高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分背景——面积和路程问题课件2 北师大版选修22.ppt

第四章定积分 1定积分的概念1 1定积分的背景 面积和路程问题 我们学过如何求正方形 长方形 三角形和梯形等平面图形的面积 这些图形都是由直线围成的 那么如何求由曲线围成的平面图形的面积呢 本章我们要学习的定积分 就可以帮助我们解决这些问题 当然定积分还可以解决变速度的路程问题 变力作功问题 它也是我们解决实际问题的有力的工具 这节课我们学习定积分的背景 面积和路程问题 引入 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的 这样的平面图形称为曲边梯形 a b 曲边梯形定义 我们把由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的图形叫作曲边梯形 那么如何求曲边梯形面积呢 探究点1 定积分的几何背景 曲边图形的面积问题 我国古代的数学家祖冲之 从圆内接正六边形入手 让边数成倍增加 用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积 古希腊的数学家 从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手 不断增加它们的边数 从里外两个方面去逼近圆面积 我们用正多边形逼近圆的方法 即 以直代曲 求出了圆的面积 能否也能用直边形 如矩形 来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢 圆也是由曲线围成的平面图形 它的面积怎样求昵 a a1 a2 an 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积 于是曲边梯形的面积a近似为 以直代曲 无限逼近 将区间 a b 平均分成许多小区间 把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形 对每个小曲边梯形 以直代曲 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积 得到每个小曲边梯形的面积 对这些近似值求和 就得到曲边梯形面积的近似值 可以想象 区间拆分的越细 近似程度就越好 亦即 用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积 可通过以下几个步骤具体实施 1 分割 2 近似代替 3 逼近 问题1图中阴影部分是由抛物线 直线以及x轴所围成的平面图形 试估计这个曲边梯形的面积s 分析首先 将区间 0 1 5等分 如图所示 图 1 中 所有小矩形的面积之和 记为s1 显然大于所求的曲边梯形的面积 我们称s1为s的过剩估计值 有 1 图 2 中 所有阴影小矩形的面积之和 记为s1 显然小于所求曲边梯形的面积 我们称s1为s的不足估计值 有 2 思考 我们可以用s1或s1近似表示s 但是都存在误差 误差有多大呢 提示 二者之差为s1 s1 0 2 如图 3 中阴影所示 无论用s1还是用s1来表示曲边梯形的面积 误差都不会超过0 2 3 1 4 不足估计值为 二者的差值为s2 s2 0 1 此时 无论用s2还是用s2来表示s 误差都不超过0 1 结论 区间分得越细 误差越小 当被分割成的小区间的长度趋于0时 过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积 有理由相信 分点越来越密时 即分割越来越细时 矩形面积和的极限即为曲边形的面积 4 取极限 抽象概括 我们通过 以直代曲 和 逼近思想 方法解决了求曲边梯形的面积的问题 它们的步骤 分割区间 过剩估计值不足估计值 逼近所求面积 所分区间长度趋于0 估计值趋于所求值 动手做一做 求曲线y 与直线x 1 y 0所围成的平面图形的面积的估计值 并写出估计误差 把区间 0 1 5等分来估计 解析 把区间 0 1 5等分 以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高 得到不足估计值和过剩估计值 如下 估计误差不会超过 0 2 探究点2定积分的物理背景 估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t 我们可以求出它走过的路程s vt 那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢 问题2想象这样一个场景 一辆汽车的司机猛踩刹车 汽车滑行5s后停下 在这一过程中 汽车的速度v 单位 m s 是时间t的函数 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s 分析 由已知 汽车在刚开始刹车时的速度是v 0 25m s 我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度 求出汽车的滑行距离 s 25 5 125 m 但显然 这样的误差太大了 为了提高精确度 我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离 首先 将滑行的时间5s平均分成5份 我们分别用v 0 v 1 v 2 v 3 v 4 近似替代汽车在0 1s 1 2s 2 3s 3 4s 4 5s内的平均速度 求出滑行距离s1 由于v是下降的 所以显然s1大于s 我们称它为汽车在5s内滑行距离的过剩估计值 用v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 分别近似替代汽车在0 1s 1 2s 2 3s 3 4s 4 5s内的平均速度 求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 不论用过剩估计值s1还是不足估计值表示s 误差都不超过 不论用过剩估计值s1还是不足估计值表示s 误差都不超过 为了得到更加精确的估计值 可以将滑行时间分得更细些 因为我们知道 滑行时间的间隔越小 用其中一点的速度代替这段时间内的平均值 其速度误差就越小 比如 将滑行时间5s平均分成10份 用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2 结论 滑行时间等分得越细 误差越小 当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时 过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程 汽车在5s内滑行距离的不足估计值 无论用s2还是表示汽车的滑行距离s 误差都不超过 抽象概括 前面 我们通过 以直代曲 的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题 对于变速运动路程的步骤 分割区间 过剩估计值不足估计值 逼近所求路程 所分区间长度趋于0 估计值趋于所求值 1 在 近似替代 中 函数f x 在区间 xi xi 1 上的近似值等于 a 只能是区间的左端点的函数值f xi b 只能是区间的右端点的函数值f xi 1 c 可以是区间内的任意一点的函数值f i i xi xi 1 d 以上答案均正确解析以直代曲 可以把区间 xi xi 1 上的任意一点的函数值f i i xi xi 1 作为小矩形的高 c 2 已知自由落体的运动速度v gt 则估计在时间区间 0 6 内 将时间区间10等分时 物体下落的距离的估计值可以为 a 14gb 15gc 16gd 17g解析由其过剩估计值与不足估计值分别为19 8g 16 2g 则估计值应在 16 2g 19 8g 之间 d 3 求曲线与直线x 1 x 2 y 0所围成的平面图形的面积时 把区间5等分 其估计误差不超过 解析分别以左 右端点的函数值为小矩形的高