数学考研2012考试大纲.pdf

寄语 2011 年考生 众所周知 当前的全球金融危机带来了新的就业困难 因此 大学毕业选择考研不仅可 以合理规避就业风险 也是提高自身知识和素质的捷径 文登学校正是莘莘学子考研路上的 福音 文登学校成立 16 年来 每年都有数以万计的优秀学员通过文登的辅导顺利考上研究 生 其中文登数学更是享誉全国 每年的文 理科数学状元均出自我校 为了使 2011 年考生更好地掌握研究生考试数学试题的命题方向 了解考题类型 熟悉 考试难度 文登学校数学团队的老师们不辞辛劳地在第一时间深入分析了 2010 年研究生入 学考试数学试题 并与文登学校辅导班上的授课内容作了全面细致的对比 编写了此 2010 年数学真题解析 呈献给广大同学 2010 考研大纲 由于 09 年考研大纲是将数三数四合并为新数三 按照惯例 考研大纲 在大改之后会相对稳定一段时间 故 2011 年的考研数学大纲将不会有大的变化 由于新大 纲在 2010 年 8 月份左右才会推出 在此之前为了方便同学了解考研数学要求 建议看 2010 年考研大纲是最明智的选择 2010 考研真题 看 2010 年考研真题有助于同学认知考研难度 认清自身差距 更好地 设计复习方略 2010 考研解析 文登学校的考研真题答案是考试中心的标准答案 权威性不容置疑 文登学校的老师对每道题的评注揭示了每道题的思路和技巧所在 同时又与文登学校 2009 年辅导内容进行了对比和参照 体现了文登学校辅导的针对性和时效性 通过分析和对比不难看出 陈文灯老师等编写的 数学复习指南 题型集粹与练习题 集 及 模拟考场 等书中涵盖了 2010 年考研数学的所有真题类型 其中更有不少真题曾 是文登数学团队在基础班 强化班和冲刺班等各阶段辅导中讲过的例题和习题 同时应该指出文登学校辅导中的有些例题和习题与考研真题十分相似 并不是押题的结 果 而是文登数学团队和考试中心出题老师 英雄所见略同 文登学校不主张押题 而一 贯坚持的是传授给学生应对各种问题的解决方法 做到授之以渔 而非鱼 讲究以不变应万 变 抓住万变的根本 重基础 讲方法 不搞题海战术 不搞猜题押题 不搞偏题怪题 传 授数学中的规律性 使学生面对考题犹如高屋建瓴 文登学校的数学教学体系包括基础辅导 强化辅导 冲刺辅导三个阶段 经历了十多年 的教学实践 逐步改进了每个阶段的教学时间安排 授课内容分配 现在已经非常系统化和 科学化 几乎达到了黄金比例 大家知道授课时间不够长 就不能全面系统地讲授课程内容 但是绝对不是时间越长越好 要知道考研复习要讲究时间成本 我们复习的内容不仅仅局限 于数学 还有英语 政治 专业课等 另外还有日常的工作和学习 科学化的授课时间和高 效率的授课方式不是所有辅导机构都能提供的 只要认真听过文登数学课 并且掌握了文登学校传授给学员的解题方法和技巧 再加上 自身的刻苦努力 相信考研数学取得高分并非难事 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 第 2 页 2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学考试大纲 I 考试性质 全国硕士研究生入学数学考试是为招收工学 经济学 管理学硕士研究生而设置的具有 选拔功能的水平考试 它的指导思想是既要有利于国家对高层次人才的选拔 也要有利于促 进高等学校各类数学课程教学质量的提高 II 考查目标 要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论 掌握数学的基本方法 具备抽象 思维能力 逻辑推理能力 空间想象能力 运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决 问题的能力 试卷分类及使用专业 根据工学 经济学 管理学各学科 专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力 的不同要求 硕士研究生入学统考数学试卷分为 3 种 其中针对工学门类的为数学一 数学 二 针对经济学和管理学门类的为数学三 招生专业须使用的试卷种类规定如下 一 须使用数学一的招生专业 1 工学门类中的力学 机械工程 光学工程 仪器科学与技术 冶金工程 动力工程 及工程热物理 电气工程 电子科学与技术 信息与通信工程 控制科学与工程 计算机科 学与技术 土木工程 水利工程 测绘科学与技术 交通运输工程 船舶与海洋工程 航空 宇航科学与技术 兵器科学与技术 核科学与技术 生物医学工程等 20 个一级学科中所有 的二级学科 专业 2 授工学学位的管理科学与工程一级学科 二 须使用数学二的招生专业 工学门类中的纺织科学与工程 轻工技术与工程 农业工程 林业工程 食品科学与工 程等 5 个一级学科中所有的二级学科 专业 三 须选用数学一或数学二的招生专业 由招生单位自定 工学门类中的材料科学与工程 化学工程与技术 地质资源与地质工程 矿业工程 石 油与天然气工程 环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科 专业选用数学 一 对数学要求较低的选用数学二 四 须使用数学三的招生专业 1 经济学门类的各一级学科 2 管理学门类中的工商管理 农林经济管理一级学科 3 授管理学学位的管理科学与工程一级学科 考试形式和试卷结构 一 试卷满分及考试时间 各卷种试卷满分均为 150 分 考试时间为 180 分钟 二 答题方式 答题方式为闭卷 笔试 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 第 3 页 三 试卷内容结构 数学一 数学二 数学三 高等数学 或微积分 56 78 56 线性代数 22 22 22 概率论与数理统计 22 22 四 试卷题型结构 各卷种试卷题型结构均为 单项选择题 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 填空题 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 解答题 包括证明题 9 小题 共 94 分 V 考试内容和考试要求 数学一 数学二 数学三 高等数学 或微积分 一 函数 极限 连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学 四 向量代数和空间解析几何 五 多元函数微分学 六 多元函数积分学 七 无穷级数 八 常微分方程 一 函数 极限 连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学 四 多元函数微积分学 五 常微分方程 一 函数 极限 连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学 四 多元函数微积分学 五 无穷级数 六 常微分方程与差分方程 线性代数 一 行列式 二 矩阵 三 向量 四 线性方程组 五 矩阵的特征值和特征向量 六 二次型 一 行列式 二 矩阵 三 向量 四 线性方程组 五 矩阵的特征值和特征向量 六 二次型 一 行列式 二 矩阵 三 向量 四 线性方程组 五 矩阵的特征值和特征向量 六 二次型 概率论与 数理统计 一 随机事件和概率 二 随机变量及其分布 三 多维随机变量及其分布 四 随机变量的数字特征 五 大数定律和中心极限定理 六 数理统计的基本概念 七 参数估计 八 假设检验 一 随机事件和概率 二 随机变量及其分布 三 多维随机变量的分布 四 随机变量的数字特征 五 大数定律和中心极限定理 六 数理统计的基本概念 七 参数估计 分值比例 卷种 考试内容 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 第 4 页 注 以上考试大纲内容并非详尽 同学们复习备考时可选择 注 以上考试大纲内容并非详尽 同学们复习备考时可选择 1 教育部考试中心编写 高等教育出版社出版的考试大纲 教育部考试中心编写 高等教育出版社出版的考试大纲 2 参看 考研数学复习指南 参加文登学校辅导课程 考研数学复习指 南 及辅导课程严格按照考研要求编制及讲解 参看 考研数学复习指南 参加文登学校辅导课程 考研数学复习指 南 及辅导课程严格按照考研要求编制及讲解 文登考研数学辅导班各阶段教学目的与要求 数学基础班的目的与要求 高等数学 复习大纲中要求的重要概念 定理及公式 做到不陌生 有所了解 熟练掌握 极限 导数 不定积分的求法 了解重要的考点 得分点 线性代数 复习大纲中要求的重要概念 定理及公式 做到不陌生 有所了解 熟练掌握 矩阵的初等变换 含参数的线性方程组解的讨论 方阵特征值 特征向量的求法 了解重要的考点 得分点 概率与统计 复习大纲中要求的重要概念 定理及公式 做到不陌生 有所了解 熟练掌握 第一章 条件概率 全概及贝努里概型的计算 第二章 二维随机变量的分布函数 边缘分布律 边缘分布密度的计算 第三章 随机变量的数学期望 方差 协方差 相关系数的计算 数学强化班的目的与要求 考研数学强化班 名师巧破题型关 因势利导茅塞开 解题技巧上峰颠 数学冲刺串讲班的目的与要求 考研数学冲刺班 画龙点睛讲重点 传授答题技与巧 数学高分若等闲 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 1 页 2010 年研究生入学考试数学一试题年研究生入学考试数学一试题 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符 合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 极限 2 lim x x x xaxb A 1 B e C ea b D eb a 分析分析 利用1 型极限的快速解法 见评注 及 抓大头准则 可快速得到答案 详解详解 2 lime x A x x xaxb 而 2 2 lim1lim xx ab xabxx Axab xaxbxaxb 抓大头准则 故选 C 评注评注 本题求1 型未定式极限 1 型极限的快速解法如下 型极限的快速解法如下 若幂指函数 1 v x u x 的底呈 1 u x 形式或易化为这种形式 其中 0u x 幂 v x 则 lim 1 e v xA u x 其中lim Av x u x 类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 1 讲 例讲 例 5 完全类似例题见 完全类似例题见 2009 版 数学复习指南 理工类 第版 数学复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 1 章 例章 例 1 30 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 1 章 例章 例 12 例 例 13 2 设函数 zz x y 由方程 0 y z F x x 确定 其中F为可微函数 且 2 0F 则 zz xy xy A x B z C x D z 分析分析 利用隐函数求导法计算 由题设可知 z为因变量 x y为自变量 详解详解 0 y z F x x 两边对x求导得 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 2 页 12 12 22 2 0 x x zyFzFyz FFz xxx xF 0 y z F x x 两边对y求导得 1 12 2 1 0 y y z F FFz xx F 故 zz xyz xy 即选 B 评注评注 本题求多元隐函数的偏导数 为基本题型 完全类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第完全类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 9 讲 例讲 例 11 2009 版 数 学复习指南 理工类 第 版 数 学复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 9 章 例章 例 9 26 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 9 章 例章 例 17 3 设 m n均是正整数 则反常积分 2 1 0 ln1 d m n x x x 的收敛性 A 仅与m的取值有关 B 仅与n的取值有关 C 与 m n的取值都有关 D 与 m n的取值都无关 分析分析 因为 2 1 ln1 lim m n x x x 不存在 所以1x 为瑕点 而0 x 是否为瑕点 要看 2 0 ln1 lim m n x x x 是否存在 详解详解 222 1 11 2 1 00 2 ln1ln1ln1 ddd mmm nnn xxx xxx xxx 因为0 x 时 2 21 ln1 m mn n x x x 因为 m n是正整数 所以 21 1 mn 若 21 0 mn 则0 x 为瑕点 则一定存在常数p满足 21 01p mn 使得 2 21 00 ln1 limlim0 m p p mn n xx x xx x 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 3 页 于是 2 1 2 0 ln1 d m n x x x 收敛 下面考虑反常积分 2 1 1 2 ln1 d m n x x x 因为 1 22 12 2 11 ln11ln1 lim 1lim0 1 m m m n xx xxx x x 而 1 01 2m 所以 2 1 1 2 ln1 d m n x x x 收敛 故反常积分 2 1 0 ln1 d m n x x x 的收敛性与 m n都无关 即选 D 评注评注 对瑕点为xb 的瑕积分 d b a f xx 设 f x在 a b上连续 且 0f x 有 如下判敛准则 若lim 0 01 m xb bxf xkkm 则 d b a f xx 收敛 若lim 0 1 m xb bxf xkkm 则 d b a f xx 发散 本题超纲本题超纲 相关判敛准则可见各教材 相关判敛准则可见各教材 4 22 11 lim nn n ij n ninj A 1 2 00 1 dd 11 x xy xy B 1 00 1 dd 11 x xy xy C 11 00 1 dd 11 xy xy D 11 2 00 1 dd 11 xy xy 分析分析 本题利用定积分的极限定义即得 详解详解 2222 1111 1 limlim nnnn nn ijij nn nininjnj 11 22 00 11 111111 limdd 11 1 1 nn n ij xy i nnxy j n n 11 2 00 1 dd 11 xy xy 故选 D 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 4 页 评注评注 定积分是利用和式极限定义的 反过来 某些和式极限可利用定积分表示 若每项提出 ba n 或 1 n 后 n项和可写成 1 n i i ba f a n 或 1 1 n i f n 的形 式 则 1 lim d n b an i baba faif xx nn 特别 1 0 1 1 lim d n n i i ff xx nn 类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 1 讲 例讲 例 26 2009 版 数学版 数学 复习指南 理工类 第复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 1 章 例章 例 1 18 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 1 章 例章 例 34 例 例 35 5 设A是mn 矩阵 B是nm 矩阵 E为m阶单位矩阵 若ABE 则 A r Am r Bm B r Am r Bn C r An r Bm D r An r Bn 分析分析 本题可利用矩阵秩的性质进行判断 详解详解 由题设可知 min mr Er ABr Ar B 即 r Am r Bm 又A是m n 矩阵 B是nm 矩阵 所以 r Am r Bm 于是 r Am r Bm 故选 A 评注评注 本题判断两个矩阵的秩 矩阵秩的结论如 min r ABr Ar B min m n r Am n 较常用 请熟记 类似例题见文登暑期强化班讲义 线性代数 第类似例题见文登暑期强化班讲义 线性代数 第 2 讲 例讲 例 12 2009 版 数学版 数学 复习指南 理工类 第复习指南 理工类 第 2 篇第篇第 1 章 例章 例 2 36 精选习题二第 精选习题二第 2 小题 小题 8 9 考 研数学核心题型 理工类 第 考 研数学核心题型 理工类 第 2 篇第篇第 16 章 例章 例 12 6 设A为 4 阶实对称矩阵 且 2 AAO 若A的秩为 3 则A相似于 A 1 1 1 0 B 1 1 1 0 C 1 1 1 0 D 1 1 1 0 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 5 页 分析分析 实对称矩阵相似于由其特征值组成的对角阵 所以本题的关键是求出其特征值 详解详解 因为A为 4 阶实对称矩阵 所以A必可相似对角化 且A的特征值全为实数 设 为A的特征值 则 2 00 1 又A的秩为 3 则A的特征 值为1 1 1 0 故选 D 评注评注 本题综合考查了实对称矩阵可相似对角化 特征值的性质和矩阵的秩等多个知识 点 完全类似例题见 考研数学核心题型 理工类 第完全类似例题见 考研数学核心题型 理工类 第 2 篇第篇第 18 章 例章 例 3 类似 例题见文登暑期强化班讲义 线性代数 第 类似 例题见文登暑期强化班讲义 线性代数 第 5 讲 例讲 例 14 2009 版 数学复习指南 理工类 第 版 数学复习指南 理工类 第 2 篇第篇第 5 章 例章 例 5 3 7 设随机变量X的分布函数为 0 0 1 01 2 1 e 1 x x F xx x 0 0ab 为概率密度 则 a b应满足 A 234ab B 324ab C 1ab D 2ab 分析分析 利用 d1f xx 即可 详解详解 1 2 0 0 afxx f x bfxx 所以 03 122 00 113 1dddd 224 f xxafxxbfxxabfxxab 于是234ab 故选 A 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 6 页 评注评注 本题已知分布反求分布中的参数 为基础题型 类似例题见文登暑期强化班讲义 概率统计 第类似例题见文登暑期强化班讲义 概率统计 第 2 讲 例讲 例 16 2009 版 数学版 数学 复习指南 理工类 第复习指南 理工类 第 3 篇第篇第 2 章 例章 例 2 5 精选习题二第 精选习题二第 2 小题 小题 2 考研数 学核心题型 理工类 第 考研数 学核心题型 理工类 第 3 篇第篇第 21 章 例章 例 11 二 填空题二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填在题中横线上 9 设 2 0 e ln 1d t t xyuu 则 2 0 2 d d t y x 分析分析 利用参数方程求导公式求解即可 详解详解 2 dd e ln 1 dd t xy t tt 于是 2 2 d ln 1 d d e ln 1 d de d t t y t y t t x x t 2 00 d e ln 10 d t tt y t x 2 2 2 dddddd e ln 1e dddddd tt t yyyt t xxxtxx 222 22 22 ee ln 1eeln 1 11 tttt tt tt tt 2 0 2 d 0 d t y x 评注评注 本题为参数方程求导 为基础题型 要注意求二阶导数时千万不要忘了乘以 d d t x 完全类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第完全类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 2 讲 例讲 例 15 考研数学 核心题型 理工类 第 考研数学 核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 2 章 例章 例 18 类似例题见类似例题见 2009 版 数学复习指南 理工类 第 版 数学复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 2 章 例章 例 2 12 10 2 0 cosdxx x 分析分析 被积函数中含根式 作变量代换xt 即可 详解详解 2 2 00 cosd2cos d x t xx xtt t 2 00 00 2sin4sin d4 cos4cos d4tttt tttt t 评注评注 本题计算定积分 为基础题型 对定积分作变量代换时 注意上下限要跟着改变 类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 5 讲 例讲 例 16 2009 版 数学版 数学 复习指南 理工类 第复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 3 章 例章 例 3 29 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 4 章 例章 例 3 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 7 页 11 已知曲线L的方程为 11 1yx x 起点为 1 0 终点为 1 0 则曲线积分 2 dd L xy xxy 分析分析 本题求对坐标的曲线积分 可化为参数式计算 也可利用格林公式计算 详解详解 1 01 1 1 10 xx yx xx 于是 01 222 10 dd1d1dd L xy xxyxxxxxxxxx 01 2323 10 12121212 0 23232323 xxxx 评注评注 本题还可用格林公式另解为 222 dddddd LL LL xy xxyxy xxyxy xxy 其中 0 1 0 1 0Ly 2 ddd dd d0 L L DD QP xy xxyx yx x y xy 上式是因为积分域关于y轴对称 被积函数是x的奇函数 又在 0 1 0 1 0Ly 上 2 dd0 L xy xxy 所以 2 dd0 L xy xxy 类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 12 讲 例讲 例 5 2009 版 数学版 数学 复习指南 理工类 第复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 11 章 例章 例 11 3 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 12 章 例章 例 3 12 设 22 1x y zxyz 则 的形心竖坐标z 分析分析 直接利用形心公式即可 详解详解 2 2 1 2 6 211 000 2111 2 4 00 0 11 d ddd 226 2 3d 1ddd 24 r r r rz V r rz z z V rr rz r 评注评注 本题求空间区域的形心坐标 为重积分在几何中的应用 类似例题见 考研数学核心题型 理工类 第类似例题见 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 10 章 例章 例 35 2009 版 数 学复习指南 理工类 第 版 数 学复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 10 章精选习题十第章精选习题十第 18 19 小题小题 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 8 页 13 设 TTT 123 1 2 1 0 1 1 0 2 2 1 1 a 若由 123 所形成的向量空 间的维数为 2 则a 分析分析 由 123 所形成的向量空间的维数为 2 这句话表明 123 的秩为 2 令 123 A 对A作初等行变换即可 详解详解 若由 123 所形成的向量空间的维数为 2 则 123 的秩为 2 于是 112112112 211013013 6 101013006 0202000 a a aa 评注评注 求具体向量组的秩 极大线性无关组等问题 一般将向量组组成矩阵 用初等变换 求解 类似例题见文登暑期强化班讲义 线性代数 第类似例题见文登暑期强化班讲义 线性代数 第 3 讲 例讲 例 2 2009 版 数学版 数学 复习指南 理工类 第复习指南 理工类 第 2 篇第篇第 3 章 例章 例 3 18 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 2 篇第篇第 16 章 例章 例 2 例 例 8 14 设随机变量X的概率分布为 0 1 2 C P Xkk k 则 2 EX 分析分析 先利用随机变量概率分布性质 0 1 k P Xk 求出分布中的参数 然后再利用公 式 2 2 EXDXEX 求解 详解详解 1 00 0 1 2 1ee kk CC P XkkP XkCC kk 所以X服从参数为 1 的泊松分布 故 2 2 1 12EXDXEX 评注评注 本题求随机变量的二阶中心矩 要熟记常见分布的数学期望和方差 类似例题见类似例题见 2009 版 数学复习指南 理工类 第版 数学复习指南 理工类 第 3 篇第篇第 3 章 例章 例 3 4 考研 数学核心题型 理工类 第 考研 数学核心题型 理工类 第 3 篇第篇第 23 章 例章 例 3 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求微分方程322 exyyyx 的通解 分析分析 先利用特征方程求出对应齐次方程的通解 再由待定系数法求非齐次方程的一个特 解 最后由非齐次方程解的结构写出通解 详解详解 322 exyyyx 对应的齐次方程为 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 9 页 320yyy 其特征方程为 2 3201 2 于是通解为 2 12 ee xx yCC 因为1 为特征单根 所以设特解为 exyAxB x 则 22 2e 422e xx yAxAB xByAxAB xAB 代入原方程有 4222 1 2 60 ABABB AB BB 所以 2exyxx 故原方程的通解为 2 12 ee2e xxx yCCxx 12 C C为任意常数 评注评注 本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 要熟练掌握其解法 非齐次常系 数微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与一个特解的和 类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 7 讲 例讲 例 11 2009 版 数学 复习指南 理工类 第 版 数学 复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 5 章 例章 例 5 14 例 例 5 15 考研数学核心题型 理 工类 第 考研数学核心题型 理 工类 第 1 篇第篇第 7 章 例章 例 18 16 本题满分 10 分 求函数 2 2 2 1 ed x t f xxtt 的单调区间与极值 分析分析 先求出 fx 的零点 用所求的点将 f x的定义域分为若干个子区间 然后列表 判断每个子区间内 fx 的符号即可 详解详解 函数 f x的定义域为 由于 222 222 22 111 ededed xxx ttt f xxttxttt 22 2442 33 11 2ed2e2e2ed xx txxt fxxtxxxt 令 00 1fxxx 以0 1xx 为分隔点列表如下 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 10 页 x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 fx 0 0 0 f x 单调下降 极小值 单调上升极大值 单调下降极小值 单调上升 综上 f x的单调减少区间为 1 和 0 1 单调增加区间为 1 0 和 1 f x在1x 取 得 极 小 值 10f f x在0 x 取 得 极 大 值 220 01 1 1 11 00ede1 e 22 tt ftt 评注评注 本题为基础题型 确定函数的极值和单调增减区间的步骤为 1 确定函数的定义域 2 找出使函数一阶导数为零或不存在的点 3 以 2 中所求的点为分隔点将定义域分为若干个子区间 4 利用各个子区间内 fx 的符号即得 类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 6 讲 例讲 例 2 2009 版 数学复习指南 理工类 第 版 数学复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 6 章 例章 例 6 8 例 例 6 12 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 6 章 例章 例 2 17 本题满分 10 分 比较 1 0 lnln 1d n ttt 与 1 0 ln d1 2 n tt t n 的大小 说明理由 记 1 0 lnln 1d1 2 n n uttt n 求极限lim n n u 分析分析 利用定积分比较定理 两个积分的大小的比较可转化为被积函数大小的比较 详解详解 令 ln 101 n n f tttt 当1n 时 1 10 1 ft t 所以 ln 100f tttf 即有 0ln 1 tt 从而有 0ln 101 n n ttt 所以 ln 10 n n f ttt 即有 lnln 1ln n n tttt 故由定积分比较定理可得 1 0 lnln 1d n ttt 1 0 ln d1 2 n tt t n 11 00 0lnln 1dlnd n n n utttt tt 又 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 11 页 1 111 1 0 000 11 lndlndd0 1121 n nn t t ttt ttt tn nnn 所以由夹逼定理得lim0 n n u 评注评注 在考试中 的计算常常要借助 的结果 类似例题见 考研数学核心题型 理工类 第类似例题见 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 4 章 例章 例 4 相关结论见文登暑期强化班讲义 高等数学 第相关结论见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 5 讲和讲和 2009 版 数学复习指南 理工类 第 版 数学复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 3 章章 18 本题满分 10 分 求幂级数 1 2 1 1 21 n n n x n 的收敛域与和函数 分析分析 因为缺项 所以要利用比值法计算收敛半径 再通过讨论幂级数在收敛区间端点的 收敛性得出收敛域 求和函数时 因为含 n 的项在分母上 所以先逐项求导计算 详解详解 记 1 2 1 21 n n n uxx n 由于 22 12 1 2 1 21 limlim111 1 21 n n n n nn n n x ux n xxx ux x n 于是可得幂级数 的收敛区间为 1 1 当1x 时 原幂级数为 1 1 1 21 n n n 由莱布尼茨交错级 数判敛法则可知此级数收敛 所以幂级数的收敛域为 1 1 当 1 1x 时 11 221 11 11 2121 nn nn nn S xxxx nn 1 21 2 00 1 11 ddarctan 211 n xx n n xxxxxxx nx 评注评注 若幂级数不是标准形式 缺项 形式为 221 00 nn nn nn a xa x 等 则需利用比值法求 收敛半径 即利用后项比前项的绝对值取极限来计算 如对 0 n n ux 令 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 12 页 1 lim1 n n n ux x ux 求出 x 的范围 即收敛区间 类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 11 讲 例讲 例 15 2009 版 数学版 数学 复习指南 理工类 第复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 7 章 例章 例 7 19 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 11 章 例章 例 28 例 例 32 19 本题满分 10 分 设P为椭球面 222 1S xyzyz 上的动点 若S在点P处的切平面与xOy面垂 直 求点P的轨迹C 并计算曲面积分 22 32 d 44 xyz IS yzyz 其中 是椭球面位于C 上方的部分 分析分析 本题求点的轨迹 只要求出它满足的方程即可 曲面积分可化为投影域上的二重积 分计算 详解详解 设 000 P xyz S在P处的切平面方程为 00000 220 x xyzyzyz 因为切平面与xOy面垂直 所以 0000000 02021020 xyzzyzy 又P为椭球面 222 1S xyzyz 上的动点 所以C的方程为 222 1 2 xyzyz yz 即 22 20 3 1 4 zy xy 取 22 3 1 4 Dx yxy 记 的方程为 zz x y x yD 由于 222 2 22 4422 11 222 yzyzzzxyz xyyzyzyz 所以 故 22 2222 3232 44 dd d 2 4444 D xyzxyz yzyz Sx y yz yzyzyzyz 3 d d D xx y 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 13 页 2 03d d312 3 D x y 评注评注 计算曲面积分时 要想到利用可将曲面方程代入被积式化简后再计算 类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第类似例题见文登暑期强化班讲义 高等数学 第 12 讲 例讲 例 2 2009 版 数学版 数学 复习指南 理工类 第复习指南 理工类 第 1 篇第篇第 11 章 例章 例 11 11 考研数学核心题型 理工类 第 考研数学核心题型 理工类 第 1 篇第篇第 12 章 例章 例 16 20 本题满分 11 分 设 11 010 1 111 a Ab 已知线性方程组Axb 有两个不同的解 求 a 求方程Axb 的通解 分析分析 由 线性方程组Axb 有两个不同的解 可知 非齐次线性方程组Axb 有无数个解 30r Ar AA 详解详解 线性方程组Axb 有两个不同的解 则 2 11 01011011 11 A 或 当1 时 111 000 1 111 1 a A 则 23r Ar A 所以1 不成立 当1 时 111111 020 10201 111 10002 aa A a 因为Axb 有解 所以202aa 综上 1 2a 原方程与以下方程组同解 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 14 页 123 2 33 22 1 2 11 0 2122 1 0 c xxx xc x c 其中c为任意常数 评注评注 本题已知非齐次线性方程组解的情况 反求方程组中的参数 要想到利用解的判定 定理求解 类似例题见文登暑期强化班讲义 线性代数 第类似例题见文登暑期强化班讲义 线性代数 第 4 讲 例讲 例 5 例 例 11 2009 版 数学复习指南 理工类 第版 数学复习指南 理工类 第 2 篇第篇第 4 章 例章 例 4 11 考研数学核心题型 理 工类 第 考研数学核心题型 理 工类 第 2 篇第篇第 17 章 例章 例 10 21 本题满分 11 分 已知二次型 T 123 f x x xx Ax 在正交变换xQy 下的标准形为 22 12 yy 且Q的 第 3 列为 T 22 0 22 求矩阵A 证明矩阵AE 为正定矩阵 其中E为 3 阶单位矩阵 分析分析 本题 已知二次型的标准形以及化二次型为标准形的正交变换所对应的矩阵中的 某一列反求二次型的矩阵 要想到标准形的形式以及正交矩阵的性质 由 可得A的特征值 则可得AE 的特征值 根据矩阵正定的充要条件之一其特征值 均大于零证明即可 详解详解 由题设 A的特征值为 1 1 0 且 T 1 0 1为A的属于特征值 0 的一个特征向量 设 T 123 xx x x 为A的属于特征值 1 的特征向量 因为A的属于不同特征值的 特征向量正交 所以 T T 13 1 0 10 xxx 取 T T11 0 0 1 0 22 为A的属于特征值 1 的相互正交的单位特征向量 令 11 0 22 010 11 0 22 Q 则有 T 1 1 0 Q AQ T 1 1 0 AQQ 文登教育 咨询电话 010 62155566 62289409 数学一 第 15 页 1111 11 00 0 1 222222 0101010010 110111