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竞赛讲座11三角运算及三角不等关系 三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。三角运算一三角运算的常规思考 三角运算主权涉及3个主要变形：角、函数名称、运算方式。其中的难点与关键在角。大量的三角运算技巧都与角的处理有关。遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。例1已知都是钝角，且，求例2设为锐角，且，求证：。二三角变换与方程数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。例3已知（），求，。三三角变换与构造法通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题例5求的值。例6求值：例7已知： 求证：对任意，恒有。例8 求满足等式的锐角。四三角法引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。例9已知，求证：。例10在中，为形内一点，、为到三边、的距离，求证：例11求函数的值域。三角不等关系 这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最值。这两个方面在处理方法上在同小异，并互为所用。一三角不等式的证明证明三角不等式注意3点：（1）三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。（2）三角不等式又有自己的特点含三角函数，因而，三角函数的单调性、有界性（或极值），正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。（3）三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证法上都有特别之处，需要加倍注意。例12若，求证：例13已知，证明：，并讨论等号成立的条件。例14已知，能否以，的值为边长，构成三角形。例15在中，角、的对边为、，求证：。例16在锐角中，求证（1）；（2）二三角最值的求解例17求函数的最大值、最小值例18求的最小值，其中例19求函数的最值。例20设，且，求乘积的最大值和最小值。习题1= 。2= 。3若，求的取值范围。4在中，的最大值为 。5设为个实数，则时，则的最小值为 。6函数的值域为 。7对任意实数，求的最大值。8在矩形中，为对角线上一点，且，于，于，求证：。9任
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