高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第3讲 点、直线、平面之间的位置关系配套课件 理.pptVIP

第3讲点 直线 平面之间的位置关系 1 平面基本性质即四条公理的 图形语言 文字语言 符号语言 列表 续表 2 空间线 面之间的位置关系 3 异面直线所成的角 锐角或直角 0 90 过空间任一点o分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 其范围是 1 在下列命题中 不是公理的是 a a 平行于同一个平面的两个平面相互平行b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析 选项b c d说法均不需证明 也无法证明 是公理 选项a可以推导证明 故是定理 故选a 2 下列命题正确的是 c a 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行b 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行c 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行d 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 3 如图8 3 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别为棱c1d1 c1c的中点 有下列四个结论 直线am与cc1是相交直线 直线am与bn是平行直线 直线bn与mb1是异面直线 直线am与dd1是异面直线 其中正确的结论为 图8 3 1 解析 a m c1三点共面 且在平面ad1c1b中 但c平面ad1c1b 因此直线am与cc1是异面直线 同理am与bn也是异面直线 am与dd1也是异面直线 错 正确 m b b1三点共面 且在平面mbb1中 但n平面mbb1 因此直线bn与mb1是异面直线 正确 答案 d 4 若a b a l b l p l 则 a p b p d p c l 考点1 平面的基本性质 例1 若直线l不平行于平面 且l 则 a 内的所有直线与l异面b 内不存在与l平行的直线c 内存在唯一的直线与l平行d 内的直线与l都相交 解析 不妨设直线l m 过点m的 内的直线与l不异面 故a错误 假设存在与l平行的直线m 则由m l 得l 这与l m矛盾 故b正确 c显然错误 内存在与l异面的直线 故d错误 故选b 答案 b 规律方法 直线在平面内也叫平面经过直线 如果直线不在平面内 记作l 包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点 线 面位置关系的基础 三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据 公理1是判断直线在平面内的依据 公理2的作用是确定平面 这是把立体几何转化成平面几何的依据 公理3是证明三 多 点共线或三线共点的依据 互动探究 1 下列推断中 错误的是 c a a l a b l b l b a a b b abc l a l a d a b c a b c 且a b c不共线 重合 考点2 空间内两直线的位置关系 例2 1 如图8 3 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n 分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 图8 3 2 a mn与cc1垂直c mn与bd平行 b mn与ac垂直d mn与a1b1平行 答案 d 2 2016年上海 如图8 3 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为bc bb1的中点 则下列直线中与直线ef相交的 是 图8 3 3 a 直线aa1 b 直线a1b1 c 直线a1d1 d 直线b1c1 解析 只有b1c1与ef在同一平面内 是相交的 a b c中的直线与ef都是异面直线 故选d 答案 d 规律方法 判断直线是否平行比较简单直观 可以利用公理4 判断直线是否异面则比较困难 掌握异面直线的两种判断方法 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 再由假设的条件出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 在客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 互动探究 2 如图8 3 4所示的是正方体和正四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形是 填上所 有正确答案的序号 图8 3 4 3 如图8 3 5 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则使直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 图8 3 5 解析 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点在三棱柱的侧面上 mg与这个侧面相交于点g m平面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h平面gmn 因此gh与mn异面 答案 考点3 异面直线所成的角 例3 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 求ac与a1d所成角的大小 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 解 1 如图8 3 6 连接ab1 b1c 由abcd a1b1c1d1是正方体 易知a1d b1c 从而b1c与ac所成的角就是ac与a1d所成的角 图8 3 6 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d与ac所成的角为60 2 如图8 3 7 连接ac bd 图8 3 7 在正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分别为ab ad的中点 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 规律方法 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 直到得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 互动探究 4 如图8 3 8 已知圆柱的轴截面abb1a1是正方形 c是圆柱下底面弧ab的中点 c1是圆柱上底面弧a1b1的中点 那么异面直线ac1与bc所成角的正切值为 图8 3 8 解析 如图d56 取圆柱下底面弧ab的另一中点d 连接c1d ad 则因为c是圆柱下底面弧ab的中点 所以ad bc 图d56 所以直线ac1与ad所成角等于异面直线ac1与bc所成角 因为c1是圆柱上底面弧a1b1的中点 所以c1d垂直于圆柱下底面 所以c1d ad 因为圆柱的轴截面abb1a1是正方形 考点4 三点共线 三线共点的证明 例4 如图8 3 9 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 图8 3 9 1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 证明 1 如图8 3 10 连接ef cd1 a1b e f分别是ab aa1的中点 ef ba1 又a1b d1c ef cd1 e c d1 f四点共面 图8 3 10 ce与d1f必相交 设交点为点p 如图8 3 10 则由点p ce ce 平面abcd 得点p 平面abcd 同理点p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da 点p 直线da ce d1f da三线共点 规律方法 证明三线共点的步骤就是先说明两线交于一点 再证明此交点在另一条线上 把三线共点的证明转化为三点共线的证明 要证明d a p三点共线 由公理3知 只要证明d a p都在两个平面的交线上即可 证明多点共线问题 可由两点连一条直线 再验证其他各点均在这条直线上 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上 相交两平面的唯一交线 关键是通过绘出图形 作出两个适当的平面或辅助平面 证明这些点是这两个平面的公共点 互动探究 5 在空间四边形abcd的边ab bc cd da上分别取e f g h四点 若ef与gh交于点m 则 a a 点m一定在ac上b 点m一定在bd上c 点m可能在ac上 也可能在bd上d 点m既不在ac上 也不在bd上解析 点m在平面abc内 又在平面adc内 故必在交线ac上 6 如图8 3 11 abcd a1b1c1d1是正方体 o是b1d1的中 点 直线a1c交平面ab1d1于点m 则下列结论错误的是 图8 3 11 d a a m o三点共线b a m o a1四点共面c a o c m四点共面d b b1 o m四点共面 难点突破 利用平移求异面直线所成的角例题 2016年新课标 平面 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 平面cb1d1 平面abcd m 平面abb1a1 n 则m n所成角的正弦值为 解析 如图8 3 12 设平面cb1d1 平面abcd m 平面cb1d1 平面abb1a1 n 因为 平面cb1d1 所以m m n n 则m n所成的角等于m n 所成的角 延长ad 过d1作d1e b1c 交ad延长线于点