高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第六章第2课时 一元二次不等式及其解法课件.ppt

第2课时一元二次不等式及其解法 基础梳理一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 x x x1 或x x2 x x x1 x x r x x1 x x2 思考探究当a0与ax2 bx c 0的解集如何 提示 当a 0时 可利用不等式的性质将二次项系数化为正数 注意不等号的变化 而后求得方程两根 再利用 大于号取两边 小于号取中间 求解 课前热身1 若集合a x 2x 1 x 3 0 b x n x 5 则a b是 a 1 2 3 b 1 2 c 4 5 d 1 2 3 4 5 答案 b 答案 c 3 若a0的解是 a x 5a或x a或x 5ac 5a x ad a x 5a答案 b 4 教材习题改编 已知函数f x 3x2 5x 2 则使函数值大于0的x的取值范围是 5 已知 ax 1 x 1 0的解集是 x x2 则实数a的值为 解一元二次不等式的一般步骤 1 求方程ax2 bx c 0的根 2 作二次函数 f x ax2 bx c图象 3 根据对应二次函数的图象 写出不等式的解集 解下列不等式 1 2x2 4x 3 0 2 3x2 2x 8 0 思路分析 首先将二次项系数转化为正数 再看二次三项式能否因式分解 若能 则可得方程的两根 大于号取两边 小于号取中间 若不能 则再看 利用求根公式求解方程的根 而后写出解集 解 1 42 4 2 3 80恒成立 所以不等式2x2 4x 3 0的解集为r 解含参数的一元二次不等式的步骤 1 二次项若含有参数应讨论是等于0 小于0 还是大于0 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 2 判断方程的根的个数 讨论判别式 与0的关系 3 确定无根时可直接写出解集 确定方程有两个根时 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 12x2 ax a2 a r 思路分析 a要分类讨论 名师点评 解含字母参数的一元二次不等式 要把握好分类讨论的层次 一般按下面次序进行讨论 首先根据二次项系数的符号进行讨论 其次根据根是否存在即 的符号进行讨论 最后在根存在时 根据根的大小进行讨论 互动探究本例若变为ax2 2a 1 x 2 0 试解该不等式 1 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 设函数f x mx2 mx 1 1 若对于一切实数x f x 0恒成立 求m的取值范围 2 若对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 思路分析 本题 1 可讨论m的取值 利用判别式来解决 对于 2 含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题 常有两种处理方法 法一是利用二次函数区间上的最值来处理 法二是先分离出参数 再去求函数的最值来处理 一般法二比较简单 误区警示 本题中易出现漏 m 0 的情况 原因是对于二次项系数为参数的函数直觉上认定其为二次函数 实际应用问题是新课标中考查的重点 突出了对应用能力的考查 在不等式应用题中常以函数模型出现 解题时要理清题意 准确找出其中的不等关系再利用不等式的解法求解 某产品按质量可分成6种不同的档次 若工时不变 每天可生产最低档次的产品40件 如果每提高一个档次 每件利润可增加1元 但每天要少生产2件产品 1 若最低档次的产品每件利润为16元 则生产哪种档次的产品所得到的利润最大 2 若最低档次的产品每件利润为22元 则生产哪种档次的产品所得到的利润最大 思路分析 生产第x档次产品时 产品的利润 生产数量 每件利润 表示出产品利润后求利润最大时对应的x值 解 1 设生产第x档次产品时 所获利润最大 则生产第x档次产品时 每件利润为16 x 1 1 元 生产第x档次产品时 每天生产 40 2 x 1 件 所以生产第x档次产品时 每天所获利润为 y 40 2 x 1 16 x 1 2 x 3 2 648 元 当x 3时 y最大 即生产第三档次产品利润最大 2 若最低档次产品每件利润为22元 则生产第x档次产品时 每天所获利润为 y 40 2 x 1 22 x 1 2x2 882 因为x 1 6 且x n 所以当x 1时 y最大 即生产第一档次产品利润最大 名师点评 不等式应用题一般可按如下四步进行 1 认真审题 把握关键量 找准不等关系 2 引进数学符号 用不等式表示不等关系 3 解不等式 4 回归实际问题 方法技巧1 解一元二次不等式时 首先要将一元二次不等式化成标准型 即ax2 bx c 0或ax2 bx c 0的形式 2 一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c0 与一元二次方程ax2 bx c 0的关系 1 知道一元二次方程ax2 bx c 0的根可以写出对应不等式的解集 2 知道一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0的解集也可以写出对应方程的根 3 数形结合 利用二次函数y ax2 bx c的图象可以一目了然地写出一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0的解集 失误防范 1 一元二次不等式的界定 对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别 如 解不等式 x a ax 1 0 如果a 0它实际上是一个一元一次不等式 只有当a 0时它才是一个一元二次不等式 2 当判别式 0 a 0 的解集为r ax2 bx c0 的解集为 二者不要混为一谈 命题预测从近几年高考试题分析 不等式的解法是每年高考的必考内容 特别是一元二次不等式 它与一元二次方程 二次函数相联系 三者构成一个统一的整体 贯穿于高中数学的始终 解不等式的题目 有时会单独出现在选择题或填空题中 以求定义域或考查集合间关系或直接求解不等式的形式出现 难度不大 属于中低档题 有时会与函数 三角 解析几何 向量等知识相交汇 作为解题工具出现在解答题中 预测2013年福建高考 不等式仍将与其他知识交汇进行考查 重点考查学生的计算能力 规范解答 本题满分13分 2010 高考湖南卷 已知函数f x x2 bx c b c r 对任意的x r