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第三章导数及其应用 3 1 3导数的几何意义 p 相切 相交 再来一次 直线pq的斜率为 pq无限靠近切线pt 相应的 y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程为 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 例1 如图 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h t 4 9t2 6 5t 10的图象 根据图象 请描述 比较曲线h t 在t0 t1 t2附近的变化情况 解 我们用曲线h t 在t0 t1 t2处的切线 刻画曲线h t 在上述三个时刻附近的变化情况 当t t0时 曲线h t 在t0处的切线l0平行于x轴 所以 在t t0附近曲线比较平坦 几乎没有下降 当t t1时 曲线h t 在t1处的切线l1的斜率h t1 0 所以 在t t1附近曲线下降 即函数h t 在t t1附近单调递减 3 当t t2时 曲线h t 在t2处的切线l2的斜率h t2 0 所以 在t t2附近曲线下降 即函数h t 在t t2附近也单调递减 与t2相比 曲线在t1附近下降得缓慢些 例2 如图 它表示人体血管中药物浓度c f t 单位 mg ml 随时间t 单位 min 变化的函数图象 根据图象 估计t 0 5 0 8时 血管中药物浓度的瞬时变化率 精确到0 1 0 0 2 0 1 0 4 0 6 0 5 1 1 0 7 0 3 1 0 0 9 0 8 0 2 0 1 0 4 0 6 0 5 1 1 0 7 0 3 1 0 0 9 0 8 t min c mg ml 解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度f t 在此时刻的导数 作t 0 5处的切线 它的斜率约为0 所以 作t 0 8处的切线 它的斜率约为 1 5 所以 因此在t 0 5和0 8处药物浓度的瞬时变化率分别为0和 1 5 求函数y f x 在点x0处的导数的方法是 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 1 求函数的增量 回顾 例3 某物体的运动方程为s t 5t2 位移单位 m 时间单位 s 求它在t 2s时的速度 解 因为 从而 所以 例4 已知曲线上一点求 点p处的切线的斜率 点p处的的切线方程 解 点p处的切线的斜率即在x 2处的导数 因为 从而 所以 点p处的的切线方程 点p处的切线的斜率是4 即直线 练习1 求曲线在点m 3 3 处的切线的斜率及倾斜角 斜率为 1 倾斜角为135 有 切线的方程为 注 学了导数的运算后 此类题有更简单的解法 如果将x0改为x 则求得的是 被称为函数y f x 的导函数 如果函数y f x 在开区间 a b 内的每点处都有导数 此时对于每一个x a b 都对应着一个确定的导数 从而构成了一个新的函数 称这个函数为函数y f x 在开区间内的导函数 简称导数 也可记作 即 小结 相应的 y f x 在点p x0 f
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