2012高三解析几何习题答案解析（2）

2013届高三数学章末综合测试题（16）解析几何一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1若直线l与直线y1、x7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为() A. BC D.解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为，则 解得即可得P(5,1)，Q(7，3)，故直线l的斜 率为kPQ.答案：B2若直线x(a2)ya0与直线axy10互相垂直，则a的值为()A2 B1或2 C1 D0或1解析：依题意，得(a)1，解得a1.答案：C3已知圆(x1)2(y3)2r2(r0)的一条切线ykx与直线x5的夹角为，则半径r的值为()A. B.C.或 D.或解析：直线ykx3与x5的夹角为，k.由直线和圆相切的条件得r或.答案：C4顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线yx1截得的弦长是，则抛物线的方程是()Ay2x，或y25x By2xCy2x，或y25x Dy25x解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2mx(m0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m1，或m5，从而选项A正确答案：A5已知圆的方程为x2y26x8y0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为()A10 B20 C30 D40解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为24，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为41020，故应选B.答案：B6若双曲线1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为，则双曲线的离心率是()A3 B5 C. D.解析：焦点到准线的距离为c，焦点到渐近线的距离为b，e.答案：C7若圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2，故圆的半径为，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案：C8已知抛物线y22px(p0)，过点E(m,0)(m0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若，则()A1 B C1 D2解析：设过点E的直线方程为yk(xm)代入抛物线方程，整理可得k2x2(2mk22p)xm2k20.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2m2.由可得则1.答案：C9直线MN与双曲线C：1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|2|FN|，又(R)，则实数的值为()A. B1 C2 D.解析：如图所示，分别过点M、N作MBl于点B，NAl于点A.由双曲线的第二定义，可得=e，则=2.MPBNPA，=，即=.答案：A10在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a()A1 B2C2或2 D1或1解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0)为焦点、直线x1为准线的抛物线y24x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y2上由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组有唯一的实数解结合选项进行检验即可当a1时，抛物线y24x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a1时，线段AB的中垂线方程是yx2，易知方程组有唯一实数解综上所述，a1，或a1.答案：DX k b 1 . c o m11已知椭圆C：y21的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2|PF1|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“点”下列结论正确的是()A椭圆C上的所有点都是“点”B椭圆C上仅有有限个点是“点”C椭圆C上的所有点都不是“点”D椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”解析：设椭圆C：y21上点P的坐标为(2cos，sin)，由|PO|2|PF1|PF2|，可得4cos2sin2，整理可得cos2，即可得cos，sin，由此可得点P的坐标为，即椭圆C上有4个点是“点”答案：B12设双曲线1(a0，b0)的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|OR|的大小关系为()A|OP|2|OQ|OR| B|OP|2|OQ|OR|C|OP|2|OQ|OR| D不确定解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是yx，直线AQ的方程是y(xa)，直线AR的方程是y(xa)，直线OP的方程是yx，可得Q，R.又1，可得|OP|2|OQ|OR|.答案：C第卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13若两直线2xy20与ax4y20互相垂直，则其交点的坐标为_解析：由已知两直线互相垂直可得a2，则由得两直线的交点坐标为(1,0)答案：(1,0)14如果点M是抛物线y24x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x4)2(y1)21上，那么|MA|MF|的最小值为_解析：如图所示，过点M作MBl于点B.由抛物线定义，可得|MF|MB|，则|MA|MF|MA|MB|CB|14114.答案：415若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x1)2y24相交于P、Q两点，则_.解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中x1x2y1y2是引发思路的关键答案：316如果F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|F1B|的值为_解析：将l：yx1代入椭圆C：y21，可得x22(x1)220，即3x24x0，解之得x0，或x.可得A(0，1)，B.又F1(1,0)，则|F1A|F1B|.答案：新 课 标 第 一 网三、解答题：本大题共6小题，共70分17(10分)已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线yx2相切，求椭圆焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPMkPN时，求椭圆的方程解析：(1)由b，得b，又2a4，a2，a24，b22，c2a2b22，故两个焦点坐标为(，0)，(，0)(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，不妨设M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有1，1，两式相减，得.由题意它们的斜率存在，则kPM，kPN，kPMkPN，则.由a2，得b1.故所求椭圆的方程为y21.18(12分)已知两点M(1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2(y2)24的位置关系解析：(1)设P(x，y)，则(2,0)，(x1，y)，(x1，y)由|，得22(x1)，化简，得y24x.故动点P的轨迹方程为y24x.(2)由点A(t,4)在轨迹y24x上，则424t，解得t4，即A(4,4)当m4时，直线AK的方程为x4，w w w .x k b 1.c o m此时直线AK与圆x2(y2)24相离当m4时，直线AK的方程为y(xm)，即4xm(m4)y4m0，圆x2(y2)24的圆心(0,2)到直线AK的距离d，令d2，解得m1；令d2，解得m1；令d2，解得m1.综上所述，当m1时，直线AK与圆x2(y2)24相交；当m1时，直线AK与圆x2(y2)24相切；当m1时，直线AK与圆x2(y2)24相离19(12分)如图，已知直线L：xmy1过椭圆C：1(ab0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线L交y轴于点M，且1，2，当m变化时，求12的值解析：(1)易知b，得b23.又F(1,0)，c1，a2b2c24，椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，144(m21)0，于是.(*)L与y轴交于点M，又由1，1(1x1，y1)，11.同理21.从而1222.即12.20(12分)设G、M分别为ABC的重心与外心，A(0，1)，B(0,1)，且(R)(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|，试求k的取值范围解析：(1)设C(x，y)，则G.，(R)，GMAB.点M是三角形的外心，M点在x轴上，即M.又|， ，整理，得y21，(x0)，即为曲线C的方程(2)当k0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|.当k0时，可设l的方程为ykxm，联立方程组消去y，整理，得(13k2)x26kmx3(m21)0.(*)直线l和椭圆C交于不同两点，(6km)24(13k2)(m21)0，即13k2m20.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，于是有x1x2.则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是x0，y0kx0m，即N，又|，kkANk1，m.将m代入(*)式，得13k220(k0)，即k21，得k(1,0)(0,1)综合得，k的取值范围是(1,1)21(12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，它的一条准线方程为x2.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为，求AOB的大小解析：(1)由题意，知，2，得a，c1，故a22，b21，故椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x，或ykxb.当直线AB的方程为x时，由可求A，B.从而0，可得AOB.同理可知当直线AB的方程为x时，和椭圆交得两点A、B.可得AOB.当直线AB的方程为ykxb.由原点到直线的距离为，得.即1k2b2.又由消去y，得(12k2)x24kbx2b220.得x1x2，x1x2，从而y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2.x1x2y1y2，将1k2b2代入上式，得0，AOB90.22(12分)已知动点P与双曲线x21的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|的最大值为9.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，2)满足，求实数的取值范围解析：(1)双曲线x21的两焦点F1(2,0)、F2(2,0)设已知定值为2a，则|2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆设椭圆方程为1(ab0)|2a2