高考数学 10.3 二项式定理课件.ppt

第三节二项式定理 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 二项式定理 a b n 2 二项展开式的通项 第k 1项为 tk 1 3 二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数为 k 0 1 2 n 4 二项式系数的性质 2 必备结论教材提炼记一记 1 a b n的展开式的各个二项式系数的和等于 即 2 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和 即 2n 2n 1 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 公式代入法 赋值法 放缩法等 2 数学思想 函数与方程思想 转化与化归思想 3 记忆口诀 a加b的n次方 展开比n多一项 全组合作系数 指数之和都一样 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 在二项展开式中第k项为an kbk 2 通项an kbk中的a和b不能互换 3 二项展开式中 系数最大的项为中间一项或中间两项 4 a b n的展开式中某一项的二项式系数与a b无关 5 a b n某项的系数是由该项中非字母因数部分 包括符号等构成 与该项的二项式系数不同 解析 1 错误 在二项展开式中第k 1项为an kbk 而第k项应为an k 1bk 1 2 正确 通项an kbk中的a与b如果互换 则它将成为 b a n的第k 1项 3 错误 由二项展开式中某项的系数的定义知 二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项 而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项 4 正确 因为二项式 a b n的展开式中第k 1项的二项式系数为 显然它与a b无关 5 正确 因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分 包括符号构成的 一般情况下 不等于二项式系数 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 3p37t5 2 改编 展开式中的常数项为 解析 令10 5r 0 得r 2 故常数项为 2 2 40 答案 40 2 选修2 3p35t1 2 改编 化简 的值为 解析 因为所以答案 22n 1 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 沈阳模拟 已知 x 7的展开式的第4项等于5 则x等于 a b c 7d 7 解析 选b x 7的展开式中 所以x 2 2014 新课标全国卷 x a 10的展开式中 x7的系数为15 则a 用数字填写答案 解析 因为 所以 15 解得a 答案 3 2015 烟台模拟 化简的值为 解析 令x 1得再令x 1得两式相加得又 1 得答案 22n 1 1 考点1求二项展开式的特定项或系数 典例1 1 2014 四川高考 在x 1 x 6的展开式中 含x3项的系数为 a 30b 20c 15d 10 2 2014 湖南高考 x 2y 5的展开式中x2y3的系数是 a 20b 5c 5d 20 解题提示 1 展开式中的x3项就是 1 x 6中的x2项 2 利用二项展开式的通项公式求解 规范解答 1 选c 因为x 1 x 6 x 6x2 15x3 20 x4 15x5 6x6 x7 故选c 2 选a 因为 2y 3 20 x2y3 所以x2y3的系数是 20 互动探究 第 1 题中条件不变 求展开式系数相同项共对 解析 依题意可知 x 1 x 6的展开式中系数相同的项即为 1 x 6展开式中系数相同的项 而 1 x 6展开式中系数相同的项共有3对 答案 3 规律方法 求二项展开式中的特定项或项的系数的方法 1 展开式中常数项 有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数 解决这类问题时 先要合并通项中同一字母的指数 再根据上述特征进行分析 2 有关求二项展开式中的项 系数 参数值或取值范围等 一般要利用通项公式 运用方程思想进行求值 通过解不等式 组 求取值范围 变式训练 1 2015 天津模拟 在 2x2 5的二项展开式中 x的系数为 a 10b 10c 40d 40 解析 选d tr 1 2x2 5 r 1 r 25 r x10 3r 令10 3r 1 得r 3 所以x的系数为 22 40 2 2015 新乡模拟 若 1 2x 6的展开式中的第2项大于它的相邻两项 则x的取值范围是 解析 依题意即解得答案 加固训练 设的展开式中x3的系数为a 二项式系数为b 则 解析 令6 3 得r 2 所以t3 2 2x3 60 x3 所以x3的系数为a 60 二项式系数为b 15 所以答案 4 考点2二项式系数或各项系数和的问题 典例2 1 设 1 x n a0 a1x a2x2 a3x3 anxn 若a1 a2 a3 an 63 则展开式中系数最大的项是 a 15x2b 20 x3c 21x3d 35x3 2 若 2x 3 3 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a3 x 2 3 则a0 a1 2a2 3a3 解题提示 1 在 1 x n a0 a1x a2x2 a3x3 anxn中 令x 1可得a0 a1 a2 a3 an的值 令x 0可得a0的值 2 令x 2 可得a0 令x 0 可得a0 2a1 4a2 8a3的值 规范解答 1 选b 在 1 x n a0 a1x a2x2 a3x3 anxn中 令x 1可得a0 a1 a2 a3 an 2n 令x 0可得a0 1 依题意得 2n 1 63 解得 n 6 所以展开式中系数最大的项为x3 20 x3 2 令x 2得a0 1 令x 0得27 a0 2a1 4a2 8a3 因此a1 2a2 4a3 14 因为 2x 3 30 a3 x3 所以a3 8 所以a1 2a2 3a3 14 a3 6 所以a0 a1 2a2 3a3 1 6 5 答案 5 一题多解 本题还可以用如下方法解决 由于2x 3 2 x 2 1 故 2x 3 3 2 x 2 1 3 8 x 2 3 4 x 2 2 2 x 2 1 故a3 8 a2 12 a1 6 a0 1 故a0 a1 2a2 3a3 1 6 24 24 5 答案 5 易错警示 解答本题 1 有两点易出错 1 求展开式中系数最大的项 易求为展开式中二项式系数最大的项 2 本题也易求成展开式中系数的最大值 而不是系数最大的项 规律方法 赋值法的应用 1 形如 ax b n ax2 bx c m a b c r 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 2 对形如 ax by n a b r 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 3 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为a0 a2 a4 偶数项系数之和为a1 a3 a5 变式训练 1 若展开式的二项式系数之和为64 则展开式的常数项为 a 10b 20c 30d 120 解析 选b 二项式系数之和2n 64 所以n 6 tr 1 当6 2r 0 即r 3时为常数项 t4 20 2 已知展开式中常数项为1120 其中实数a是常数 则展开式中各项系数的和是 a 28b 38c 1或38d 1或28 解题提示 令tr 1项中x的指数为0可求得常数a的值 在二项展开式中当x 1时即得各项系数的和 解析 选c tr 1 令8 2r 0得r 4 由条件知 a4 1120 所以a 2 令x 1得展开式各项系数的和为1或38 加固训练 2015 西安模拟 1 3x n 其中n n 且n 6 的展开式中 若x5与x6的系数相等 则n a 6b 7c 8d 9 解析 选b 二项式 1 3x n的展开式的通项是 3r xr 依题意得 即 n 6 解得n 7 考点3二项式定理的应用知 考情二项式定理是高考考查的重点内容 二项式定理与其他知识交汇是一个重要的考向 常与不等式 函数 整除问题等知识综合 以选择题 填空题的形式出现 明 角度命题角度1 与整除有关的问题 典例3 2015 潍坊模拟 设a z 且0 a 13 若512012 a能被13整除 则a a 0b 1c 11d 12 解题提示 将512012分解成适合二项式定理的形式 规范解答 选d 由于51 52 1 52 1 2012 又由于13整除52 所以只需13整除1 a 0 a 13 a z 所以a 12 命题角度2 二项定理与函数的交汇 典例4 2013 陕西高考 设函数f x 则当x 0时 f f x 表达式的展开式中常数项为 a 20b 20c 15d 15 解题提示 先根据分段函数求出f f x 的表达式 写出二项展开式的通项公式 合并通项公式中同一字母的指数 令其指数为零 求出r的值 代回通项公式 得到常数项 规范解答 选a 当x 0时 f x 0 则f f x 令3 r 0 得r 3 此时t4 1 3 20 悟 技法1 利用二项式定理解决整除问题的思路利用二项式定理解决整除问题时 基本思路是 1 观察除式与被除式间的关系 2 将被除式拆成二项式 3 结合二项式定理得出结论 2 二项式定理与函数交汇问题的思路二项式从某种意义上可视为函数解析式 因此该综合问题实际上是以函数为载体 以二项式定理为工具的问题 解题思路为 首先将函数具体化 并呈现二项式的形式 然后利用二项式定理的相关知识解决问题 通 一类1 2015 厦门模拟 1 2x 2014 a0 a1x a2014x2014 x r 则的值为 a 2b 0c 1d 2 解析 选c 所以因为所以 2 2015 济宁模拟 22012被9除所得余数是 a 4b 5c 7d 8 解析 选a 因为22012 4 23 670 4 9 1 670 根据二项式定理展开可知最后一个因式不能被9整除 那么余数即为4 3 2015 张掖模拟 已知a为执行如图所示的程序框图输出的结果 则二项式的展开式中含x2项的系数是 a 192b 32c 96d 192 解析 选d a的计算结果依次是 2 1 2 成周期性变化 周期为3 当i 2011时运行结束 2011 3 670 1 所以 a 2 所以令3 r 2 得r 1 所以 含x2项的系数是 4 2015 唐山模拟 已知 x m 7 a0 a1x a2x2 a7x7的展开式中x4的系数是 35 则a1 a2 a3 a7 解析 依题设知x4的项为x4 m 3 m 3 35x4 35m3x4 又x4的系数为 35 所以 35 35m3 m 1 在 x 1 7 a0 a1x a2x2 a7x7中 令x 1有 0 a0 a1 a2 a7 令x 0得 1 a0 故a1 a2 a3 a7 0 a0 0 1 1 答案 1 创新体验8以二项式定理为载体的创新问题 创新点拨 1 高考考情 以二项式定理为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点 此类问题常以 问题 二项式 为核心 以 探究 为途径 以 发现 为目的 这类试题以二项式为依托 考查学生的理解能力 解决创新问题的能力 2 命题形式 常见的有新概念 新法则 新运算等 新题快递 1 2014 浙江高考 在 1 x 6 1 y 4的展开式中 记xmyn项的系数为f m n 则f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 a 45b 60c 120d 210 解析 选c 由二项展开式的通项性质可知xmyn项的系数为f m n 所以f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 2 2015 韶关模拟 设 x 表示不超过x的最大整数 如 2 2 1 对于给定的n n 定义x 1 则当x 3 时 函数f x 的值域为 解析 选b 依定义 当x 时 x 1 f x 因f x 在 2 上是减函数 所以f 2 f x 即4 f x 当x 2 3 时 x 2 f x 因为函数g x x x 1 即g x 在x 2 3 上是增函数 所以g 2 g x g 3 即2 g x 6 即 f x 即 f x 28 所以函数f x 的值域为 3 2014 安徽高考 设a 0 n是大于1的自然数 的展开式为a0 a1