第6章电磁解答终稿.doc

第六章 电磁感应与暂态过程6.2.1有一无限长螺线管，每米有线圈800匝，在其中心放置一个圆形小线圈，其匝数为30，其半径为1.0厘米，且使其轴线与无限长螺线管轴线平行，若在秒内，使螺线管中电流均匀地从0增到5.0安，问圆形小线圈中感应电动势为多大？解：已知长螺线管内部产生的磁感应强度为： 通过圆形小线圈的磁通匝链数为： 感应电动势的大小为： 622一无限长螺线管每厘米有200匝，载有电流1.5安，螺线管的直径为3.0厘米，在管内放置一个直么工业区规划2.0厘米的密绕100匝的线圈A，且使其轴线与无限长螺线管的轴线平行，在0.05秒内使螺线管中的电流匀速地降为0，然后使其在相反的方向匀速率地上升为1.5安，试问当电流改变时，线圈中的感应电动势有多大？此过程中感应电动势的大小、方向变不变？为什么？解：感应电动势的大小： 此过程中感应电动势的大小方向均不变。大小不变是因为是常量。 根据楞次定律判断的方向不变。623如图所示，通过回路的磁通量与线圈平面垂直且指向纸面内，磁通量依下列关系变化韦伯，式中t的单位为秒，求t=2秒时回路中感应电动势的大小和方向。解： 电动势为逆时针方向。624由两个正方形线圈构成的平面线圈，如图所示，已知a=20（厘米），b=10（厘米），今有按规律变化的磁场垂直通过线圈平面，（特），（弧度/秒）。线圈单位长度的电阻为欧/米，求线圈中感 应电流的最大值。解：当想内且0 则均为逆时针方向。故整个电路中的电动势大小为： 而 将上试代入式得 式中R。为单位长度的电阻。 625如图所示，具有相同轴线的两个圆形导线回路，小回路在大回路上面，相距为x，x远大于回路半径R，因此当大回路中有恒定电流I按图示方向流动时，小线圈所围面积之内（）的磁场可视为均匀的。现假定x以等速率而变化。（1）试确定穿过小回路的磁通量和x之间的关系；（2）当x=NR时刻（N为一正数，小回路内产生的感应电动势）；（3）若v0确定小回路内感应电流的方向。解：（1）圆形电流轴上的 当xR时 当小线圈的半径r较小时，小线圈内的B可作是均匀的，所以小线圈中的磁通量 （2）感应电动势的大小 将及 （3）由楞次定律判断，小线圈中的电流方向与大线圈中的电流方向相同。631一细导线弯成直径为d的地圆形状（如图），均匀磁场B垂直向上通过导体所在平面。当导体绕着A点垂直于半圆面逆时针以勾角速度旋转时，求导体AC间的电动势。解：在半圆之间连一补助线AC 如图6.3.1（a）所示。当闭合的BC半圆线圈在磁场中旋转时，由于转动过程中不变 +=0 =632如图所示，忽略电阻的两平行导轨上放置一金属杆，其EF段的电阻为R，有一均匀磁场垂直通过导轨所在的平面，已知导轨两端电阻为与，求当金属杆以恒导速率v运动时在杆上的电流I（忽略导轨与金属杆的摩擦及回路的自感）。解： 633一平行导轨上放置一质量为m的金属杆，其AB段的长为l，导轨的一端连接电阻R，均匀磁场B垂直地通过导轨平面（如图所示），当杆以初速度向右运动时，试求：（1）金属杆能移动的距离？（2）在这过程中电阻R所发的焦尔热；（3）试用能量守恒规律分析讨论上述结果。（注：忽略金属杆AB的电阻及它在导轨的摩擦力，忽略回路自感。）解：（1）当金属杆AB以的初速度向右运动，要产生动生电动势。由于它与电阻R组成闭合回路，载流导体AB在磁场中要受到作用力。在AB杆初始位置建立坐标OS。 。 由安培力公式得： （1）上式说明与方向相反，AB杆受到的是阻力。AB运动到一定距离就会停止。 由牛顿第2定律： （2）（1）（2）式相等： （3）将（3）式两边积分 （2）所发的焦耳热 （3）由于金属杆由初速为V。减至末速为零。动能的变化量其值正好等于在整个过程中电阻发出的焦耳热。这说明由机械能转变为电能最后转变为热能，在整个过程中符合能量守恒转换定律。634上题中如果用一恒力F拉金属杆，求证杆的速度随时间变化规律为：，其中（已知杆的初速率为0）。证：由牛顿第2定律 由于安培力的方向总与运动方向（即外力方向）相反，故写成 令 积分 因而 证毕635如图所示，AB，CD为两均匀金属棒，各长1米，放在均匀稳恒磁场中，B=2（特），方向垂直纸面向外，两棒电阻为：（欧），当两棒在导轨上分别以（米/秒），（米/秒）向左作匀速运动时（忽略导轨的电阻，且不计导轨与棒之间的摩擦），试求：（1）两棒上动生电动势的大小及方向，并在图上标出；（2）（3）两棒中点之间的电位差解：（1） =421=8 （伏） =221=4（伏） （2） 方向为顺时针。 （3） =4-2-0.54=0636导线ab弯成如图的形状（其中cd是一半圆形导线，半径r=0.10（米），ac和ab段的长度l均为0.10米，在均匀磁场B=0.5（特）中绕轴ab转动，转速n=3000（转/分），设电路的总电阻（包括电表M的内阻）为1000欧，求导线中的（1）电动势及电流的频率；（2）电动势及电流的最大值。解：（1）n=3000(转/分)=3000/60（转/分）=50（转/秒）=50（赫）线圈转动-周期电动势变化一个周期，电流变化也是一个周期，故电动势，电流的频率与线圈的转动频率是一样的 =50 (赫) （2）半圆线圈cd的通量 ， =2.47（伏） （安） =2.47 （毫安）637一圆形均匀刚性线圈，其总电阻为R半径为，在匀强磁场B中以匀角速度绕其转动（如图所示），转轴垂直于B，设自感可以忽略，当线圈平面转至与B平行时，试求：（1）等于多少？（b点是的中点即）（2）a，c两点中哪点电位高？a，b两点中哪点电位高？解：当线圈转至图示位置时，线圈中的磁通量是由大变小，线圈中电流为顺时针方向。（1）在上取任一点p，则方向向下如图所示。产生电动势 其中， （2）由前面分析已知，电流真实方向为顺时针方向， 故、两点等电位。 同理可得: = 故点电位高于点电位。641如图所示，一个限定在圆柱形体积内的均匀磁场，磁感应强度为B，圆柱的半径为R，B的量值以100高斯/秒的恒定速率减小，当电子分别置于磁场a点处，b点处与c点处时，试求电子所获得的瞬时加速度（量值与方向）各为多少？（设r=5.0（厘米）解：由于磁场的对称性，在半径相等处大小相等，方向沿圆的切线方向 L是半径为r的圆。积分方向与成右手螺旋由题知（高/秒） =0点的加速度 处的电子的加速度的方向向右。点的加速度C处的电子的加速度的方向向左。642在上题所述的变化磁场中，放置一等腰梯形金属框（如图所示）ABCD，已知AB=R，试求：（1）各边产生的感应电动势；（2）线框的总电动势的大小。解：（1）如图所示方向向里，设感应电动势的正方向与成右手螺旋关系。 沿切向，方向垂直与AD，CB。 因此 由教材中已知 ， 负号表示电动势的真实方向与正方向相反。 同理，用上述积分方法得 （2）线框的总电动势大小为： 此题也可按法拉第电磁感应定律计算。643如图所示，在半径为10厘米的圆柱形空间充满磁感应强度为B的均匀磁场，B的方向见图，其量值以310-3韦伯/米2秒的恒定速率增加，有一长为20厘米的金属棒放在图示位置，其一半位于磁场内部，另一半在磁场外部，求棒两端的感应电动势。解：用两种方法求解。已知 （一）第一种用积分方法：由上二式可知当时，为负值。由于本题向内，求上二式的积分方向取顺时针方向，负号说明的方向与积分方向相反，故圆柱内外的方向均为逆时针方向沿切向。 按积分方法求解有： （1）由图6.4.3（B）可知，AC段在均匀磁场内，其结论与上题同。感应电动势的大小为： （2）, （3）将（2）（3）式代入（1）式 （伏）（二） 第二解法：按法拉第电磁感应定律计算 选两个计算方便的回路，连接OA，OB，OC。 是AOC的面积，对于OAC回路，由于OA，OC，沿径向其上感应电动势均为0故回路的总电动势 对于COB回路，由于磁场限制在半径为R的圆柱形空间内，所以计算第二个回路所包围面积内的磁通变换率只应计算扇形面积的磁通变化率。即为扇形面积。由于OC，OB沿径向上感应电动势均为0。故回路COB的电动势 得负值说明感应电动势真实方向与标定方向相反。故的真实方向为逆时针。 （伏）644电子在电子感应加速器中，沿半径为0.4米的轨道作圆周运动，如果每转一周它的动能增加160电子伏特。（1）求转道内磁感强度B的平均变化率；（2）欲使电子获得16兆电子伏特的捅量需转多少周？共走多长路程？解：（1） 感应电动势的大小: （2） （周） 路程 （公里）651一个空心密绕的螺绕环，已知其中电流为10安的时候，自感磁链为0.01韦伯，求线圈的自感为多少？若螺绕环有100匝，求当线圈中电流为5安时的自感磁链和环内的磁通。解：绕的螺绕环，由定义 （亨） I为5安时： （韦） （韦）652已知线圈A，B中电流变化率均为50安/秒时，线圈A，B的自感电动势分别为20伏，40伏。求两个线圈的自感各为多大？解： （亨） （亨）653在长60厘米直径5.0厘米的空心纸筒上绕多少匝导线才能得到自感为6.010-3亨的线圈？解：螺线管的自感 =1208 （匝）654若已知一个空心密绕的螺绕环，其平均半径为0.10米，横截面积为6平方厘米，其线圈250匝，求它的自感，又若线圈中通电流3安求线圈中通和自感磁链。解： 654自感本是对闭合线圈定义的。但求同轴电缆长度的自感时，按下式定义：。这里就是图中面的的磁通量。设一同轴电缆，由两个同轴长圆筒组成，半径分别为、；电流由内筒流入外筒流回，求同轴电缆一段长的自感系数。 解：由安培环路定理求得两筒间磁感应的分布：面的的磁通量为=由定义=661两个共轴圆线圈，半径分别为和，匝数分别为和，相距为。设很小，则小线圈所在处的磁场可以视为均匀的。求线圈的互感系数。解：设大线圈中的电流为，则它在小线圈所在处产生的磁感应强度为 =通过小线圈磁通匝链数 = =662如图所示，两长螺线管同轴，半径分别为和（），长度为（和），匝数分别为和。求互感系数和。证：设螺线管1中通有电流，设螺线管1中通有电流=662如图所示，两长螺线在无漏磁的情况下，即，时，根据互感系数的定义：=。试证：证：由于=。=同理 = =681电路中的电流在5.0秒内达到它的稳态值的，这个电路的时间常数多大？解：稳态值为 在 秒时 =即，=12秒682一个有4欧的电阻与20亨的电感组成的电路，一直合闸瞬间的电流增加率为安秒，试求：（1）所加的电源电压（设电源无内阻）；（2）电流为10安时的增长率，及此时电感所储存的能量。解：由 =当时，=100（伏）由得当10安时，=电感储存的能量：=1000（焦）683有一电感为10亨、电阻为100欧的线圈，接在100伏无内阻的电源上。线圈与电源接通后0.1秒时。试求：（1）线圈磁能的增加率；（2）电阻上消耗焦耳热的功率；（3）电源输出的功率。解：（1）由=由对求一阶导数= = =23（瓦）（2）=40（瓦）（3）=63（瓦）684在如图所示的电路中，求合闸后、随时间变化的规律。解法一：各电流方向如图所示。对节点 （1）对回路 （2）对回路 （3）由（1）得 （4）由（2）得 （5）将（4）（5）代入（2） 解得 初始条件 代入上式得 将代入（2）得将和代入（1）得 解法二：用戴维南定理计算。把所在的支路作为负载，除去的部分作为等效电源，电路如图684（）所示。，由解方程代入初始条件得： 由原图684知=而 =685一个自感为的线圈与电阻和串联接于电源上，如图所示。试求：（1）开关闭合时间后通过线圈的电流；（2）若（伏），=5（欧），=10（欧），求时，=？解：开关闭合后回路满足微分方程： ， 初始条件 ，代入上式得 （2）当时 =686自感分别为和的线圈并联后接在内阻为，电动势为的电源上，如图所示。忽略和间的互感。试求：开关闭合后流过、及电源的电流变化规律。 解：各量的正方向如图所示解法一：各电流方向如图所示。对节点 （1）对回路 （2）对回路 （3）由（1）得 （4）由（2）得 （5）将（4）（5）代入（3）得 解得 初始条件 代入上式得 将代入（5）得积分得初始条件 代入上式得： 将、代入（3）得：687在如图所示电路中，当开关断开时，合上开关，使电感线圈（电阻为，电感为）和一电阻串联接在内阻为零电动势为的恒定电源上。在开关合上秒后，合上开关，并使开关一直保持接通。求秒前后电感上的电流随时间的变化规律。并画出曲线。解：断开，接通流过线圈的电流：时刻的电流为 时刻合上后支路满足的微分方程解得 ： 初始条件 即 解得 ：688在长为，半径为，匝数为的细长螺线管的轴线中部放置一半径为的导体圆环，并使圆环平面法线与轴线固定成（如附图）已知环的半径为,螺线管的电阻为，电源的电动势为，内阻为零。（1）求开关合上后通过圆环的磁通随时间的变化规律；（2）求开关合上后环内的电流随时间的变化规律；（3）试证圆环受到的最大力矩为 （注：（1）螺线管内外为真空；（2）圆环的自感可忽略；（3）圆环对螺线管提供的互感电动势可忽略。） 解：（1）螺线管自感系数 螺线管内的，而环内磁通 =（2）按题意，开关合上后环内感生电动势 =环内电流=（3）由 =由得，将代入对的二阶导数中得0，因此有最大值691使电路中的电容器充电，若这个电容器上的电荷达到稳态值的99%，所经过的时间为时间常数的多少倍？解：由 知电荷达到稳态值的99%，即 解得 692一电路如图所示，、均已知。当电路达到稳态后断开开关。求时间后电容两端的电压及电容的充电电流。解：开关断开后电容回路满足的微分方程为即 ，解得 初始条件 ，代入上式得=（实为放电电流）693一个带有电量的电容器，通过一个电阻接在内阻为零的电动势的电池上，证明接通后秒时电容器上的电量为.证明：电路满足的微分方程为解得 初始条件 ，代入上式得 证毕 694一个10微法的电容器充电至100伏，通过为欧的电阻放电，试求：（1）刚刚开始时的电流； （2）电荷减少一半所需的时间； （3）能量减少一半所需的时间。解：（1）放电刚开始时的电流 （安）（2）由，电荷减少一半时应有即 （秒）（3）按由题意，能量减少一半应为即 （秒）695 在如图所示电路中，在开关打开前电路已达稳态，试求： （1）开关打开后2时间电容两端电压； （2）开关打开后达稳态时电容C上储存的电场能。解：（1）开关打开后R回路满足的微分方程为 初始条件 | ，代入上式得 =- e 当t=2时 （2）按题意电容C上储存的能量 = 696 在如图所示电路中，电容两端电压已充电至=10（伏），且已知=5（千欧），=10（千欧），=（微法）。当开关闭合后，试问经过多长时间，放电电流下降到0.01毫安？解：设电容回路总电阻为=10（千欧）按题意 = （毫安），即 解得 （秒）6.9.7如图所示电路中，求开关闭合后、的变化规律（电容初始不带电）。解：附图中电流正方向给定，各量满足的方程如下：对回路 （1）对回路 （2）对节点 （3）由（3）得 = （4）将（4）代入（2）得（5） 将（5）代入（1）得解得 ,其中 初始条件初始条件 | ，代入上式得 =- （1-e） 而=6.10.1电容为