利用轴对称求线段和的最小值问题

利用轴对称求线段和的最小值问题导学案 福建省泉州市泉港区美发中学 张素苹 指导老师 黄志平一、学习目标：能利用轴对称解决简单的线段和的最小值问题，体会图形的转化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归思想.二、学习重、难点：1.学习重点：利用轴对称将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；2.学习难点：如何利用轴对称计算线段和的最小问题.三、学习过程（一）、故事导入，提出课题l（小溪）图2问题1 如图1，有一位将军从A地出发到小溪边饮马，然后再到B地军营视察，问走什么样的路线最短呢？l（小溪）图1问题2 如图2，有一位将军从A地出发到小溪边饮马，然后再到B地军营视察，问走什么样的路线最短呢？ （二）、解决问题，形成技巧1、发现规律（1）问题3 下列各图中，点E为各图形中的定点，点P运动到何处时，所求两条线段的长度和最小？图3中，在ABC中，AB=AC，点P是顶角平分线AD上的动点，点E是AB上的定点，请问当点P运动到何处时，PB+PE和最小？ 图4中, 点P是菱形ABCD对角线AC上的动点，点E是AB上的定点，请问当点P运动到何处时，PB+PE和最小？图5中，点P是正方形对角线BD上的动点，点E是边CD上的定点，请问当点P运动到何处时，PC+PE和最小？图6中，点B、E分别是圆O上的五等分点，点P是圆O的直径DC上的动点，请问当点P运动到何处时，PB+PE和最小？图6图4图3图5（2）在画图的过程中，如何寻找对称轴？2、挑战1如图7，直线与坐标轴相交于点 A、B，点C的坐标是C(2，0)，点P在直线AB上 运动，当OCP的周长最小，点P的坐标为_.2如图8，四边形ABCD中，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使得AMN周长最小图8图7 3、挖掘本质，归纳方法这些题目都是求线段之和的最小值问题，方法都是画对称点，但是我们知道，画对称点并不能改变线段的长短，为什么我们这样一画就能求得线段之和的最小值呢?4、链接中考1.（2012兰州） 如图9，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为（ ）A130 B120 C110 D100 图95、继续挑战1如图11所示，已知二次函数y=ax2+bx+c图象经过点A（1，0），B（3，0）和点C（2，5），点P抛物线的对称轴上运动，当PAC的周长最小时，求点P的坐标.2变式：如图12所示，已知二次函数y=ax2+bx+c图象经过点A（1，0），B（3，0）和点C（2，5），点P、Q抛物线的对称轴上运动，且PQ=2，当四边形 ACPQ周长取最小值时，求点P的坐标?(三)、梳理小结，升华思想（1）本节课你学了哪些知识？还有哪些疑惑的问题？ (四)、布置作业1.等腰RTABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 .2.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 .3