数形结合在二次函数中的应用 理论.doc

初中二次函数教学中如何运用和培养“数形结合”的思想摘要：二次函数是初中数学的重要内容，也是学习的难点。要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，借助数形结合的思想方法，加深学生对函数概念的理解；让学生直观地理解二次函数性质；加强知识间的横向联系。运用数形结合的思想方法可以使复杂问题直观化。使学生的抽象思维能力得到发展。也为学生提供了一种简单解决问题的方法，培养学生自觉运用“数形结合”的数学思想和意识。关键词：二次函数教学 运用 培养 数形结合思想 函数是初中数学的重要内容之一，初中数学主要学习三种简单函数：一次函数、反比例函数、二次函数。二次函数是学习了一次函数和反比例函数之后所认识的另一种函数，相对前两种函数来说，二次函数反应出来的关系和性质更复杂抽象一些，是学生学习的一个难点。学生主要存在的困难是对函数概念难以理解，对各类函数中两个变量的变化关系感觉比较抽象，对函数关系的表示方法不能灵活转化。要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；下面就二次函数谈谈函数教学中如何渗透和应用数形结合思想。一、数形结合思想的概论。数形结合是初中数学的重要思想之一，包含“以形助数，以数辅形”两个方面。著名数学家华罗庚教授曾精辟的概述：“数以形而直观,形以数而入微”，其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。借助数的规范严密和精确来阐明形的属性。通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想。二、借助数形结合加深学生对函数概念的理解。初中数学课程标准中对函数概念的要求是“了解常量、变量、函数的意义，会举出函数的实例以及分辨出常量与变量以及两者之间的关系。”课本通过大量实例，如一天的气温随时间的变化而变化，邮资随邮件重量的变化而变化，园的面积随半径的变化而变化，路程、速度和时间的关系等，得出“一个量随另一个量的变化而变化”的结论，使学生感知函数问题在客观世界中是大量存在的，充分认识到建立函数概念的必要性。初中数学对函数的定义是：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。学生对于这一概念的理解比较抽象而机械的，比如学生认识一次函数和反比例函数的概念后，学生从函数表达式（关系式）可以判断两个变量间属于哪一种函数关系，但并不能透过表达式看到其中隐含的两数量间的变化关系的区别，面对新的问题是不会建立相应的函数模型解决问题，缺乏函数思想和观点，也就是对函数概念理解不全面。对函数概念理解模糊和机械的背诵函数的定义，学生不可能从本质上体会和理解数学的另一种重要思想-函数的思想。而借助数形结合加深学生对函数概念的理解。三、“数形结合”让学生直观地理解二次函数性质。二次函数中的自变量和因变量的变化比较抽象，学生难以把握，由于“数”和“形”是一种对应，而“图像”具有形象，直观的优点，能表达出具体的思维过程，有利于问题解决，因此教师可以把“数”的对应“形”找出来，利用图像来帮助学生理解二次函数的性质。教师在二次函数性质的教学中，充分让学生自己作图，通过列表格观察数据的特点，再画图像，把函数表达式的特征在图像中显示出来，逐步深入地探索二次函数的相关结论。让学生从最简单的形式y = a x2 入手，逐步过渡到y ax2 k，y a（x h）2，y a（x h）2 k 的图像，从简单到复杂，作出图像观察常数a，h，k与图像的对应关系，即完成由“数”化“形”的过程。观察二次函数图像性质时，狠抓y = ax2 的基本图像，让学生通过图像体验图像平移过程，从图像的平移变换角度认识y a（x h）2 + k 型二次函数的图像特征，深刻体会常数a，h，k 在图像中的作用，从而掌握二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、y 的最大（小）值等性质。认识研究y a（x h）2 + k 型二次函数的图像特征后，代数式的变换，得出y=ax2+bx+c型二次函数的性质。即完成由“形”化“数”的过程。通过观察常数的变化与图形变化之间的关系，学生从多方面观察函数图像的变化，发现“数”与“形”之间的对应规律。由此，学生可以根据任意一个二次函数（如：y=-2x2-9x+3）的表达式，在头脑中呈现出该函数的大致图像。同时学生根据函数图像特征，可以确定表达式中常数的取值情况。在这一过程，学生可体会“数”与“形”之间的转化，培养学生数形结合的意识。图形虽然具有直观化、具体化的特点，但要确定具体的图形性质，如：顶点坐标，与x轴的交点坐标等，在准确定量方面还必须借助代数的计算，把“形”准确表示成“数”的形式。正所谓“数以形而直观,形以数而入微”。通过由“数”化“形”， 由“形”定“数”的研究函数性质的过程，整个初中阶段，函数关系用“形”这一特殊的方法来表现，在学生面前呈现出绚丽多彩的画面。一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，其变化趋势有升也有降，反比例函数的图像是双曲线，它可以向x轴无限逼近，也可以向y轴无限逼近，其中尤其是二次函数的变化，无论是从画图像或初等讨论方法上都可以看到这种神奇的效果。所以“形”的引人给研究函数不仅带来了直观上的美好享受，更重要的是给学生带来了最直接的理性认识。使学生体会数形结合的数学思想，并在解决问题过程中自觉地加以运用。四、运用数形结合加强知识间的横向联系。二次函数与一元二次方程和一元二次不等式有着密切的联系。如何理解三者之间的关系，是学生的一个难点。借助数形结合能直观的反应出它们之间的联系，从而提高学生的综合分析能力和灵活解题的能力。例如通过下表，求方程的解与函数的图像与x轴的交点坐标，对照图形，二次函数与一元二次方程的关系便直观显现出来。方 程函 数函数图象（简图）根的判别式方程的实数根函数的图象与轴的交点（-1,0）（3,0）（1,0）无学生通过数（方程的根）与形（二次函数图像与x轴的交点横坐标）的对应，可以直观的得出结论：方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。解一元二次不等式ax2+bx+c0，初中没有学过，仍然可以引导学生借助二次函数y=ax2+bx+c的图像求出解集，发现不等式ax2+bx+c0的解集，就是抛物线位于x轴上方部分对应的自变量x的取值范围。可见数形结合在数学研究和解决问题中的起到非常重要的作用。借助数形结合，优化了学生的数学认知结构，构建了有效的知识网络，培养了学生联想和迁移问题的能力。五、具体问题中培养运用数形结合的意识。二次函数是初中数学的重要内容，因此也是考试考察的重点。正确地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易举得以解决。数形结合的思想方法在解决二次函数y=ax2+bx+c中判断常数a、b、c的正负，求平移后的抛物线解析式，比较函数值的大小等问题中经常用到。下面仅举两个例子说明。1、剖析条件，由“数”转向“形”例：已知二次函数，当x=2时有最小值-1，且它的图像与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数的解析式。剖析：本题若能根据给出条件，分析该函数图形的特征，找出关键点，解题将变得简单。因为二次函数当当x=2时有最小值-1，所以抛物线的顶点坐标为（2，-1），可以确定抛物线开口向上，且与x轴的交点横坐标为1，即过（1,0）这一点，由图形的对称性，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0），画出示意图（如右图），可用待定系数法求解。Oxy132 图1 图22、剖析图像，由“形”转向“数”例：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限,且不经过第四象限,则判断此抛物线开口及c、b、b2-4ac的正负取值情况。剖析：由题意画出图象（如图2）， 从而判断：a0, c0 对称轴：x=-0 b0 图象与x轴有两个交点： 0即b2-4ac0解决二次函数的实际问题时，注重从“形”与“数”的有机结合。 要让学生潜移默化的应用这种思想解决实际问题。综上所述，数形结合是将知识转化为能力的桥，数学疑难复杂问题要清晰化，具体化都离