高考数学总复习 第6章 第7讲 数学归纳法课件 理 新人教A版.pptVIP

不同寻常的一本书 不可不读哟 1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1个重要方法数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法 特别是数列中等式 不等式的证明 在高考中经常出现 2个必会步骤1 第一步是递推的基础 验证n n0时 n0不一定为1 要根据题目要求选择合适的起始值 2 第二步是递推的依据 归纳假设起着 已知条件 的作用 在证明n k 1时 命题也成立的过程中一定要用到它 3点必须注意1 初始值的验证是归纳的基础 归纳递推是证题的关键 两个步骤缺一不可 2 在用数学归纳法证明问题的过程中 要注意从k到k 1时命题中的项与项数的变化 防止对项数估算错误 3 解题中要注意步骤的完整性和规范性 过程中要体现数学归纳法证题的形式 课前自主导学 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 证明当n取 时命题成立 这一步是归纳奠基 2 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 这一步是归纳递推 完成这两个步骤 就可以断定命题对一切n n n n0 命题成立 2 数学归纳法的框图表示 核心要点研究 例1 2013 青岛调研 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n 3 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 审题视点 从n k到n k 1的过渡 左边增加了因式 2k 1 2k 2 减少了因式k 1 右边2k变成2k 1增加了因式 2k 1 证明 1 当n 1时 左边 2 右边 等式成立 2 假设n k k n 时 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 则当n k 1时 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 k 1 k 2 k k 2 2k 1 2k 2 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 当n k 1时等式也成立 由 1 2 可知 等式对任何n n 都成立 1 用数学归纳法证明等式问题是常见题型 其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是几 2 由n k到n k 1时 除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 1 用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式 一般有三种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是比较两个式子的大小 先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明 三是已知不等式成立 寻求变量的取值范围 2 在证明由n k到n k 1成立时 一定要用归纳假设n k时得到的中间过渡式 由过渡式到目标式的证明可以用放缩法 基本不等式 分析法等 例3 2013 保定质检 是否存在正整数m使得f n 2n 7 3n 9对任意自然数n都能被m整除 若存在 求出最大的m的值 并证明你的结论 若不存在 说明理由 审题视点 考虑到该问题与正整数n有关 故可用数学归纳法证明 观察所给函数式 凑出推理要证明所需的项 解 由f n 2n 7 3n 9得 f 1 36 f 2 3 36 f 3 10 36 f 4 34 36 由此猜想 m 36 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 显然成立 2 假设n k k n 且k 1 时 f k 能被36整除 即f k 2k 7 3k 9能被36整除 当n k 1时 2 k 1 7 3k 1 9 2k 7 3k 1 27 27 2 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由于3k 1 1是2的倍数 故18 3k 1 1 能被36整除 这就是说 当n k 1时 f n 也能被36整除 由 1 2 可知对一切正整数n都有f n 2n 7 3n 9能被36整除 m的最大值为36 证明整除问题的关键 凑项 而采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 变式探究 用数学归纳法证明42n 1 3n 2能被13整除 其中n n 证明 1 当n 1时 42 1 1 31 2 91能被13整除 2 假设当n k时 42k 1 3k 2能被13整除 则当n k 1时 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 当n k 1时也成立 由 1 2 知 当n n 时 42n 1 3n 2能被13整除 例4 2013 陕西模拟 数列 an 的前n项和为sn 且满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 2 猜想通项公式an 并用数学归纳法证明 审题视点 1 利用前n项和的关系式 对于n令值 就可以得到数列的前几项 2 结合前几项的规律 归纳猜想其通项公式 然后运用数学归纳法分为两步骤求解得到结论 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 变式探究 已知数列 an 的通项公式为an 1 n 1 n2 其前n项和为sn 1 求s1 s2 s3 s4 并猜想sn的值 2 用数学归纳法证明 1 中所猜想的结论 课课精彩无限 选题 热考秀 2012 全国高考 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xn 1 3 2 求数列 xn 的通项公式 备考 角度说 no 1角度关键词 易错分析 1 基础不扎实 应用数学归纳法解题的意识不强 不知用数学归纳法证明 2 数学归纳法解题步骤掌握不好 易忽视对初始值的验证 3 证明n k到n k 1这一步时 忽略了假设条件去证明 造成不是纯正的数学归纳法 4 不等式证明过程中 不能正确合理地运用分析法 综合法来证明 no 2角度关键词 备考建议 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 数学归纳法证明中 两个步骤缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 第二步中 归纳假设起着 已知条件 的作用 在n k 1时一定要运用它 否则就不是数学归纳法 第二步的关键是 一凑假设 二凑结论 3 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 经典演练提能 答案 c 答案 b 3 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整