高考数学一轮复习 7.2 圆的方程课件 文 新人教A版.ppt

一 圆的方程 7 2圆的方程 1 圆的定义 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆 2 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 圆心为c a b 半径为r 若圆心在坐标原点上 这时a b 0 则圆的方程就是x2 y2 r2 3 圆的一般方程 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 方程 x2 y2 dx ey f 0 1 当d2 e2 4f 0时 方程 的轨迹表示以 为圆心 为半径的圆 2 当d2 e2 4f 0时 方程 只有实数解x y 即只表示一个点 3 当d2 e2 4f 0时 方程 没有实数解 因而它不表示任何图形 二 点与圆的位置关系 判断点a x0 y0 与圆c x a 2 y b 2 r2的位置关系 可用下列方法 1 几何法 ac r 点a在圆内 ac r 点a在圆上 ac r 点a在圆外 2 代数法 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆外 三 对称问题 圆 x a 2 y b 2 r2关于直线x 0的对称圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 关于直线y 0的对称圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 关于直线y x的对称圆的方程为 x b 2 y a 2 r2 关于直线y x的对称圆的方程为 x b 2 y a 2 r2 对于一般的直线方程ax by c 0 先求出圆心p a b 关于直线的对称点p1 然后以p1为圆心r为半径写出圆的方程即可 1 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 a a b a 0 c 2 a 0 d 2 a 解析 由a2 4a2 4 2a2 a 1 0知 3a2 4a 4 0 即3a2 4a 4 0 2 a 答案 d 2 圆 x 2 2 y2 5关于原点o 0 0 对称的圆的方程为 a x 2 2 y2 5 b x2 y 2 2 5 c x 2 2 y 2 2 5 d x2 y 2 2 5 解析 点 2 0 关于 0 0 对称点 2 0 则所求圆的方程为 x 2 2 y2 5 答案 a 3 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 a x 2 2 y 1 2 1 b x 2 2 y 1 2 4 c x 4 2 y 2 2 4 d x 2 2 y 1 2 1 解析 设圆上任一点坐标为 x0 y0 则 4 设连线中点坐标为 x y 则 代入 4中得 x 2 2 y 1 2 1 答案 a 题型1圆的方程 例1求经过点a 2 4 且与直线l x 3y 26 0相切于点b 8 6 的圆的方程 分析 求圆的方程 既可以设圆的一般方程 也可以设圆的标准方程 用待定系数法求解 解析 法一 设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 则圆心c kcb 由kcb kl 1得 1 又 2 2 4 2 2d 4e f 0 82 62 8d 6e f 0 由 联立解得d 11 e 3 f 30 所求圆的方程为x2 y2 11x 3y 30 0 法二 设所求圆的圆心为c 则cb l 从而可得cb所在直线的方程为y 6 3 x 8 即3x y 18 0 由a 2 4 b 8 6 得ab的中点坐标为 3 1 又kab 1 ab的垂直平分线的方程为y 1 x 3 即x y 4 0 由 联立后 解得 即圆心的坐标为 所求圆的半径r 所求圆的方程为 x 2 y 2 选择方程的形式 标准方程或一般方程 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 点评 用待定系数法求圆的方程的一般步骤 根据题意 变式训练1求圆心在直线3x 2y 0上 并且与x轴的交点分别为 2 0 6 0 的圆的方程 解析 由题意 圆心在直线为x 2上 又圆心在直线3x 2y 0上 因此圆心为 2 3 半径为 5 即圆的方程为 x 2 2 y 3 2 25 例2 1 由直线y x 1上的一点向圆 x 3 2 y2 1引切线 求切线长的最小值 2 若实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求的最值 分析 1 由于切线垂直于过切点的半径 故切线长的平方等于圆外的点到圆心的距离与半径的平方差 2 将看作斜率 数形结合求最值 题型2与圆有关的最值问题 解析 1 如图所示 设直线上一点p 切点为q 圆心为m 则 pq 即为切线长 mq为圆m的半径 长度为1 pq 要使 pq 最小 即求 pm 的最小值 也即求直线y x 1上的点到 圆心m的最小距离 即圆心到直线y x 1的距离d 则d 2 pm 的最小值为2 pq 2 表示过点p 1 0 与圆 x 2 2 y2 3上的点 x y 的直线的斜率 由图像知的最大值和最小值分别是过p与圆相切的直线pa pb的斜率 设圆心c 2 0 又 kpa kpb 的最大值为 最小值为 点评 求与圆有关的最值问题常采用几何法 就是利用一些代数式的几何意义进行转化 如形如m 的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如t ax by的最值问题 可转化为直线在y轴上的截距的最值问题 形如m x a 2 y b 2的最值问题 可转化为两点间的距离平方的最值问题 变式训练2已知实数x y满足方程y 1 求的最大值和最小值 2 求x 2y的最大值和最小值 解析 1 y 所表示的图形为x轴上方的半圆 设半圆与x轴的交点从左至右分别为a b 看成圆上一点与 1 2 连线l的斜率 可知当l与圆切在x轴上方和过点b时 分别达到最大值和最小值 2 x 2y看成是直线x 2y b在x轴上的截距 当直线与圆切于x轴的上方和过点b时分别取得最小值2 和最大值2 例3已知p 4 0 是圆x2 y2 36内的一点 a b是圆上两动点 且满足 apb 90 求矩形apbq的顶点q的轨迹方程 分析 设ab中点为r 由 ar 2 or 2 ao 2得r点的轨迹方程 再由 pr qr 可得q点的轨迹方程 题型3与圆有关的轨迹问题 解析 设ab的中点为r 坐标为 x1 y1 则在rt apb中 ar pr 又因为r是弦ab的中点 所以 ar 2 ao 2 or 2 36 又 ar pr 所以有 x1 4 2 36 即 4x1 10 0 因此点r在一个圆上 而当r在此圆上运动时 设q x y 因为r是pq的中点 所以x1 y1 代入方程 4x1 10 0 得 2 2 4 10 0 整理得x2 y2 56 即矩形apbq的顶点q的轨迹方程为x2 y2 56 点评 求与圆有关的轨迹问题时 常用方法有 直接法 直接根据题设条件列出方程 定义法 根据圆的定义列方程 几何法 利用圆的几何性质列方程 代入法 找到已知点与所求点的关系 代入已知点满足的关系式 变式训练3如图 已知点a 1 0 与点b 1 0 c是圆x2 y2 1上的动点 连接bc并延长至d 使得 cd bc 求ac与od的交点p的轨迹方程 解析 设动点p x y 由题意可知p是 abd的重心 由已知 a 1 0 b 1 0 令动点c x0 y0 y0 0 则d 2x0 1 2y0 由重心坐标公式得 则代入x2 y2 1 整理得 x 2 y2 y 0 即为所求点p的轨迹方程 例4试求圆x2 y2 2x 1 0关于直线2x y 3 0对称的圆的方程 分析 求圆关于直线对称的问题时 只要确定对称的圆的圆心 半径不变 就能求出圆的方程 解析 圆x2 y2 2x 1 0可化为 x 1 2 y2 2 其圆心 1 0 半径 它关于直线2x y 3 0对称的圆半径不变 设所求圆心的坐标为 a b 则 题型4对称问题 解得a 3 b 2 所以 所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 2 点评 1 点p x y 关于点q m n 的对称点坐标为p1 2m x 2n y 特别地 点p关于坐标原点的对称点坐标为p x y 2 关于特殊直线的对称 点p x y 关于x轴的对称点p2 x y 点p x y 关于y轴的对称点p3 x y 点p x y 关于直线y x 的对称点p4 y x 点p x y 关于直线y x t的对称点p5 y t x t 点p x y 关于直线y x s的对称点p6 y s x s 点p x y 关于直线x x0的对称点p7 2x0 x y 点p x y 关于直线y y0的对称点p8 x 2y0 y 一般地 若点m a b 关于直线l ax by c 0的对称点为n x0 y0 则由解出x0 y0即得n点坐标 变式训练4已知圆c1 x2 y2 4与圆c2 x a 2 y 2 2 4相离 1 求实数a的取值范围 2 是否存在过点 0 的直线m 使得圆c2关于m对称的圆与c1重合 若存在 求出直线m的方程 若不存在 请说明理由 解析 1 圆c1与圆c2相离 两圆的圆心距大于两圆半径之和 2 2 解之得a2 2 假设存在满足条件的直线m 依题意m的斜率存在且不为0 设直线m的方程为y k x 则圆c1的圆心 0 0 与圆c2的圆心 a 2 关于直线m对称 消去a得2k2 5k 2 0 可求出或又由 1 知a 1不符合要求 k 2 a 4 直线方程为y 2x 5 0 综上可知 存在满足条件的直线m 1 求圆的方程时 要选择适当的方程 1 若条件与半径 圆心坐标有关 选标准式 2 若条件与半径 圆心坐标无关选一般式 研究圆的一般式方程要注意其存在的条件 2 研究与圆有关的最值问题时 注意恰当地运用几何知识 利用图形的直观性 数形结合 来分析求解 从而减少计算量 3 求解轨迹问题的方法有直接法 定义法 几何法 代入法 交轨法 参数法等 不论哪种方法 充分利用圆的几何性 质 找出动点与定点之间的关系是解题的关键 例求半径为4 与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切 且和直线y 0相切的圆的方程 错解 由题意 所求圆与直线y 0相切且半径为4 则设圆心坐标为c a 4 且方程为 x a 2 y 4 2 42 由圆x2 y2 4x 2y 4 0 得 x 2 2 y 1 2 32 可知圆心为a 2 1 半径为3 两圆相切 ca 4 3 故 a 2 2 4 1 2 72 解得a 2 2 即所求圆的方程为 x 2 2 2 y 4 2 42 或 x 2 2 2 y 4 2 42 剖析 上述错解只考虑了圆心在直线y 0上方的情形 而疏漏了圆心在直线y 0下方的情形 另外 错解中没有考虑两圆内切的情况 正解 由题意 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 由于圆c与直线y 0相切 且半径为4 可设圆心c的坐标为 a 4 或 a 4 由圆x2 y2 4x 2y 4 0 得 x 2 2 y 1 2 32 可知圆心为a 2 1 半径为3 根据两圆相切 则 ca 4 3 7或 ca 4 3 1 1 当圆心c的坐标为 a 4 时 由 a 2 2 4 1 2 72 解得a 2 2 而 a 2 2 4 1 2 12无解 所求圆的方程为 x 2 2 2 y 4 2 42 或 x 2 2 2 y 4 2 42 2 当圆心c的坐标为 a 4 时 由 a 2 2 4 1 2 72 解得a 2 2 而 a 2 2 4 1 2 12无解 所求圆的方程为 x 2 2 2 y 4 2 42 或 x 2 2 2 y 4 2 42 故所求圆的方程为 x 2 2 2 y 4 2 42 或 x 2 2 2 y 4 2 42 或 x 2 2 2 y 4 2 42 或 x 2 2 2 y 4 2 42 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 方程x2 y2 4mx 2y 5m 0表示圆的充要条件是 解析 由 4m 2 4 4 5m 0知m1 答案 b a 1 c m1 2 基础再现 方程x2 y2 ax by c 0表示圆心为c 1 2 半径为2的圆 则a b c的值分别为 a 2 4 4 b 2 4 1 c 2 4 1 d 2 4 1 解析 把方程x2 y2 ax by c 0化为标准式可得a 2 b 4 c 1 答案 b 3 视角拓展 圆x2 y2 2x 4y 1 0关于直线2ax by 2 0 a b r 对称 则ab的取值范围是 a b 0 c 0 d 解析 由题意可知直线2ax by 2 0过圆心 1 2 可得a b 1 ab 2 答案 a 4 视角拓展 直线x 2y 3 0与圆 x 2 2 y 3 2 9交于e f两点 则 eof o是原点 的面积为 a b c 2 d 解析 圆心 2 3 到直线距离d 则弦长为2 4 又o到直线的距离为 所以 eof面积s 4 答案 d 5 能力综合 已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆c x a 2 y b 2 r2及其内部所覆盖 则圆c的方程为 a x 1 2 y 2 2 5 b x 2 2 y 1 2 8 c x 4 2 y 1 2 6 d x 2 2 y 1 2 5 解析 由题意知此平面区域表示的是以o 0 0 p 4 0 q 0 2 为顶点的三角形及其内部 且 opq是直角三角形 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 故圆心是 2 1 半径是 所以圆c的方程是 x 2 2 y 1 2 5 答案 d 6 基础再现 若曲线c x2 y2 2ax 4ay 5a2 4 0上所有的点均在第二象限内 则a的取值范围为 解析 曲线c的方程可化为 x a 2 y 2a 2 4 其圆心为 a 2a 要使得圆c的所有的点均在第二象限内 则圆心 a 2a 必须在第二象限 从而有a 0 并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆c的半径 易知圆心到横 纵坐标轴的最短距离为 2a a 则有 2a 2 a 2 故a 2 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 答案 2 7 视角拓展 圆c的半径为1 圆心在第一象限 与y轴相切 与x轴相交于点a b 若 ab 则该圆的标准方程是 解析 根据 ab 可得圆心到x轴的距离为 故圆心坐标为 1 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y 2 1 答案 x 1 2 y 2 1 8 高度提升 若直线2ax by 2 0 a 0 b 0 被圆x2 y2 2x 4y 1 0截得的弦长为4 则 的最小值是 解析 因为圆的半径为2 故直线经过圆心 1 2 所以有a b 1 0 所以 a b 5 5 2 9 答案 9 9 高度提升 与直线x y 2 0和曲线x2 y2 12x 12y 54 0都相切的 半径最小的圆的标准方程是 解析 x2 y2 12x 12y 54 0可化为 x 6 2 y 6 2 18 方程是 以a 6 6 为圆心 r1 3为半径的圆 设所求圆的圆心为b 半径为r2 当圆心a b和圆b与直线相切的切点在一条直线上时 半径最小 如图 a到l的距离为5 所求圆b的直径2r2 5 r1 2 即r2 易知a b在直线y x上 ob oa r2 r1 2 b 2 2 所求方程为 x 2 2 y 2 2 2 答案 x 2 2 y 2 2 2 10 视角拓展 已知两圆x2 y2 1 x2 y2 2x 2y 1 0 1 求它们的公共弦所在直线的方程 2 求公共弦所在直线被圆o x 1 2 y 1 2 所截得的弦长 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 2 圆心o到直线x y 1 0的距离d 所求弦长为2 2 解析 1 两圆的公共弦所在直线方程为 x2 y2 1 x2 y