可能值为且定义其数学期望为 如果 是连续型随机变量 它的分布函数为定义其数学期望为 64 方差 离散型随机变量 连续型随机变量 65 一段相当长的时间T中x的变化 数学期望为0方差为T标准差为 66 任意变量S的一般的Wiener过程 均值为方差为标准差为 67 称S遵从几何Brown运动 其均值为 Sdt 方差为 标准差为 68 对数正态分布 遵从几何Brown运动的随机变量S的密度函数遵从对数正态分布 变量S的概率密度函数是 69 估计 假定有n 1个S的历史数据 定义则有 70 Ito定理 假定f S t 是S的光滑函数 随机变量S遵从几何Brown运动 则 71 期权定价的基本假定 基础资产价格遵从对数正态随机过程在期权有效期内 无风险利率r和基础资产价格波动方差 是时间的已知函数 套期保值没有交易成本期权有效期内 基础资产不付红利没有套利机会基础资产可以连续交易允许卖空 资产可以细分 72 各种符号说明 S表示基础资产t表示时间V V S t 表示期权的价值C C S t 表示认购期权P P S t 表示认沽期权E表示执行价格T表示到期日r表示利率 表示基础资产的变动程度 73 无风险投资组合 在小时间间隔中构造投资组合消除随机因素设在dt时间间隔内有一常量 并假定则利用Ito定理 得到 74 构造无风险投资组合 取 75 套利原理 假定无风险利率为r 则考虑到并选取得到 76 Black Scholes公式 77 边界条件 78 标准欧式期权边界条件 认购期权C S t 边界条件认沽期权P S t 边界条件 79 认购期权定价公式 80 认沽期权定价公式 81 问题二 有一个6个月到期的认购期权 相关股价是110 执行价是100 股票收益率波幅为0 4 无风险利率为6 求期权价值 S 110 E 100 r 0 06 T t 0 5 代入期权价格公式得到C 19 13 82 微分方程模型习题 试按年龄分组 建立用常微分方程组描述的人口模型 试对病愈后有一段时间免疫力 但不能终身免疫的传染病 建立用偏微分方程表示的数学模型 许多海生甲壳类动物通过在水中挥动生有一排排化学感觉器官的触角来捕获气味分子 在这个过程中 包含平流输送和分子扩散两个阶段 以螳螂虾为例 建立相关的到达感觉器官表面的气味分子流量模型 83 由证券市场 债券市场 期货市场 期权市场和共同基金所组成的现代资本市场 是现代市场经济体系中重要组成部分 现在资本市场的存在 在市场经济发展过程中盘活了资金 加速了资本运作 提高了资本融通的效果 从而达到了资源的有效配置 试对企业基金投资过程中所遇到的风险问题和收益问题建立相关的数学模型 并对个人投资方案做一个简要分析 84 5 石油勘探开发中 人们用测井了解地层的物理性质 电法测井应用极为广泛 当一口勘探或开发井钻完之后 将测井仪器置于井中 仪器向地层发射稳定电流 形成一个稳定的电场 通过测量某些位置的电位 推算出地层的电阻率 将电阻率数据和用其它方法确定的地层孔隙度数据综合起来就可以确定地层中的油水饱和度并推算出石油的储量 试对石油勘探中的电法测井问题建立数学模型 并给出相关的计算格式 85 参考文献 1 黄海军 城市交通网络平衡分析理论与实践 人民交通出版社 1994 2 陆化普 城市交通现代化管理 人民交通出版社 1999 3 黄卫 陈里得 智能运输系统 ITS 概论 人民交通出版社 1999 4 王炜 过秀成 交通工程学 东南大学出版社 2000 5 李维新 一维不定常流与冲击波 国防工业出版社 2003 86 6