第5章 区间估计与假设检验.ppt

第五章区间估计与假设检验 经典正太线性回归模型 统计学预备知识 区间估计基本概念 回归系数 1和 2的置信区间 2的置信区间 一 经典正太线性回归模型 所谓统计推断的经典理论由两个分支构成 即估计和假设检验 前面讨论了双变量线性回归模型的参数估计问题 用OLS方法 估计参数 1 2 2 在经典线性回归模型的假定下 可以证明 和这些参数的估计量满足线性性 无偏性和最小方差 BLUE 估计量的值随样本变化而变化 因此 这些估计量都是随机变量 估计是成功的一半 假设检验是另一半 回归分析的目的 不仅仅是估计样本回归函数 而是要用估计来对总体回归函数进行推断 我们想知道 和与真实的和有多接近 由于 和是随机变量 所以我们需要清楚它们的概率分布 若不知其概率分布 那我们就无法将它们与其真实值相联系 1 干扰项ui的概率分布 为得到OLS的概率分布 我们将专门考虑 4 1 1 其中假定X为固定或非随机的 则条件回归分析就以Xi的固定值为条件 方程 4 1 1 表明 是Yi的一个线性函数 Yi根据假定是随机的 由于则由于ki 系数和Xi都是固定的 所以最终是ui的一个线性函数 假定ui为随机变量 则的概率分布将取决于对ui的概率分布所做的假定 在上一章 我们把普通最小二乘法应用于经典线性回归模型时 并没有对干扰项ui的概率分布做出假定 对这些ui所做的假定仅是 1 它们的期望值为零 2 它们是不相关的 3 它们有一个不变的方差 有了这些假定 OLS中估计量满足诸如无偏性和最小方差的统计性质 但是 我们的兴趣不仅要得到 还要利用它对真值做出推断 或者说 我们的目的不仅是要得到样本回归函数 还要用它来推测总体回归函数 尽管有了高斯 马尔可夫定理 但由于OLS法不对ui的概率性质做任何假定 仍难以从SRF去推断PRF 对这一不足 在回归分析中 人们常常假定ui遵从正态分布 在第4章中讨论的经典线性回归模型的假定中增加ui的正态性假定 就得到了所谓的经典正态线性回归模型 classicalnormallinearregressionmodel CNLRM 2 关于ui的正态性假定 经典正太线性回归假定每个ui都是正态分布的 并且 均值 方差 协方差 这些假定可更简洁的表述为 其中代表 其分布为 N代表 正态分布 括号中的两项代表正态分布的两个参数 均值和方差 性质 对两个正态分布变量来说 零协方差或零相关就意味着两个变量互相独立 因此 在正态性假定下 ui和uj协方差为零不仅意味着它们不相关 而且它们是独立分布的 可写成 NID表示正态且独立分布 normallyandindependentlydistributed 为什么是正态假定 ui代表回归模型中未明显引进的许多自变量 对因变量 的总影响 我们希望这些影响是微小的而且是随机的 利用统计学中著名的中心极限定理 centrallimittheorem 就能证明 如果存在大量独立且相同分布的随机变量 那么随着这些变量的个数无限增大 它们的总和将趋向正态分布 回顾中心极限定理 令为n个独立的 有均值 方差 的相同PDF的随机变量 令 样本均值 那么 2 正态分布的一个性质是 正态分布变量的任何线性函数都是正态分布的 OLS估计量和是ui的线性函数 因此 若ui是正态分布的 则和也是正态分布的 3 正态分布是一个比较简单 仅有两个参数的分布 为人们所熟知 4 如果处理小样本或有限容量样本时 比如说数据少于100次观测 那么正态假定就起到关键作用 它不仅有助于推导出OLS估计量精确的概率分布 而且使我们能用t F和卡方来对回归模型进行检验 3 在正态性假定下OLS估计量的性质 它们是无偏的 它们有最小方差 连同性质1 就意味着它们是最小方差无偏的或者说它们是有效估计量 efficientestimators 一致性 就是说 随着样本含量无限增大 估计量将收敛到它们的真值 ui的线性函数 是正态分布的 均值 方差 方差 或者写成 定义标准正态化变量 Z服从标准正态分布 写作 5 ui的线性函数 是正态分布的 均值 方差 写成令同样的 Z服从标准正态分布 服从n 2个自由度的分布 的分布独立于 二 统计学预备知识 统计推断 点估计 参数估计的一种形式 目的是依据样本X X1 X2 Xn 估计总体分布所含的未知参数 或 的函数f 一般 或f 是总体的某个特征值 如数学期望 方差 相关系数等 比如令 那么就是真均值的一个估计量 比如 由于估计量仅提供的单一一点估计值 故称点估计量 pointestimator 区间估计 通过从总体中抽取的样本 根据一定的正确度与精确度的要求 构造出适当的区间 以作为总体的分布参数 或参数的函数 的真值所在范围的估计 与点估计相对照 在区间估计中 我们提供真 将落入其间的一个可能值域 例如 如果变量X是正态分布的 则样本均值也是正态分布的 且其均值 方差 2 n 即估计量的抽样或概率分布是 因此我们可以构造区间 并这样的区间约有95 的概率包含真 那么我们正在构造着 的一个区间估计 注意上面所给的区间依据于一个样本变到另一个样本的 所以是随机的 例如 0 05 则1 0 95 意味着如果我们构造一个置信系数为0 95的置信区间 所构区间有95 的概率含有真 时 一般的 如果置信系数是1 我们常说有一个100 1 置信区间 就是显著性水平 levelofsignificance 构造两个估计量和 两者都是样本X值的函数 使得即我们可以说从到的区间里含有真 的概率是1 此区间被称为 的置信度为1 的置信区间 confidenceinterval 而1 成为置信系数 confidencecoeffiect 例 假定总体中男子身高是正态分布的 其均值 英寸且 2 5英寸 从总体中取一个100人的随机样本 其平均身高为67英寸 求总体平均身高 的一个95 的置信区间 解 由于在本咧中 查表可见 将给定的 和n值代入 就得到这个95 的置信区间为 2 假设检验 假定随机变量X有一已知的概率密度函数f x 其中 是分布的参数 在取得一个大小为n的样本之后 我们得到点估计量 由于真 鲜为人知 提问 这个估计量是否与某个假设的 值相符 比方说 是一个特定的 假定的 数值 称虚拟假设 nullhypothesis 通常记为 与虚拟假设相对的是对立假设 alternativehypothesis 通常记为 可叙述为 一个假设被称为简单的 如果它确定了分布的各参数的各一个值 否则就称为复合假设 例如如果 并且这是一个简单假设 如果因为 的值未被确定 这是一个复合假设 为了检验虚拟假设 即检验其真实性 我们利用样本信息以获得检验统计量 teststatistic 统计检验量常常就是未知参数的点估计量 然后我们试图找出检验统计量的抽样或概率分布 并利用置信区间或显著性方法去检验虚拟假设 接上例 考虑一个总体中的男子身高 X 现假设问题是 这个检验统计量为的样本会来自均值为69的总体吗 直觉上 如果 足够接近 我们也许不会拒绝虚拟假设 否则我们宁可拒绝它而接受对立假设 因为 所以检验统计量的分布是 既然知道了的概率分布 可以根据建立 的一个100 1 置信区间 然后看此置信区间是否包含 如果包含 就不拒绝虚拟假设 如果不包含 就可拒绝虚拟假设 例如 取 0 05 将有一个95 的置信区间 如果此区间包含 由于这样建立起来的区间每100个中有95个会含有 我们就不拒绝虚拟假设 怎样决定是否足够接近 呢 有两种方法 1 置信区间法 2 显著性检验法 1 置信区间法 置信区间法操作步骤 因 从而Zi是一个标准正态变量 于是由正态分布表知 即整理得 这就是 的一个95 置信区间 一旦建立了这个区间 我们所要做的不外是看是否落入此区间 如果落入 就不拒绝虚拟假设 如果不落入则拒绝之 例 我们已建立 的一个95 的置信区间 即此区间显然不包含 69 因此我们能以95 置信系数拒绝真 是69的虚拟假设 落入拒绝域 拒绝域 拒绝域 接受域 用假设检验的语言说 我们所建立的置信区间叫做接受域 acceptanceregion 接受域以外的区域叫做虚拟假设的临界域 criticalregion 或拒绝域 regionsofrejection 接受域的上下限 与拒绝域的分界线 叫做临界值 criticalvalues 拒绝域是当原假设为真时 不太可能发生或发生概率很低的检验统计量的数值的集合 如果使用样本数据时所取得的检验统计量的值落入了概率很低的区域中 则该检验统计量不太可能具有之前假设的分布 因此原假设不太可能为真 因此 用假设检验的语言说 如果假设值落入接受区间 就不可拒绝虚拟假设 否则可以拒绝 在决定拒绝或不拒绝H0时 我们可能犯两类错误 1 拒绝一个事实上是真的H0 第I类错误 typeIerror 这种当虚拟假设为真而拒绝虚拟假设的错误又称为据真错误 其概率通常用 表示 并称为显著性水平 levelofsignificance 2 没有拒绝一个不真的H0 第II类错误 typeIIerror 即接受了错误的虚拟假设 这类错误的概率记为 并把不犯II类错误的概率1 称为检验的功效 powerofthetest 检验的功效就是它拒绝一个错误假设的能力 第一类错误就是拒真错误 为了降低第一类错误的概率 就要尽可能的做接受的推断 随之带来的就是可能把假的也当成真的接受了 这就导致纳伪错误的增加 即增加第二类错误发生的概率 这样本容量固定的前提下 两类错误的概率不能同时减少 为了同时减少两类错误的概率就得增加样本容量 当样本含量一定时 愈大 愈小 反之 愈小 愈大 P值或准确显著性水平 除预选某个任定的 水平外 还可求一个检验统计量的p 概率 值或准确的显著性水平 P值被定义为 虚拟假设可被拒绝时所看到的最低显著性水平 假使在一项应用中我们得到一个自由度为20的t值为3 552 从表中看到 获得一个等于或大于3 552的t值的p值或准确概率是0 001 单尾 或0 002 双尾 我们说所观测的t值3 552是在0 001或0 002水平上统计上显著的 2 显著性检验方法 回顾在任一给定应用中 和n是已知的 或可以估计的 而真 和 是未知的 如果规定 并在H0下假定 我们就能计算出Zi 然后查正态分布表以得到所算的Z值的概率 如果是一个小的概率 比如小于5 或1 就可拒绝虚拟假设 如果假设真实 那么获得所算的Z值的机会应该很大 在本例中由于使用了Z变量 故称此检验为Z检验 例 如果 则Z统计量为 查表知 超出3或 3的Z值概率约为0 001 因此超过 8的概率更小 因此可拒绝 69这个虚拟假设 也就是说给定 69而得到为67的机会微乎其微 图A 15Z统计量的分布 当我们说一个检验是显著的 通常的意思是我们可以拒绝虚拟假设 而如果一个检验统计量被认为是显著的 得到它的概率等于或小于犯I类错误的概率 例如 0 05 我们知道得到一个等于 1 96或1 96的Z值的概率是5 在我们的说明性例子中 Z 8 由此得到的Z值的概率比2 5 小得多 大大低于预定的犯I类错误的概率 这就说明为什么所算的Z 8是统计上显著的 也就是为什么拒绝 69这个虚拟假设 某种产品的直径为6cm时 产品为合格 现随机抽取100件作为样本进行检查 得知样本平均值为6 1cm 现假设标准差为0 2cm 令 0 05 检验这批产品是否合格 检验统计假设的步骤归纳如下 步骤1 叙述虚拟假设H0和对立假设H1 如 步骤2 选择检验统计量 如 步骤3 确定检验统计量的概率分布 如 步骤4 选定显著性水平 犯I类错误的概率 步骤5 利用检验统计量的概率分布 建立一个100 1 置信区间 如果虚拟假设下的参数值 如 落入此置信区间即接受域 则不拒绝虚拟假设 如果落在此区间之外 即落入拒绝域 就可拒绝虚拟假设 当你拒绝一个虚拟假设时 你正冒着100 次的犯错误风险 三 区间估计基本概念 在重复抽样中估计值的均值可能会等于真值 但由于抽样波动 单一估计值很可能不等于真值 在统计学中 一个点估计量的可靠性由它的标准误差来衡量 因此 我们不能完全信赖一个点估计值 而是要围绕点估计量来构造一个区间 如 在点估计量的两旁各划出宽为2或3个标准误的一个区间 使得它有95 的概率包含着真实的参数值 这就是区间估计的粗略概念 假定我们想知道离有多 近 可以试求两个正数和 位于0与1之间 使得随机区间 randominterval 包含的概率为1 用符号表示 这样一个区间存在的话 就称之为置信区间 confidenceinterval 1 称置信系数 confidencecoefficient 而 0 1 称显著性水平 levelofsignificance 置信区间的端点称为临界值 criticalvalue 为置信下限 为置信上限 5 2 1 注意 5 2 1 中的区间是一个随机区间 它从给一个样本变到另一个样本 因为它是根据来构造的 是随机的 如果在重复抽样中 像 5 2 1 那样 在1 的概率基础上构造置信区间多次 那么从长期看 平均的说 这些区间将有100 1 次包含着参数的真值 只要尚不知道 区间 5 2 1 就是随机的 但是 一旦我们有了一个特定的样本并获得的一个特定的数值 区间 5 2 1 就不再是随机的 而是固定的了 这时 我们不能说一个给定了的固定区间包含真实的概率是1 在这种情况下 要么落入这个固定区间内要么落在区间外 概率只能是1或0 比如 求得95 置信区间是 我们就不可以说这个区间包含真实的概率是95 这个概率不是1就是0 四 2的置信区间 在正态性假定下 变量 遵循自由度为n 2的分布 卡特希尔P73 回顾令为独立标准化正态变量 零均值 单位方差 则量 遵从k个自由度 df 的分布 这里df一词指上述总和中独立的量的个数 5 4 1 其中居于双重不等式中间的值由 5 4 1 给出 而和是得自数值表中自由度为n 2的两个值 临界值 使得它们各切去分布的100 1 的尾部面积 如图 整理得 这就给出 2的100 1 置信区间 例 对于自由度为8的表给出下列临界值 表示值超过17 5346的概率是2 5 因此根据得 五 回归系数 1和 2的置信区间 1 2的置信区间 在ui的正态性假定下 OLS估计量和本身就是正态分布的 因此 以为例 变量是一个标准正态化变量 如果真实的总体方差已知 可利用正态分布对 2做概率性表达 但是很少知道 在实践中用无偏估计量来测定 5 3 1 如果用代替 5 3 1 可写成 证明见后 这样定义的t变量遵循自由度为n 2的t分布 注意 5 3 2 和 5 3 1 的区别 我们不用正态分布 而是用t分布来建立 2的置信区间 如下 是由显著水平为 2和自由度为n 2的t分布给出的t变量值 常常被称为在 2显著水平上的临界值 估计量 参数 估计量的标准误差的估计值 回顾t分布如果Z1是一标准化正态变量 而另一变量Z2遵从自由度为k的分布且独立于Z1 则如下定义的变量 令 重新整理得 更简洁的写成 2的一个100 1 置信区间 类似地 可以写出 或写成 1的一个100 1 置信区间 注意给出的 1和 2的置信区间有一重要特点 置信区间的宽度与估计量的标准误差成比例 标准误差越大 置信区间越宽 对未知参数的真值进行估计的不确定性越大 因此估计量的标准误差被喻为估计量的精度 例 若取 5 求 2的置信区间 解 查表得 2的95 置信区间应该为即或 对这个置信区间的解释是 给定置信系数95 从长远看 在类似于 0 4268 0 5914 的每100个区间中 将有95个包含着真实 2值 但要注意 我们不可以说 这个特定的区间有95 的概率包含着真实的 2 因为这个区间已经固定而不再是随机的了 那么 2要么落入其中 要么落在其外 因此 这个给定的固定区间包含着真实的 2的概率不是1就是0 2 1的置信区间 仿照上例 容易证实 在消费 收入一例中 1的95 的置信区间是 即仍需留意 每100个区间中有95个将包含真实的 1 但这个特殊的固定区间含有 1的概率则是1或0 六 假设检验 一般地 假设有三种形式 1 双侧检验 H0 0 H1 0 2 左侧检验 H0 0 H1 0或H0 0 假使我们公设 就是说在虚拟假设下MPC是0 3 而在对立假设下MPC大于或小于0 3 对立假设是一个复合假设 就是双侧假设 two sidedhypothesis 这样的双侧假设 常常反映着我们对于对立假设偏离虚拟假设的方向没有一个强有力的先验性或理论性期望 双侧或双尾检验 所观测的是否与H0相符 引入置信区间 在重复抽样意义下 置信区间以95 的置信系数给出真值落入其中的一个范围或界限 从而给出了可信的虚拟假设的一个集合 虚拟假设的落入这个100 1 置信区间 我们就不拒绝虚拟假设 如果它落在区间之外 我们就可拒绝虚拟假设 决策规则 构造一个的100 1 置信区间 如果在假设H0下落入此区间 就不要拒绝H0 但如果它落在此区间之外 就要拒绝H0 在假设H0下 落入此区间的值有100 1 可信性 因而 若果真落入此域 就不拒绝H0 拿人为的例子来说 置信区间 显然落在给出的95 置信区间之外 因此我们能以95 的置信度拒绝MPC的真值是0 3的假设 即使虚拟假设是真的 我们得到一个大到0 5914的MPC值 最多也只有5 的机会 这是一个小概率 在统计学中 当我们拒绝虚拟假设时 我们说我们的发现是统计上显著的 反之 当我们不拒绝虚拟假设时 我们说我们的发现不是统计上显著的 一些作者使用 统计上高度显著 一词 该词通常是指 当他们拒绝虚拟假设时 犯I类错误的概率是一个小数 通常指1 但在后面我们对p值的讨论将表明 较好的做法是 让研究者自己去决定一个统计上的发现 究竟是 显著的 中度显著的 还是 高度显著的 七 假设检验 显著性检验法 检验回归系数的显著性 t检验 显著性检验 是利用样本结果来证实一个虚拟假设的真伪的一种检验程序 显著性检验的基本思想在于一个检验统计量 作为估计量 以及在虚拟假设下 这个统计量的抽样分布 根据手中数据算出的统计量的值决定是否接受H0 回顾在正态性假定下的变量 遵循自由度为n 2的t分布 如果在虚拟假设下的真值被设定 则可做出如下置信区间表述 其中是在H0下的值 假设检验的置信区间发和显著性检验法之间的联系 在置信区间程序中 我们试图建立一个以某种概率包含有真实但未知的一个范围或区间 而在显著性检验步骤中 我们假设为某值 然后来看所计算的是否位于该假设值周围的某个置信范围之内 回到消费 收入例 df 8 若取 5 则令 则如图 因所测的落在拒绝域中 故拒绝的虚拟假设 在实践中 并不需要明显的估计出的置信区间 只需计算t值 然后看它是否落在两个t临界值之间 如该例 落入临界域内 拒绝H0 注意 如果等于假设的 t值将为零 然而随着值远离假设的值 t的绝对值将越来越大 因此 一个 大 的 t 值便是与虚拟假设相违背的迹象 对给定自由度 得到的 t 越大 其概率越小 即第I类错误的概率越小 因为我们应用了t分布 所以前述检验程序称为t检验 用显著性检验的语言说 如果一个统计量的值落在临界域内 这个统计量是统计上显著的 这时我们拒绝虚拟假设 如果一个统计量的值落在接受域中 这个检验是统计上不显著的 这时我们不拒绝虚拟假设 该例中 t是显著的 因而我们拒绝虚拟假设 前面描述的是双尾检验 如果统计量的值落在任何一尾端 则拒绝假设 若经验提示我们 MPC预期大于0 3 则有和 H1仍是一个复合假设 但它是单侧的 为检验此假设 我们利用单尾检验 如下图 表5 1显著性t检验 决策规则 假设类型 H0 虚拟假设 H1 对立假设 决策规则 拒绝H0如果 双尾 右尾 左尾 注 df 自由度 对双变量模型是 n 2 对三变量模型是 n 3 依此类推 检验 2的显著性 检验 例 df 8 在H的假设下算出取 5 的两个临界值分别是2 1797和17 5346 值落入两临界值之间 不拒绝虚拟假设 这一检验程序叫做显著性检验 卡方检验概要 H0 虚拟假设 H1 对立假设 临界域 拒绝H0如果 八 假设检验 实际操作问题 接受 或 拒绝 假设的含义 在显著性检验的基础上 如果我们 接受 虚拟假设 其实是说 根据样本证据 我们还没有理由拒绝它 而不是说 虚拟假设毫无疑问是真的 为什么 例如消费 收入一例假定假定 零 虚拟假设与 2 t 经验法则 经常检验的一个虚拟假设是 即斜率系数为零 其目的是要明确Y是否与X有任何关系 如果Y和X之间无任何关系 则诸如之类的虚拟假设就没有意义 2倍t 经验法则 如果自由度20且显著水平定在0 05 那么在绝对值上超过2时 就可拒绝虚拟假设 查附录可看到 当自由度约为20或更大时 计算的t值绝对值超过2 如2 1 在5 水平上是统计显著的 因此 对于20或更多的自由度 如果计算的t值如2 5或3 就不需要查阅t表了 当自由度小于20时 一定要查阅t表 对于单侧检验或 则对于20或更多的自由度一个超过1 73的t值在5 显著水平上单尾是统计上显著的 选择显著性水平 拒绝或不拒绝虚拟假设 关键在于 这个显著性水平或犯第I类错误的概率 拒绝了真值的假设的概率 人们通常选择把 定在1 5 或10 的水平上 然后选择一个能使犯第II类错误的概率尽可能小的检验统计量 即使检验功效最大化 如果使用p值 则选择适当 值的问题可以避免 精确的显著性水平 p值 当对给定的样本算出一个检验统计量 如t统计量 的值时 我们可以查阅适当的统计表得到一个和检验统计量一样大或更大的数值的确切概率 这个概率就叫做p值 或概率值 probabilityvalue 也叫做观测或精确显著性水平 或犯第I类错误的概率 p值是被定义为一个虚拟假设可被拒绝的最低显著性水平 还是消费 收入例 得到t值为5 86 得到一个大到5 86或更大的t值的p值是多少 查阅t表 对于自由度为8 得到这样t值的概率一定比0 001 单尾 或0 002 双尾 小的多 通过计算机得出获得5 86或更大的t值 df 8 的概率约为0 000189 这就是所测t统计量的p值 可以把 固定在某一水平 并在p值小于 时拒绝虚拟假设 九 回归分析与方差分析 TSS ESS RSS 它把总平方和分解为两个部分 解释平方和与残差平方和 对TSS的构成部分进行研究就叫做从回归的观点做方差分析 analysisofvariance ANOVA 自由度 独立观测值的个数 TSS有n 1个自由度 在计算样本均值时失去一个自由度 RSS有n 2个自由度 why ESS有1个自由度 仅指双变量情形 因为仅是的函数 表5 3双变量回归模型的ANOVA 变异来源 由于回归 由于残差 现考虑如下变量 假定干扰项ui是正态分布的且就可证明此F服从自由度为1和n 2的F分布 证明如下 前证 则服从自由度为1的分布 服从自由度为n 2的分布 在假定下化简成前式 上述F比有什么用处 若为零 则两式都给出相同的真实 2的估计 这时解释变量X与Y没有任何线性影响 Y的全部变异均由随机干扰项ui来解释 yi ui 若不为零 则两式有所不同 从而Y的变异部分归因于X 因此 这个F比就为检验虚拟假设真实是零提供了一个检验统计量 我们需要做的就是算出F值 与选定显著性水平的F临界值进行比较 或查找F统计量的p值 5 9 2 5 9 3 表5 4消费 收入一例的ANOVA表 变异来源 由于回归 由于残差 查表得自由度为1和8的F临界值为11 26 1 因此F 202 87明显是显著的 拒绝虚拟假设 从而我们可以做出收入X对消费支出有影响的结论 十 报告回归分析的结果 消费 收入例子 第一组括号内的数字代表估计的系数的标准误的估计值 第二组数字代表每个回归系数的真实总体值都是零的虚拟假设下计算出来的t估计值 第三组数字代表估计的p值 在真实总体截距值为零的虚拟假设下 得到一个大到3 8128的t值的概率仅约为0 0026 这是一个很小的概率 因此我们拒绝虚拟假设 真实总体截距不为零 同理 拒绝真实MPC是零的虚拟假设 如果真实MPC确实为零的话 我们得到一个0 5091的MPC的机会实际上为零 十一 评价回归分析的结果 根据消费 收入模型 我们可以回答这个模型拟合的有多 好 1 所估系数的符号是否与理论或事前预期相一致 先验说 消费函数中 2应试正的 在本例中确是如此 2 如果理论上认为这个关系式不仅是正的 而是是统计上显著的 在本例中是这样的吗 如5 10节讨论的 MPC不仅是正的 而且统计上显著地异于零 t估计值的p值极小 截距项系数同理 3 回归模型在多大程度上解释了消费支出的变异 可以用r2来回答 本例中r2约为0 96 这是一个很高的值 如此看来 为了解释消费支出行为 我们选用的模型算是够好的了 在结束讨论之前 我们还想看看模型是否满足CNLRM假定 检查其中关于干扰项ui的正态性 正态性检验 残差直方图正态性的雅克 贝拉 Jarque Bera 检验 此检验先计算OLS残差的偏态 skewness 和峰态 kurtosis 再使用下列检验统计量 JB统计量渐进的遵循自由度为2的卡方分布 因此 如果计算出来的卡方统计量的p值充分低 就可拒绝残差为正太分布的假设 如果p值合理的高 则不拒绝正态性假设 印度食物支出例 假设我们希望检验食物支出与总支出之间没有关系的虚拟假设 即 的估计值为0 4368 t值为5 5770 得到这