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3 2均值不等式 证明 1 指出定理适用范围 2 强调取 的条件 定理 如果a b r 那么 证明 即 当且仅当a b时 均值定理 注意 1 适用的范围 a b为非负数 2 语言表述 两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数 看做正数a b的等比中项 那么上面不等式可以叙述为 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢 几何直观解释 令正数a b为两条线段的长 用几何作图的方法 作出长度为和的两条线段 然后比较这两条线段的长 具体作图如下 1 作线段ab a b 使ad a db b 2 以ab为直径作半圆o 3 过d点作cd ab于d 交半圆于点c 4 连接ac bc ca 则 当a b时 oc cd 即 当a b时 oc cd 即 例1 已知ab 0 求证 并推导出式中等号成立的条件 证明 因为ab 0 所以 根据均值不等式得 即 当且仅当时 即a2 b2时式中等号成立 因为ab 0 即a b同号 所以式中等号成立的条件是a b 例2 1 一个矩形的面积为100m2 问这个矩形的长 宽各为多少时 矩形的周长最短 最短周长是多少 2 已知矩形的周长是36m 问这个矩形的长 宽各为多少时 矩形的面积最大 最大面积是多少 分析 在 1 中 矩形的长与宽的乘积是一个常数 求长与宽的和的2倍的最小值 在 2 中 矩形的长与宽的和的2倍是一个常数 求长与宽的乘积的最大值 解 1 设矩形的长 宽分别为x m y m 依题意有xy 100 m2 因为x 0 y 0 所以 因此 即2 x y 40 当且仅当x y时 式中等号成立 此时x y 10 因此 当这个矩形的长与宽都是10m时 它的周长最短 最短周长是40m 2 设矩形的长 宽分别为x m y m 依题意有2 x y 36 即x y 18 因为x 0 y 0 所以 因此 将这个正值不等式的两边平方 得xy 81 当且仅当x y时 式中等号成立 此时x y 9 因此 当这个矩形的长与宽都是9m时 它的面积最大 最大值是81m2 规律 两个正数的积为常数时 它们的和有最小值 两个正数的和为常数时 它们的积有最大值 例3 求函数的最大值 及此时x的值 解 因为x 0 所以 得 因此f x 当且仅当 即时 式中等号成立 由于x 0 所以 式中等号成立 因此 此时 下面几道题的解答可能有错 如果错了 那么错在哪里 已知函数 求函数的最小值和此时x的取值 运用均值不等式的过程中 忽略了 正数 这个条件 已知函数 求函数的最小值 用均值不等式求最值 必须满足 定值 这个条件 用均值不等式求最值 必须注意 相等 的条件 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值 1 已知x 0 y 0 xy 24 求4x 6y的最小值 并说明此时x y的值 4已知x 0 y 0 且x 2y 1 求的最小值 2
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