高考数学总复习 第5章 第2节 等差数列及其前n项和课件 新人教A版.ppt

第二节等差数列及其前n项和 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母d表示 定义的表达式为an 1 an d n n 二 等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项是a1 公差是d 那么通项公式为an 同一个常数 a1 n 1 d 1 已知等差数列 an 的第m项为am 公差为d 则其第n项an能否用am与d表示 提示 可以 an am n m d 2 三数成等差数列时 一般设为a d a a d 四数成等差数列呢 提示 可设为a 3d a d a d a 3d 四 等差数列的前n项和公式 答案 d 2 2011江西高考 设 an 为等差数列 公差d 2 sn为其前n项和 若s10 s11 则a1 a 18b 20c 22d 24解析 由s10 s11得s11 s10 0 即a11 0 又d 2 a1 a11 10d 0 10 2 20 答案 b 3 2012济南模拟 已知 an 为等差数列 若a3 a4 a8 9 则s9 a 24b 27c 15d 54答案 b 4 2011辽宁高考 sn为等差数列 an 的前n项和 s2 s6 a4 1 则a5 2 1 3d 7d d 2 a1 7 a5 a1 4d 7 8 1 a5 1 法二 s2 s6 即a1 a2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a3 a4 a5 a6 0即2 a4 a5 0 a5 a4 1 答案 1 5 2011湖南高考 设sn是等差数列 an n n 的前n项和 且a1 1 a4 7 则s5 答案 25 浙江高考 设a1 d为实数 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的前n项和为sn 满足s5s6 15 0 1 若s5 5 求s6及a1 2 求d的取值范围 活学活用 1 等差数列 an 的前n项和记为sn 已知a10 30 a20 50 1 求通项an 2 若sn 242 求n 1 证明一个数列 an 为等差数列的基本方法有两种 1 利用等差数列的定义证明 即证明an 1 an d n n 2 利用等差中项证明 即证明an 2 an 2an 1 n n 2 解选择题 填空题时 可用通项或前n项和直接判断 1 通项法 若数列 an 的通项公式为n的一次函数 即an an b 则 an 是等差数列 2 前n项和法 若数列 a 的前n项和sn是sn an2 bn的形式 a b是常数 则 an 为等差数列 1 等差数列的单调性等差数列公差为d 若d 0 则数列递增 若d 0 则数列递减 若d 0 则数列为常数列 2 等差数列的简单性质已知数列 an 是等差数列 sn是其前n项和 1 若m n p q 则am an ap aq 特别 若m n 2p 则am an 2ap 2 am a am 2k am 3k 仍是等差数列 公差为kd 3 数列sm s2m sm s3m s2m 也是等差数列 4 s2n 1 2n 1 an 活学活用 3 1 等差数列中 若3 a3 a5 2 a7 a10 a13 24 求该数列前13项的和 2 已知数列 an 是等差数列 且a1 a2 a10 10 a11 a12 a20 20 求a41 a42 a50 解法二 设b1 a1 a2 a10 b2 a11 a12 a20 b3 a21 a22 a30 b4 a31 a32 a40 b5 a41 a42 a50 易知b2 b1 a11 a2 a12 a2 a20 a10 10d 10d 10d 100d 同理b3 b2 b4 b3 b5 b4 100d 故数列 bn 是等差数列 设其公差为d 则b1 10 b2 20 d 10 所以b5 10 4 10 50 所以a41 a42 a50 b5 50 3 除上面方法外 还可将 an 的前n项和的最值问题看作sn关于n的二次函数最值问题 利用二次函数的图象或配方法求解 注意n n 理用 在等差数列 an 中 1 若a1 20 前n项和为s10 s15 求当n取何值时 sn最大 并求出它的最大值 2 若a1 0 s9 s12 则该数列前多少项的和最小 思路点拨 我们可以通过分析数列中各项的正 负号确定前多少项的和最大 也可以利用二次函数求最大值 文用 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn取得最大值 并求出它的最大值 思路点拨 1 由a1 20及s10 s15可求得d 进而求得通项 由通项得到此数列前多少项为正 或利用sn是关于n的二次函数 利用二次函数求最值的方法求解 2 利用等差数列的性质 判断出数列从第几项开始变号 活学活用 4 在等差数列 an 中 a1 25 s9 s17 问此数列前几项的和最大 解法三 对于等差数列 当a1 0且为递减数列时 前n项和sn有最大值 如果数列从第 n 1 项开始变号 那么前n项和sn就是最值 由a1 25 s9 s17知此数列必递减 且a10 a11 a12 a17 0 又由等差数列性质有a10 a17 a11 a16