广东省高考数学 2.11变化率与导数、导数的计算配套课件 理 新人教A版.ppt

第十一节变化率与导数 导数的计算 三年9考高考指数 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 3 能根据导数定义求函数y c c为常数 y x y x2 y x3 y y 的导数 4 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 能求简单的复合函数 仅限于f ax b 的复合函数 的导数 1 导数的几何意义是考查重点 2 导数的运算是导数的基本内容 在高考中每年必考 一般不单独命题 常在考查导数应用的同时进行考查 3 题型以选择题和填空题为主 在解答题中会渗透导数的运算 1 导数的定义及几何意义 1 定义 函数在x0处的平均变化率 当 x 0时的极限 即瞬时变化率 叫做函数y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或 即 2 几何意义 函数y f x 在x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 y0 处的 切线的斜率 即时应用 1 思考 f x 与f x0 有何区别 提示 f x 是x的函数 f x0 只是f x 的一个函数值 2 曲线y x2在点 1 1 处的切线斜率是 解析 y 2x 曲线y x2在点 1 1 处的切线斜率是2 答案 2 3 函数f x lnx的图象在点 e f e 处的切线方程是 解析 f e 所求的切线方程为y f e f e x e 即y lne 化简得x ey 0 答案 x ey 0 2 基本初等函数的导数公式 1 c c为常数 2 x q 3 sinx 4 cosx 5 ex 0 x 1 cosx sinx 6 ax a 0 7 lnx 8 logax a 0且a 1 axlna 即时应用 1 y x 5 则y 2 y 4x 则y 3 y log3x 则y 4 y 则y 答案 1 5x 6 2 4xln4 3 4 0 3 导数的运算法则若y f x y g x 的导数存在 则 1 f x g x 2 f x g x 3 g x 0 f x g x f x g x f x g x 即时应用 1 y x3 sinx 则y 2 y x4 x2 x 3 则y 3 y 2x2 3 3x 2 则y 4 f x 则f x 解析 1 y x3 sinx 3x2 cosx 2 y 4x3 2x 1 3 y 2x2 3 3x 2 2x2 3 3x 2 4x 3x 2 2x2 3 3 18x2 8x 9 或 y 6x3 4x2 9x 6 y 18x2 8x 9 4 f x 答案 1 3x2 cosx 2 4x3 2x 1 3 18x2 8x 9 4 4 复合函数的导数若y f u u ax b 则yx 即yx yu ux yu a 即时应用 1 y 0 则y 2 y ex2 则y 3 y 则y 解析 1 设u 则y x y u u x 2 设u x2 则y x y u u x eu 2x 2xex2 3 设u 2x 1 则y x y u u x 答案 导数的运算 方法点睛 求函数的导数的方法 1 总原则 先化简解析式 再求导 2 具体方法 连乘积的形式 先展开化为多项式形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂 再求导 复杂分式 通过分子上凑分母 化为简单分式的和 差 再求导 复合函数 确定复合关系 由外向内逐层求导 例1 1 2011 湖北高考 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素 其含量不断减少 这种现象称为衰变 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中 其含量m 单位 太贝克 与时间t 单位 年 满足函数关系 其中m0为t 0时铯137的含量 已知t 30时 铯137的含量的变化率是 10ln2 太贝克 年 则m 60 a 5太贝克 b 75ln2太贝克 c 150ln2太贝克 d 150太贝克 2 求下列函数的导数 y x2sinx y 解题指南 1 利用已知条件先确定m0 再代入t 60求解 2 利用积的导数法则 利用商的导数法则或先化简分式再求导 规范解答 1 选d 因为m t 则m 30 10ln2 解得m0 600 所以m t 那么m 60 150 太贝克 所以选d 2 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 方法一 y 方法二 y y 即y 互动探究 把本例 2 中函数改为y 如何求导 解析 y 反思 感悟 准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则 根据所给函数解析式的特点 确定求导方法 变式备选 求下列函数的导数 1 y 2 y 3xex lnx e 3 y ln 3x 2 e2x 解析 1 y 导数的几何意义 方法点睛 导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点a x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点a x1 f x1 即解方程f x1 k 3 已知过某点m x1 f x1 不是切点 的切线斜率为k时 常需设出切点a x0 f x0 利用k 求解 提醒 审题时注意所给点是否是切点 例2 1 2011 湖南高考 曲线y 在点m 0 处的切线的斜率为 2 2011 山东高考 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 a 9 b 3 c 9 d 15 3 2011 大纲版全国卷 曲线y e 2x 1在点 0 2 处的切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为 解题指南 利用导数的几何意义 1 可以直接求出切线斜率 2 先求出切线方程 得到与y轴交点的纵坐标 3 求切线与直线y 0和y x的交点 进一步求面积 规范解答 1 选b y 所以 2 选c y 3x2 切线斜率为3 切线方程为y 3x 9 与y轴交点的纵坐标是9 3 选a 故曲线y e 2x 1在点 0 2 处的切线方程为y 2x 2 易得切线与直线y 0和y x的交点分别为 1 0 故围成的三角形的面积为 互动探究 若把本例 2 中 在点p 1 12 处 改为 过点p 1 12 其他条件不变 求此时切线与y轴交点的纵坐标 解析 当p为切点时 由例题 2 知 切线与y轴交点的纵坐标为9 当p不是切点时 设切点坐标为 x0 y0 则即 切点为 切线方程为与y轴交点的纵坐标为 反思 感悟 1 要体会切线定义中的运动变化思想 由割线 切线 由两个不同的公共点无限接近 重合 切点 2 利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时 一定要抓住切点的多面性 在曲线上 在切线上 该点处的导数是切线斜率 变式备选 2012 惠州模拟 过点 1 0 作抛物线y x2 x 1的切线 则其中一条切线为 a 2x y 2 0 b 3x y 3 0 c x y 1 0 d x y 1 0 解析 选d y 2x 1 设切点坐标为 x0 y0 则切线的斜率为2x0 1 易知其斜率存在 且y0 x02 x0 1 于是切线方程为y x02 x0 1 2x0 1 x x0 因为点 1 0 在切线上 可解得x0 0或 2 当x0 0时 y0 1 x0 2时 y0 3 这时可以得到两条直线方程 验证d正确 易错误区 导数几何意义应用的易错点 典例 2012 杭州模拟 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3和y 都相切 则a等于 解题指南 因为点 1 0 不在曲线y x3上 所以应从设切点入手来求切线方程 再利用切线与曲线y 相切求a的值 规范解答 选a 设过 1 0 的直线与y x3相切于点 x0 x03 所以切线方程为y x03 3x02 x x0 即y 3x02x 2x03 又 1 0 在切线上 则x0 0或x0 当x0 0时 由y 0与y 相切可得a 当x0 时 由y 相切可得a 1 所以选a 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 重庆高考 曲线y x3 3x2在点 1 2 处的切线方程为 a y 3x 1 b y 3x 5 c y 3x 5 d y 2x 解析 选a 由y 3x2 6x知 切线斜率为k 3 6 3 所以切线方程为y 2 3 x 1 即y 3x 1 2 2012 深圳模拟 已知f x lnx x 0 f x 的导数是 x 若a f 7 b f c f 则a b c的大小关系是 a c b a b a b c c b c a d b a c 解析 选b a f 7 ln7 又f x 故b 3 2012 江门模拟